“構(gòu)造函數(shù)”-巧求參數(shù)范圍

函）判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題）根等本專題圍繞高【典型題】第招參變分，造數(shù)例屆三第一次全國大考數(shù)

恰有三個(gè)零點(diǎn)的值范圍()A．B）CD）【答案】【解析】當(dāng)點(diǎn)，令

時(shí)，

為減函數(shù)，令則問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)

易得的圖象與

，所以只需的圖象有兩個(gè)交.求導(dǎo)可得

有兩個(gè)零，令

，即

，可解得

；令，即，解得，所以當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

單調(diào)遞減；當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

取得最小值，即．同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)

與

的簡(jiǎn)圖如圖所示，-1-

根據(jù)圖可得

故選D.第招根據(jù)方做，造數(shù)例2.【東北三省三校（哈爾濱師附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中)2019屆高第一次模擬】已知函數(shù)

（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

.（1當(dāng)

時(shí)，求函數(shù)

的極小值；（2若當(dāng)

時(shí)，關(guān)于的程

有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取范.【答案（2）【解析】（1當(dāng)令

時(shí)，則

，列表如下：

，1單調(diào)遞減所以.

極小值

單調(diào)遞增（2設(shè)

，，-2-

設(shè)，，由

得，

，，

在

單調(diào)遞增，即

在

單調(diào)遞增，

，①當(dāng)

，即

時(shí)，

時(shí)，，

在

單調(diào)遞增,又

，故當(dāng)

時(shí)，關(guān)于的程

有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題.②當(dāng)，即所以故，故當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，由（1）可知時(shí)，，

，

，又單調(diào)遞減，又，在

內(nèi)，關(guān)于的程

有一個(gè)實(shí)數(shù)解1.又

時(shí)，

，

單調(diào)遞增，且

，令

，,,故

在

單調(diào)遞增，又在

單調(diào)遞增，故

，故，又，零點(diǎn)存在定理可知，，故在又在綜上，

內(nèi)，關(guān)于的程內(nèi)，關(guān)于的程.

有一個(gè)實(shí)數(shù)解.有一個(gè)實(shí)數(shù)解1，不合題意.第招求導(dǎo)轉(zhuǎn)，造數(shù)例3.【山東省菏澤市2019屆三下學(xué)期第一次模擬】已知函數(shù).-3-

（1設(shè)，求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；（2若函數(shù)

在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值范圍【答案）單調(diào)遞增區(qū)間為【解析】（1

，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）函數(shù)

的定義域?yàn)?，令，令，；令，所以函?shù)

在區(qū)間

上單調(diào)遞減，在區(qū)間

上單調(diào)遞增所以所以

對(duì)任意

恒成立，所以（2一

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū).的定義域?yàn)?，所以“函?shù)即方程

在其定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

在區(qū)間

內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”故上述問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)

與函數(shù)

的圖像在

上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖-4-

若令過原點(diǎn)且與函數(shù)

圖像相切的直線斜率為，由圖得令切點(diǎn)由，得，以又，以，解得于是，以故實(shí)數(shù)的值范圍是（法二）

的定義域?yàn)?，?dāng)所以

時(shí)，在

，，單調(diào)遞增，所以

在

不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)

時(shí)，令，，在

上，，

在

上單調(diào)遞增，在

上，，

在

上單調(diào)遞減，所以，-5-

又

時(shí)，時(shí)，

，，要使

有兩個(gè)零點(diǎn)，則有即所以所以，實(shí)數(shù)的值圍為.第招換元轉(zhuǎn)，造數(shù)例4川高中屆三診】已知

．求

的極值；若

有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)的取值圍．【答案）有極小值，為【解析】

；無極大值）的定義域是，

，令，得：，令，得：，故

在

遞減，在

遞增，故

時(shí)，；-6-

故

記，，，可轉(zhuǎn)化成，：，令，，令令故且

在

，解得：，，解得：，遞增，在時(shí)，，

遞減，時(shí)，故，由，，

的性質(zhì)有：，

和

有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，

各有一解，即

有2個(gè)同解，，

和

僅有1個(gè)點(diǎn)，，有2個(gè)同的解，即取其它值時(shí)，綜上，的圍是

有兩個(gè)不同解，最多1個(gè)，【規(guī)律方法】構(gòu)造函數(shù)的幾種常用的構(gòu)造技巧：1.通過作差構(gòu)造函數(shù)：作差構(gòu)造的函數(shù)，通過研究新函數(shù)的性質(zhì)從而得出結(jié)論．當(dāng)然，適合這個(gè)方法解的題目中，構(gòu)造的函數(shù)要易于求導(dǎo)，易于判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．-7-

