第1章條件概率,全概率公式(二)

第一章隨機(jī)事件與概率（二）本章要點(diǎn)了解概率論中的一些基本概念:隨機(jī)試驗(yàn),樣本點(diǎn),樣本空間.事件的關(guān)系和運(yùn)算.了解概率的統(tǒng)計(jì)定義和古典概型.了解概率的公理化定義及相關(guān)性質(zhì),掌握古典概型中概率的計(jì)算方法.五、條件概率與事件的獨(dú)立性1.條件概率引例某家電商店庫(kù)存有甲、乙兩聯(lián)營(yíng)廠生產(chǎn)的相同牌號(hào)的冰箱臺(tái),甲廠生產(chǎn)的臺(tái)中有臺(tái)次品.乙廠生產(chǎn)的臺(tái)中有臺(tái)是次品.今工商質(zhì)檢隊(duì)隨機(jī)地從庫(kù)存的冰箱中抽檢一臺(tái),那么抽檢到的臺(tái)是次品（記為事件）的概率有多大？轉(zhuǎn)變?yōu)樵谑录l(fā)生的前提下（增加了一個(gè)附帶條件）,由古典概率的計(jì)算,知若商店有意讓質(zhì)檢隊(duì)從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽檢臺(tái),那么這臺(tái)是次品的概率又是多少？容易得到,此時(shí)的概率為注意到這兩個(gè)概率是不同的,想想為什么?從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取臺(tái)（記為事件）,則問題即在“抽到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)”的條件下,求事件發(fā)生注意到,的概率.如此概率稱為條件概率,記為從而有關(guān)系:⑴下面就幾何概率,驗(yàn)證上式的正確性.設(shè)樣本空間是某個(gè)區(qū)域,每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,則由幾何概率的計(jì)算公式得:在事件發(fā)生的前提下（樣本空間從縮小到）,事件發(fā)生的概率為由此得到定義給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,對(duì)于任意兩個(gè)事件其中稱為在已知事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.可以驗(yàn)證,條件概率滿足概率公理化定義中的條公理.例21某建筑物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過年的概率為超過年的概率為該建筑物使用壽命超過年后,它將在年內(nèi)倒塌的概率有多大?解設(shè)事件表示“該建筑物使用壽命超過年”,事件表示“該建筑物使用壽命超過年”.由題意,得又因?yàn)楣仕蟮臈l件概率為例22某袋中有紅球6個(gè),白球4個(gè),取二次球,每次取一解記分別表示第一、第二次取紅球的事件.由條注意到,此時(shí)且個(gè).求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率（不放回）.件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為:由⑴得設(shè)為事件,且由條件概率公式變形后有2.乘法公式⑵進(jìn)一步地有設(shè)為事件,則⑶例23（機(jī)遇問題）解以表示第人摸到獎(jiǎng)券這一事件,則由乘法公式得四個(gè)人摸到的概率.設(shè)有十人摸一張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券,求第第四人摸到的事件為例23設(shè)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球.每次隨機(jī)地從袋的球,共取了次,試求次取到的都是紅球的概率.解設(shè)事件表示第次取到的是紅球,則中取球,然后把原球放進(jìn),再放進(jìn)個(gè)與取出的球同色所以⑴獨(dú)立的意義問題的引出:設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,是兩個(gè)事件.在前面的眾多例子中,我們看到,在一般情況下,事件的發(fā)生都會(huì)對(duì)事件的發(fā)生產(chǎn)生影響,但某些情況下,事件的發(fā)生與的發(fā)生沒有任何影響.