2023年圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

圓的相關(guān)知識(shí)最佳配以簡樸的習(xí)題掌握劉蕾老師整合板塊一:圓的有關(guān)概念一、圓的定義：1.描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,另一個(gè)端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓,其中固定端點(diǎn)叫做圓心,叫做半徑.２．集合性定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓,頂點(diǎn)叫做圓心,定長叫做半徑.３.圓的表達(dá)方法：通常用符號(hào)表達(dá)圓，定義中認(rèn)為圓心,為半徑的圓記作“”，讀作“圓”.４.同圓、同心圓、等圓:圓心相同且半徑相等的圓叫同圓;圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓;可以重合的兩個(gè)圓叫做等圓.注意:同圓或等圓的半徑相等.二、弦和弧1.弦:連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．2.直徑：通過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍.3．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.4.弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡稱弧.認(rèn)為端點(diǎn)的圓弧記作，讀作弧.5.等弧:在同圓或等圓中,可以互相重合的弧叫做等弧．６．半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧,每一條弧都叫做半圓.7.優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧叫做劣弧.8．弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．三、圓心角和圓周角1．圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份,每一份的弧相應(yīng)的圓心角，我們也稱這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．2．圓周角:頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.３.圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論１:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等．推論2：半圓（或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,的圓周角所對(duì)的弦是直徑.推論3：假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.4．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中,假如兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所相應(yīng)的其余各組量分別相等.板塊二：圓的對(duì)稱性與垂徑定理一、圓的對(duì)稱性1.圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是通過圓心的任意一條直線.2．圓的中心對(duì)稱性:圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.3.圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少角度,都能與其自身重合．二、垂徑定理1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．推論1：⑴平分弦(不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;⑵弦的垂直平分線通過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;⑶平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧．３.推論２：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.板塊三:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有:點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外三種,這三種關(guān)系由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系決定.設(shè)的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為,則有:點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi).如下表所示：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及鑒定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部點(diǎn)在的外部.點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上點(diǎn)在的圓周上.點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部點(diǎn)在的內(nèi)部.二、擬定圓的條件1.圓的擬定擬定一個(gè)圓有兩個(gè)基本條件:①圓心（定點(diǎn)）,擬定圓的位置；②半徑（定長）,擬定圓的大小.只有當(dāng)圓心和半徑都擬定期,遠(yuǎn)才干擬定．2．過已知點(diǎn)作圓⑴通過點(diǎn)的圓:以點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)為圓心，以的長為半徑，即可作出過點(diǎn)的圓,這樣的圓有無數(shù)個(gè).⑵通過兩點(diǎn)的圓:以線段中垂線上任意一點(diǎn)作為圓心，以的長為半徑,即可作出過點(diǎn)的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè).⑶過三點(diǎn)的圓:若這三點(diǎn)共線時(shí),過三點(diǎn)的圓不存在;若三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段與的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)是唯一存在的,這樣的圓有唯一一個(gè)．⑷過個(gè)點(diǎn)的圓:只可以作個(gè)或個(gè),當(dāng)只可作一個(gè)時(shí)，其圓心是其中不共線三點(diǎn)擬定的圓的圓心.３.定理:不在同一直線上的三點(diǎn)擬定一個(gè)圓.注意:⑴“不在同一直線上”這個(gè)條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓；⑵“擬定”一詞的含義是“有且只有”,即“唯一存在”.４．三角形的外接圓⑴通過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),叫做三角形的外心,這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．⑵三角形外心的性質(zhì)：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等;②三角形的外接圓有且只有一個(gè),即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的,但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè),這些三角形的外心重合．⑶銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半)；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.板塊四：直線和圓的位置關(guān)系一、直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及鑒定設(shè)的半徑為,圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表:位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及鑒定相離直線與圓沒有公共點(diǎn).直線與相離相切直線與圓有唯一公共點(diǎn),直線叫做圓的切線，唯一公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).直線與相切相交直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線.直線與相交從另一個(gè)角度,直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表達(dá)：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系公共點(diǎn)名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無直線名稱割線切線無二、切線的性質(zhì)及鑒定1．切線的性質(zhì):定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.推論1：通過圓心且垂直于切線的直線必通過切點(diǎn).推論２:通過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必通過圓心．2.切線的鑒定定義法:和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；距離法:和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.3.切線長和切線長定理：⑴切線長:在通過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．⑵切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.三、三角形內(nèi)切圓1.定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.2.多邊形內(nèi)切圓:和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形．板塊五:圓和圓的位置關(guān)系一、圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及鑒定設(shè)的半徑分別為（其中),兩圓圓心距為,則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及鑒定外離兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn),并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部.兩圓外離外切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．兩圓外切相交兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．兩圓相交內(nèi)切兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外,一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部．兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．兩圓內(nèi)含說明:圓和圓的位置關(guān)系，既考慮了他們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來分,又可分為三大類:相離、相切、相交,其中相離兩圓沒有公共點(diǎn),它涉及外離與內(nèi)含兩種情況;相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn),它涉及內(nèi)切與外切兩種情況．二、兩圓的連心線1.定義：通過兩圓圓心的直線叫做連心線.2.性質(zhì)：⑴假如兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上；⑵相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．三、兩圓的公切線1．定義:和兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線．外公切線：兩個(gè)圓在公切線同側(cè)時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線；內(nèi)公切線：兩個(gè)圓在公切線兩側(cè)時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．2.公切線條數(shù)與兩圓的位置關(guān)系⑴若兩圓外離,則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為;⑵若兩圓外切,則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑶若兩圓相交，則外公切線條數(shù)為,內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑷若兩圓內(nèi)切，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為，公切線總數(shù)為；⑸若兩圓內(nèi)含，則外公切線條數(shù)為，內(nèi)公切線條數(shù)為,公切線總數(shù)為；3.性質(zhì):⑴若兩圓有兩條外（內(nèi))公切線，并且相交,則兩圓的連心線必通過交點(diǎn)且平分這兩條公切線的夾角；⑵若兩圓外切，則兩圓的連心線垂直兩圓的內(nèi)公切線；若兩圓內(nèi)切,則兩圓的連心線垂直兩圓的外公切線.特別地，若兩圓為等圓，則它的兩條外公