2.利用“換元法”構(gòu)造函數(shù)，換的目的是簡(jiǎn)化函數(shù)的形式．3.先分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，將方變形為=h()構(gòu)函數(shù)x，研究h()的性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)的取范圍．4.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù).【提升練】1建屆考關(guān)鍵問題指導(dǎo)適應(yīng)性練習(xí)（)已知函數(shù)，，關(guān)的方程在區(qū)間

內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取范圍()A．B．C．D．【答案】【解析】易知當(dāng)≤0時(shí)，方程只有一個(gè)，所以>0．令，，令

得，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，又關(guān)于的程=

在區(qū)間

內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，得，故選A.2省唐山市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬函-8-

，

有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)的為（）A．B．C．D．【答案】【解析】∵函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴方程，，且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令g（x，則g′（x）=，

時(shí)，g′（x）0，當(dāng)

時(shí)，g′）0，∴g）在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，當(dāng)x=時(shí)g）取得極大值g）=，又g（0g（）=0，∴若方程故選B.

，，且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，則a=3.【東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬知當(dāng)唯一實(shí)數(shù)解，則所的區(qū)間是()

時(shí)于的方

有A．(3，4)

B，5)C，6)

D．(6【答案】【解析】由xlnx+﹣a）x+a，，令f（x）（x′）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4則g′（x＝1∴g（x）在（，+∞）上為增函，

0，-9-

∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g）＝2﹣ln6＞0∴存在唯一x∈，6得g（x）＝0∴當(dāng)x∈，x），′）＜0，∈（x，+∞）時(shí)，′（x）．則f（x）在（，x）單調(diào)遞，在x，+）上單調(diào)遞增．∴f（x）＝f）．∵﹣4＝0，∴，則∈，6∴a所在的區(qū)間是（5，6故選：4市平區(qū)2019屆三下學(xué)期第一次調(diào)查知數(shù)，

若關(guān)于的程

恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù),則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】【解析】關(guān)于的程即方程

恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即

與

有三個(gè)不同的交點(diǎn).令，當(dāng)當(dāng)且當(dāng)

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，-10-

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，據(jù)此繪制函數(shù)

，的圖像如圖所示，

，

，結(jié)合函數(shù)圖像可知，滿足題意時(shí)的取值范圍是本題選擇C選項(xiàng).

.5徽省合肥市2019屆三二次檢測(cè)】設(shè)函數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值范圍是（）A．BC．D．【答案】【解析】

，若函數(shù)

有三個(gè)-11-

設(shè)

，則

，在

上遞減，在，且

上遞增，時(shí)，，有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于

與

的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，畫出由圖可得，

的圖象，如圖，時(shí)，

與

的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)實(shí)數(shù)的值范圍是

有三個(gè)零點(diǎn)，，故選【西省南昌市2019屆三一次模擬已知函數(shù)

（為然對(duì)數(shù)的底數(shù)，直線（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在

是曲線，使得

在在

處的切.上有唯一零點(diǎn)？若存在，求出的；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案）【解析】（Ⅰ）

）存在k=0或2.，-12-

由已知，有，，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，

恒成立，所以

在

上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以存在唯一?/p>

，使得

，且當(dāng)

時(shí)，，，當(dāng)

時(shí)，

，即

.所以

在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減又因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，，，，，所以存在

或，得

在

上有唯一零點(diǎn).7東青島市2019屆高三月一】已知函數(shù)數(shù)的底數(shù)

，，

為自然對(duì)（1當(dāng)

時(shí)，證明：函數(shù)

只有一個(gè)零點(diǎn)；（2若函數(shù)

存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，實(shí)數(shù)的值范.【答案）詳見解析）.【解析】（1由題知：令

，，，當(dāng)因?yàn)?/p>

，，以，所以在

在

上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，-13-

所以

，故

只有一個(gè)零.（2由（）知：

不合題意，當(dāng)又因?yàn)?/p>

時(shí)，因?yàn)?，所?/p>

，；

；，；又因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)，，，所以，，所以存在，足，所以此時(shí)