用數(shù)學(xué)公式來反映的話即為:2.隨機(jī)事件的獨(dú)立性例24一袋中裝有個(gè)4白球,2個(gè)黑球,從中有放回取兩次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又有條件概率公式每次取一個(gè).求在第一次取到的是白球的條件下,第二次取到的也是白球的概率.也是白球,則有即:上式表明:事件的發(fā)生對(duì)事件的發(fā)生沒有任何影響.再由條件概率公式:實(shí)際上,由于該問題是一個(gè)放回抽樣問題,常識(shí)告訴我們,事件不應(yīng)該對(duì)事件產(chǎn)生影響.由上式:和前式相比較,有為此,我們引入下面概念.定義設(shè)為事件,且滿足則稱事件是獨(dú)立的.⑵獨(dú)立性⑷定理如果件是則事件獨(dú)立的充分必要條定理下列個(gè)命題是等價(jià)的:⑴事件與相互獨(dú)立;⑵事件與相互獨(dú)立;⑶事件與相互獨(dú)立;⑷事件與相互獨(dú)立.注意該定理的意義.定義設(shè)為事件組,且任取有則稱是相互獨(dú)立的.當(dāng)時(shí),事件組獨(dú)立的含義是:當(dāng)⑸成立,則稱事件組是兩兩獨(dú)立的.⑸⑹例25 某項(xiàng)工作交由三個(gè)人獨(dú)立完成,設(shè)這三人完成的解設(shè)分別表示第一,第二,第三人完成該工再設(shè)事件表示工作被完成,則因又概率分別為求該項(xiàng)工作被完成的概率.作,則所以所以注意求解該類題的一般方法.例26已知每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等價(jià)于“100個(gè)且他們是否含有肝炎病毒是相互獨(dú)立的.今混合100個(gè)人的血清,試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.設(shè)事件表則所求概率為:示“第個(gè)人的血清中含有肝炎病毒”,即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率為0.33.此例說明,小概率事件在多次的重復(fù)試驗(yàn)中會(huì)有較大可能出現(xiàn).3.獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用可靠性問題是系統(tǒng)設(shè)計(jì),產(chǎn)品質(zhì)量控制中的一類重要問題.在以下討論中,假設(shè)各元件是否能正常工作是相互獨(dú)立的.解設(shè)表示各部件正常,靠度為因此系統(tǒng)的可靠度為例27設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件串聯(lián)而成,第個(gè)元件的可試求這個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度.表示系統(tǒng)正常,則系統(tǒng)正常等價(jià)于每個(gè)部件正常.這樣的問題稱為串聯(lián)系統(tǒng)問題.例28設(shè)某臺(tái)設(shè)備由六部件組成,已知該設(shè)備出故障解設(shè)表示各部件正常,表示設(shè)備正常,又每個(gè)部件都出故障.又,每個(gè)部件工作出故障的可能性為求設(shè)備正常工作的概率.則有該問題稱為并聯(lián)系統(tǒng)問題.例29設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件組成,其連接方式如圖所示,試求這個(gè)混合系統(tǒng)的可靠度.解元件組成一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng),相應(yīng)的可靠度為該系統(tǒng)與元件組成一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng),此時(shí)可靠度為最后與元件構(gòu)成并聯(lián)系統(tǒng),故相應(yīng)的可靠度為⑴貝努利試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是相互獨(dú)立的.