初中數(shù)學(xué)湘教版九上3.1.2 成比例線段 課件

3.1

比例線段

第3章圖形的相似3.1.2成比例線段兩張地圖中，黃鶴樓與長江的距離為何不同嗎？線段的比和成比例線段如果選用同一個長度單位量得兩條先線段

AB，CD的長度分別是

m，

n，那么它們長度的比就是這兩條線段的比，即ABCDmn如果的比值為

k，那么

=k，或

AB=k·CD，兩條線段的比實際上就是兩個數(shù)的比.AB∶CD=

m∶n

或思考：兩條線段長度的比與所采用的長度單位是否有關(guān)？有關(guān)？無關(guān)？求兩條線段的比時，所使用的長度單位應(yīng)該統(tǒng)一在對長度單位進行統(tǒng)一時，無論采用哪一種單位，比值都相同.注意：雖然兩條線段的比要在單位統(tǒng)一的前提下進行，但比值卻是一個不帶單位的正數(shù).練一練1.若線段

AB＝6cm，CD＝4cm，則

.

.2.若線段

AB＝8cm，CD＝2dm，則4.五邊形

ABCDE與五邊形

A'B'C'D'E'形狀相同，AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝

.ABCDEA'B'C'D'E'5∶33.已知線段

AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比為

，AB∶A'B'的比值為

，AB＝

A'B'.4∶144練一練做一做：設(shè)小方格的邊長為1，四邊形

ABCD與四邊形

EFGH的頂點都在格點上，那么

AB，AD，EF，EH的長度分別是多少？ABCDGHEF計算

的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？ABCDGHEF

在四條線段中，如果如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比例線段，簡稱為比例線段.歸納總結(jié)例如已知四條線段

a,b,c,d

，若

則

a,b,c,d

是比例線段.類似的，如果

那么稱線段

AB，BC，AC，與線段

A′B′，B′C′，A′C′，對應(yīng)成比例.

例1判斷下列線段

a、b、c、d是否是成比例線段：

（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解：（1）∵∴線段

a、b、c、d不是成比例線段．，

，∴

.典例精析（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）∵∴

∴線段

a、b、c、d是成比例線段．注意：1.若

a∶b=k，說明

a是

b的

k倍；2.兩條線段的比與所采用的長度單位無關(guān)，但求比時兩條線段的長度單位必須一致；3.兩條線段的比值是一個沒有單位的正數(shù)；4.除了

a=b外，a∶b≠b∶a，

互為倒數(shù).1.判斷下列各組線段是否成比例線段，為什么？成比例線段不成比例線段2.下列各組線段中成比例線段的是（）C練一練解：根據(jù)題意可知，AB=am，AE=am，AD=1m.

例2一塊矩形綢布的長

AB

=

a

m，寬

AD

=

1

m，按照圖中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么

a

的值應(yīng)當是多少？DAFECB即，開平方，得由

，得答：a

的值應(yīng)當是

m.

黃金分割的概念一個五角星如下圖所示.問題：度量

C到點

A、B的距離，

與相等嗎？ACBABCABC點

C把線段

AB分成兩條線段

AC和

BC，如果，

那么稱線段

AB被點

C黃金分割.點

C叫做線段

AB的黃金分割點，較長線段AC與原線段

AB的比稱為黃金分割比.概念學(xué)習(xí)1.計算黃金比.解：由，得

AC2=AB·BC.設(shè)

AB=1，AC=x，則

BC=1

–

x.

∴x2=1×(1-

x)，即x2+x–1=0.解方程，得

x1=(不合題意，舍去)，x2=黃金比做一做2.如圖所示，已知線段

AB按照如下方法作圖：1.經(jīng)過點

B作

BD⊥AB，使

BD=AB.2.連接

AD，在

AD上截取

DE=DB.3.在

AB上截取

AC=AE.思考：點

C是線段

AB的黃金分割點嗎?ABDEC∴點

C是線段

AB的黃金分割點.令

AB=1，則巴臺農(nóng)神廟（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把圖中用虛線表示的矩形畫成如圖所示的矩形

ABCD，以矩形

ABCD

的寬為邊在其內(nèi)部作正方形

AEFD，那么我們可以驚奇地發(fā)現(xiàn)，點

E是

AB

的黃金分割點嗎？矩形

ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？為什么?點

E是

AB的黃金分割點（即）是黃金分割比矩形

ABCD的寬與長的比是黃金比寬與長的比等于黃金分割比的矩形也稱為黃金矩形.ABCDEF例1

在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比值越接近0.618越給人以美感.小明的媽媽腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應(yīng)該穿多高的高跟鞋看起來會更美？解：設(shè)肚臍到腳底的距離為xm，根據(jù)題意，得 ，解得

x=0.96.設(shè)穿上ym高的高跟鞋看起來會更美，則

解得y≈0.075，而0.075m=7.5cm.故她應(yīng)該穿約為7.5cm高的高跟鞋看起來會更美.1.在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金分割比，已知這本書的長為20cm，則它的寬約為()(A)12.36cm(B)13.6cm(C)32.36cm(D)7.64cmA練一練【解析】選A.0.618×20=12.36(cm).2.如圖是一種貝殼的俯視圖，點