，；，；，；存在兩個(gè)極值點(diǎn)，0，符合題.當(dāng)

時(shí)，因?yàn)?/p>

，；

，；以；所以

，即

在

上單調(diào)遞減，所以

無極值點(diǎn)，不合題意綜上可得：

.8.【陜西省咸陽市2019年高考擬檢測(cè)（】已知函數(shù)

.（1當(dāng)（2若函數(shù)

，求證；有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值范.【答案】(1)見證明；(2)【解析】（1證明：當(dāng)

時(shí)，，-14-

得，知

在

遞減，在

遞增，綜上知，當(dāng)

，時(shí)，.（2法1，即，令，，知

在

遞增，在

遞減，注意到，當(dāng)且由函數(shù)

時(shí)，；，有個(gè)點(diǎn)，

時(shí)，，即直線法2：由

與函數(shù)

圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，得.得，，當(dāng)

時(shí)，，

在

上遞減，不滿足題意；當(dāng)

時(shí)，，

在

遞減，在

遞增.，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即

，綜上，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則.9南懷化市2019屆高三3月第一次模擬】設(shè)函數(shù).-15-

（1若（2當(dāng)

是，

的極大值點(diǎn)，求的值范圍；時(shí)，方程（中）有唯一實(shí)數(shù)解，求的值【答案）【解析】（1由題意，函數(shù)

（2）的定義域?yàn)椋瑒t導(dǎo)數(shù)為由，，①若當(dāng)當(dāng)

，由時(shí)，時(shí)，

，得，此時(shí)，此時(shí)

.單調(diào)遞增；單調(diào)遞減.所以②若

是，由

的極大值點(diǎn)，得，.因?yàn)?/p>

是

的極大值點(diǎn)，所以

，解得綜合①②：的值范圍是（2因?yàn)榉匠?/p>

有唯一實(shí)數(shù)解，所以

有唯一實(shí)數(shù)解設(shè)，，令，因?yàn)椋?，以（舍去?dāng)當(dāng)

時(shí)，時(shí)，

，，

在在

上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增當(dāng)

時(shí)，，

取最小值-16-

則，，所以設(shè)函數(shù)因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，

，因?yàn)?，是增函?shù)，所以

，所以（*至多有一解因?yàn)?，以方?）的解為，，解得10通中屆三質(zhì)量測(cè)（)】已知函數(shù).（1討論（2若方程

的單調(diào)性；有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值圍【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1由題可得

，當(dāng)

時(shí)，

，

在

上單調(diào)遞增；當(dāng)

時(shí)，

，

，

在

上單調(diào)遞增；，

，

在

上單調(diào)遞減（2令，，知為，，，，

單調(diào)遞增且一定有大于0的零，不妨設(shè)故若有有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足，即令，，以

在

，上單調(diào)遞減-17-

，所以由，以.

的解集為，當(dāng)

時(shí)，，有，令，由于，以，，故，以，故，

在

上有唯一零點(diǎn)，另一方面，在

上，當(dāng)

時(shí)，由

增長速度大，所以有，綜上，.11東汕頭市2019年通考第一次模擬】已知

．（1討論

的單調(diào)性）

存在3個(gè)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值圍．【答案）見解析）【解析）因?yàn)椋?/p>

或）當(dāng)

時(shí)，，在

和

上，，

單調(diào)遞增；在

上，，

單調(diào)遞減，（ii）當(dāng)（iii）當(dāng)

時(shí)，，時(shí)，，

上，，

單調(diào)遞增，在

和

上，，

單調(diào)遞增；在

上，，

單調(diào)遞減，-18-

（2，所以

有一個(gè)零點(diǎn)．使得

有3個(gè)零點(diǎn)，即方程

有2個(gè)數(shù)根，又方程圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，令，的單調(diào)性如表：

令即函數(shù)1

與－－＋＋↘↘

極小值↗↗當(dāng)

時(shí)，，，

的大致圖像如圖，所以，要使得

有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值范圍為12東淄博市2019屆三3模擬】已知函數(shù)

.（1若（2若

是在

的極大值點(diǎn)，求的；上只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取范.-19-

【答案）【解析】

（2）(1)

，因?yàn)楫?dāng)

是時(shí)，

的極大值點(diǎn)，所以，

，解得，令

，，解