則稱這個(gè)試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn),相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努4.貝努利概型和二項(xiàng)概率甲、乙、丙名射手向同一目標(biāo)射擊,把每個(gè)射手的射擊看做是一個(gè)試驗(yàn),共有個(gè)試驗(yàn).假定每個(gè)射手射中假定個(gè)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的,便稱這個(gè)試驗(yàn)相互獨(dú)立.如果在次試驗(yàn)中,我們只關(guān)心某個(gè)事件是否發(fā)生,利概型.通常記則如果把貝努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)做次,這個(gè)試驗(yàn)合在一起稱為重貝努利概型.設(shè)事件表示“重貝努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次”在指定的次試驗(yàn)中發(fā)生而其余的為的概率為:注意到,這樣的指定方式總共有個(gè),所以所求概率為又因?yàn)檫@樣的概率僅和數(shù)有關(guān),因而上式常常簡(jiǎn)記為通常又稱上式為二項(xiàng)概率.⑺例30拋起一枚均勻的硬幣次,試求恰出現(xiàn)次正面向上的概率.解此時(shí)由公式⑺得例31設(shè)某人開車回家,途經(jīng)6個(gè)道口,已知在每個(gè)道口解此為的二項(xiàng)概率.由公式⑺得1.2.遇紅燈的概率為0.4,求1.恰好遇到4個(gè)紅燈的概率;2.至少遇到二個(gè)紅燈的概率.例32某小區(qū)有10部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為解此問題是的二項(xiàng)概率,以表示在0.2,求在同一時(shí)刻有三部電梯發(fā)生故障的概率.同一時(shí)刻電梯發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),則問題為求概率由公式⑺得該問題可以進(jìn)一步延伸為:某小區(qū)有200部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為0.02,電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)管理部門需要派出一名維修工人進(jìn)行修理.要保證電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣,則一個(gè)最可靠的方法是,為每一部電梯都安排一個(gè)維修人員.但實(shí)際上,沒有一個(gè)物業(yè)管理部門會(huì)這樣做.現(xiàn)在的問題是,如果我們要求以95%的把握保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)部門有維修人員可以派遣,則應(yīng)該聘用多少名維修人員？若以表示發(fā)生故障的電梯臺(tái)數(shù),表示聘用的維修人即要找到適當(dāng)?shù)氖股鲜匠闪?若用公式⑺進(jìn)行計(jì)算,員數(shù),則問題為則問題是比較復(fù)雜的.在下一章中,我們尋找更好的方法來解決該問題.例33甲、乙兩名選手進(jìn)行比賽,已知甲的實(shí)力較強(qiáng),每盤棋獲勝的概率為假定每盤棋的勝負(fù)是相互獨(dú)立的,在下列種情況下,試求甲最終獲勝的概率.⑴采用三盤比賽制;⑵采用五盤比賽制;⑶采用九盤比賽制.解每盤比賽只有“甲勝”（記作）與甲負(fù)（記作）兩種結(jié)果，此為一個(gè)貝努利概型.⑴⑵⑶1.完備事件組六、全概率公式和貝葉斯公式設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn),為相應(yīng)的樣本空間,⑴⑵則稱該事件組為完備事件組.為事件組,若滿足是一個(gè)完備事件組.例34設(shè)而注完備事件組實(shí)質(zhì)上是樣本空間的一個(gè)劃分.2.全概率公式與逆概率公式⑵貝葉斯公式⑴全概率公式定理設(shè)個(gè)事件構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分,是一個(gè)事件,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),⑻⑼公式⑼稱為貝葉斯公式或逆概率公式不合格率分別為機(jī)地取了一臺(tái).