C分線段

AB近似于黃金分割，已知

AB=10cm，則

AC的長約為_____cm.（結(jié)果精確到0.1cm）【解析】本題考查黃金分割的有關(guān)知識，由題意知由圖可知，AC＞BA，∴即

AC2=(10-

AC)×10.解得

AC≈6.2cm.6.2【解析】由黃金分割定義可知，AC

=

BD

=

×AB

=

(40

-

40)cm，AD

=

AB

-

BD

=

(120

-

40

)cm，

所以

DC

=

AC

-

AD

=

(80

-

160)cm.3.如圖所示，樂器上的一根弦

AB=80cm，兩個端點

A、B固定在樂器板面上，支撐點

C是靠近點

B的黃金分割點，支撐點

D是靠近點

A的黃金分割點，則

AC=______cm，DC=_______cm.ABCD打開地圖，你就會發(fā)現(xiàn)那些好茶產(chǎn)地大多位于北緯

30°左右.特別是紅茶中的極品“祁紅”，產(chǎn)地在安徽的祁門，也恰好在此緯度上.這不免讓人聯(lián)想起許多與北緯

30°

有關(guān)的地方.奇石異峰，名川秀水的黃山，廬山，九寨溝等等.銜遠山，吞長江的中國三大淡水湖也恰好在這黃金分割的緯度上.大自然與黃金分割圖中主葉脈與葉柄和主葉脈的長度之和比約為

0.618.

蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比，普通樹葉的寬與長之比也接近

0.618.人與黃金分割

人體肚臍不但是黃金點美化身型，有時還是醫(yī)療效果黃金點，許多民間名醫(yī)在肚臍上貼藥治好了某些疾病.人體最感舒適的溫度是

23℃

(體溫)，也是正常人體溫(37℃)的黃金點(23

=

37×0.618).這說明醫(yī)學(xué)與

0.618

有千絲萬縷聯(lián)系，尚待開拓研究.人體還有幾個黃金點：肚臍上部分的黃金點在咽喉，肚臍以下部分的黃金點在膝蓋，上肢的黃金點在肘關(guān)節(jié).上肢與下肢長度之比均近似

0.618.

在人的面部，五官的分布越符合黃金分割，看起來就越美．BCA設(shè)計與黃金分割文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異.但這些金字塔底面的邊長與高的比都接近于0.618.東方明珠塔，塔高468米.設(shè)計師在

263米處設(shè)計了一個球體，使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩，非常協(xié)調(diào)、美觀.人的俊美，體現(xiàn)在頭部及軀干是否符合黃金分割.美神維納斯，她身體的各個部位都暗藏比例

0.618，雖然雕像殘缺，卻能仍讓人嘆服她不可言喻的美．黃金分割的魅力Applelogo蘋果中小葉子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黃金分割有著千絲萬縷的關(guān)系.也許這里面還有更多黃金的分割的密碼，這里就要同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn).1.一把矩形米尺，長

1

m，寬

3

cm，則這把米尺的長和寬的比為（）A.100∶3B.1∶3C.10∶3D.1000∶32.甲、乙兩地相距

35

km，圖上距離為

7

cm，則這張圖的比例尺為（）A.5∶1B.1∶5C.1∶500000D.500000∶1AC3.已知線段

AB，點

P是它的黃金分割點，AP＞BP，設(shè)以

AP為邊的正方形的面積為

S1，以

PB、AB為邊的矩形面積為

S2，則

S1

與

S2

的關(guān)系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2

C．S1=S2 D．S1≥S2PABC5.小明家搬進了新房，他買了一幅山水畫，想掛到書房（書房高3米），請你幫他設(shè)計一下，掛在多高能給人賞心悅目的感覺？4.點

C是線段

AB的黃金分割點，如果

AB=4，求線段AC的長度．AC=4×0.618=2.472或者AC=4×(1-0.618)=1.518.離地面的高度h=3×0.618=1.854m解：根據(jù)題意可知，

，

AB=15，

AC=10，BD=6，

則AD=AB

-

BD=15-6=9，

6.已知，AB=15，AC=10，BD=6．求

AE．ABCDE1.一條線段的長度是另一條線段的5倍，則這兩條線段的比等于

.2.已知

a、b、c、d

是成比例線段，其中

a

=

3cm，b

=

2cm，c

=

6cm