⑴求該產(chǎn)品為不合格品的概率;⑵顧客開箱測(cè)試后發(fā)現(xiàn)冰箱不合格,但這臺(tái)冰箱的廠標(biāo)例35某商店有臺(tái)相同型號(hào)的冰箱待售,其中臺(tái)是甲廠生產(chǎn)的,臺(tái)是乙廠生產(chǎn)的,臺(tái)是丙廠生產(chǎn)的,一位顧客從這批冰箱中隨已經(jīng)脫落,試問這臺(tái)冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的概率各為多少?解以分別表示“顧客買到的冰箱是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的”,由全概率公式⑻得:則是樣本空間的一個(gè)劃分,且⑴再設(shè)表示“買到的是不合格品”,則⑵由貝葉斯公式⑼:注意對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的由多種“原因”形成的概率問題,使用全概率公式是一個(gè)很好的選擇.例36甲袋中有紅球6個(gè),白球3個(gè),乙袋中有紅球5個(gè),白解以分別表示從甲袋及乙袋中取到的是紅球,則由全概率公式⑻得球4個(gè),今隨機(jī)地從甲袋中取一球放入乙袋,再?gòu)囊掖腥∫磺?求從乙袋中取紅球的概率.注意該概率的具體意義.例37設(shè)有三箱產(chǎn)品,其中甲箱有產(chǎn)品120件,次品率⑴隨機(jī)取一箱,再取一件,取到的是次品;⑵開箱后混放,從中取一件,取到的是次品;乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以下概率:⑶在第二種情況下,發(fā)現(xiàn)是次品,該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)的.解設(shè)表示從甲、乙、丙三箱中取產(chǎn)品,表⑴由于是隨機(jī)取箱,所以示取到的是次品,則由全概率公式⑻又⑵由于第二個(gè)問題是開箱后混放產(chǎn)品,故取到各箱產(chǎn)品的概率就不同了,此時(shí)產(chǎn)品總數(shù)為420件,所以再由全概率公式得⑶因由貝葉斯公式⑼例37一批產(chǎn)品中,由甲、乙、丙三廠共同生產(chǎn)的,其中解以分別表示從甲、乙、丙三廠取產(chǎn)品,則又設(shè)表示取到的是次品,則甲廠的產(chǎn)品占次品率為乙廠的產(chǎn)品占次品率為丙廠的產(chǎn)品占次品率今隨機(jī)地抽取一產(chǎn)品,已知取到的是次品,則該產(chǎn)品是由乙廠生產(chǎn)的概率是多少?及由全概率公式,得再由公式⑼得例38某架飛機(jī)有可能飛過三城市上空,飛過甲地的概解設(shè)表示飛機(jī)飛過甲、乙、丙三城市的上空,率為0.2;飛過乙地的概率為0.5;飛過丙地的概率為0.3;當(dāng)飛機(jī)飛過城市,有可能被擊落,擊落的概率分別為現(xiàn)已知飛機(jī)被擊落,問飛機(jī)在哪個(gè)城市上空被擊落的可能性最大？表示飛機(jī)被擊落,則由已知條件得:及則由全概率公式得,再由貝葉斯公式⑼得:所以,在乙城市上空被擊落的可能性最大.例39三人獨(dú)立向一飛機(jī)射擊,命中率分別為解設(shè)分別表示第一、二、三人擊中飛機(jī),則又設(shè)表示有一人擊中飛機(jī),則已知飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.4,如果被二人擊中,被擊落的概率為0.7,三人擊中,則飛機(jī)一定被擊落.求飛機(jī)被擊落的概率.上式中的事件是兩兩互不相容的,因而有設(shè)表示飛機(jī)被擊落,則由已知條件得及和最后設(shè)表示有三人同理,設(shè)表示有二人擊中飛機(jī),則有擊中飛機(jī),則有及由全概率公式得例40（橋式系統(tǒng)）設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件組成,連接方式如下圖.每個(gè)元件的可靠度都是每個(gè)元件是否正常工作是相互獨(dú)立的,試求這個(gè)橋式系統(tǒng)的可靠度.當(dāng)元件正常時(shí),系統(tǒng)相當(dāng)于下圖所示一個(gè)混聯(lián)系統(tǒng):解記表示元件處于正常工作,表示系統(tǒng)正常.因而可靠度為若不發(fā)生時(shí),系統(tǒng)如下圖所示的混聯(lián)系統(tǒng):因而可靠度為由全概率公式得七、部分作業(yè)解答1.2化簡(jiǎn)下列各式⑴⑵解⑴⑶⑵⑶1.3某建筑物倒塌（記為事件）的原因有以下三個(gè):1.地震（記為事件）；2.臺(tái)風(fēng)（記為事件）;3.暴雨（記為事件）.已知臺(tái)風(fēng)時(shí)必有暴雨,試用簡(jiǎn)明的形式表達(dá)下列事件解1.6已知件產(chǎn)品中有是不合格品,今從中隨機(jī)地抽件,試求:⑴產(chǎn)品中恰有不合格品的概率;⑵產(chǎn)品中至少有一件不合格的概率.解⑴以表示取到的件產(chǎn)品中恰有件是次品,則取法總數(shù)為而取到的產(chǎn)品中恰有件是次品的取法數(shù)為因而所求的概率為⑵以表示取到的產(chǎn)品中至少有一件是次品,則表示取到的產(chǎn)品都是正品.所以所求概率為所求概率為:中取,相應(yīng)的取法數(shù)是1.7一個(gè)口袋里裝了球,編號(hào)分別是今隨機(jī)地從袋取只球,試求:⑴最小號(hào)碼是的概率;⑵最大號(hào)碼是的概率.解⑴以表示取到的最小號(hào)碼是此意味著另外球從⑵記事件表示“最大號(hào)碼是”，則同樣地有1.11設(shè)是兩個(gè)事件,已知試求解因所以1.12設(shè)是個(gè)事件,已知試求中至少有個(gè)發(fā)生的概率和全不發(fā)生的概率.解1.14一盒子中裝有只晶體管,其中有只是不合格品.現(xiàn)在做不放回抽樣,連接取次,每次隨機(jī)地取只,試求下面事件的概率:⑴只都是合格品;⑵只是合格品,是不合格品;⑶至少有只是合格品.解連續(xù)兩次取產(chǎn)品的所有可能的取法總數(shù)是⑴以表示取到的都是合格品,則取法總數(shù)是所以⑵以表示取到的產(chǎn)品中有一個(gè)是合格品,則取法數(shù)為所以⑶以表示取到的產(chǎn)品中至少有一個(gè)是合格品,則表示取到的產(chǎn)品中全部是不合格品.因而所以1.15一商店出售晶體管,每盒裝只.已知每盒中有只為不合格品.商店采用“缺一賠十”的銷售方式.顧客買一盒晶體管,如果隨機(jī)地取只,發(fā)現(xiàn)是不合格品,商店要立刻把只合格的晶體管放入盒中.不合格的那只晶體管就不再放回.顧客在一只盒子中隨機(jī)地先后取只晶體管進(jìn)行測(cè)試,試求他發(fā)現(xiàn)全是不合格品的概率.解以表示第次取到的是不合格品,則由已知條件得:由乘法公式得1.16設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立事件,已知求解由獨(dú)立性由此得1.18設(shè)一名情報(bào)員能破譯一份密碼的概率是試問,至少要使用多少名情報(bào)員才能使破譯一份密碼的概率大于解設(shè)總共使用名情報(bào)員破譯密碼.則密碼被破譯的概率為又由已知條件即所以要使用名情報(bào)員.1.20有個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠度都是試求下列系統(tǒng)的可靠度:⑴每個(gè)元件串聯(lián)成一個(gè)子系統(tǒng),再把這兩個(gè)子系統(tǒng)并連;⑵每?jī)蓚€(gè)元件并聯(lián)成一個(gè)子系統(tǒng),再把這個(gè)子系統(tǒng)串連.解⑴個(gè)元件串聯(lián)之后的可靠度為:所以兩個(gè)子系統(tǒng)并聯(lián)之后的可靠度為⑵兩個(gè)元件并聯(lián)后構(gòu)成的子系統(tǒng)的可靠度為因而個(gè)這樣的子系統(tǒng)串聯(lián)后所形成的系統(tǒng)的可靠度為1.22名籃球運(yùn)動(dòng)員獨(dú)立地投籃,每個(gè)運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率都是他們各投籃一次,試求:⑴恰有次投中的概率;⑵至少有次投中的概率;⑶至多有次投中的概率;解該問題是一個(gè)的二項(xiàng)概率.⑴⑵所以⑶1.24某廠生產(chǎn)的鋼琴中有可以直接出廠,剩下的經(jīng)調(diào)試后,其中