2023年成都職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析_第1頁(yè)
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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年成都職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.已知關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。答案:解:令,為使方程f(x)=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,只需或,即或,解得k>0或k<-4,故k的取值范圍是k>0或k<-4.2.若向量a、b的夾角為150°,|a|=3,|b|=4,則|2a+b|=______.答案:|2a+b|=(2a+b)2=4a2+b2+4a?b=12+16+4×3×4×cos150°=2.故為:23.2008年9月25日下午4點(diǎn)30分,“神舟七號(hào)”載人飛船發(fā)射升空,其運(yùn)行的軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,若這個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,離心率為e,則“神舟七號(hào)”飛船到地球中心的最大距離為______.答案:如圖,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知,頂點(diǎn)B到橢圓的焦點(diǎn)F的距離最大.最大為a+c=a+ae.故為:a+ae.4.已知一9行9列的矩陣中的元素是由互不相等的81個(gè)數(shù)組成,a11a12…a19a21a22…a29…………a91a92…a99若每行9個(gè)數(shù)與每列的9個(gè)數(shù)按表中順序分別構(gòu)成等差數(shù)列,且正中間一個(gè)數(shù)a55=7,則矩陣中所有元素之和為______.答案:∵每行9個(gè)數(shù)按從左至右的順序構(gòu)成等差數(shù)列,∴a11+a12+a13+…+a18+a19=9a15,a21+a22+a23+…+a28+a29=9a25,a31+a32+a33+…+a38+a39=9a35,a41+a42+a43+…+a48+a49=9a45,…a91+a92+a93+…+a98+a99=9a95,∵每列的9個(gè)數(shù)按從上到下的順序也構(gòu)成等差數(shù)列,∴a15+a25+a35+…+a85+a95=9a55,∴表中所有數(shù)之和為81a55=567,故為567.5.滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是______.答案:|z|=5,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離為5∴z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(0,0)為圓心,5為半徑的圓.6.如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,若PA⊥AB,PO過(guò)AC的中點(diǎn)M,求證:PC是⊙O的切線.答案:證明:連接OC,∵PA⊥AB,∴∠PA0=90°.(1分)∵PO過(guò)AC的中點(diǎn)M,OA=OC,∴PO平分∠AOC.∴∠AOP=∠COP.(3分)∴在△PAO與△PCO中有OA=OC,∠AOP=∠COP,PO=PO.∴△PAO≌△PCO.(6分)∴∠PCO=∠PA0=90°.即PC是⊙O的切線.(7分)7.數(shù)集{1,x,2x}中的元素x應(yīng)滿足的條件是______.答案:根據(jù)集合中元素的互異性可得1≠x,x≠2x,1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0.故為:x≠1且x≠12且x≠0.8.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E為PD中點(diǎn),若PA=a,PB=b,PC=c,則BE=______.答案:BE=12(BP+BD)=-12PB

+12(BA+BC)=-12PB+12BA+12BC=-12PB+12(PA-PB)+12(PC-PB)=-32PB+12PA+

12PC=12a-32b+12c.故為:12a-32b+12c.9.平面α外一點(diǎn)P到平面α內(nèi)的四邊形的四條邊的距離都相等,且P在α內(nèi)的射影在四邊形內(nèi)部,則四邊形是()

A.梯形

B.圓外切四邊形

C.圓內(nèi)接四邊

D.任意四邊形答案:B10.過(guò)點(diǎn)A(-1,4)作圓C:(x-2)2+(y-3)2=1的切線l,求切線l的方程.答案:設(shè)方程為y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0∴d=|2k-3+k+4|k2+1=1∴4k2+3k=0∴k=0或k=-34∴切線l的方程為y=4或3x+4y-13=011.(1)已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時(shí),可假設(shè)p+q≥2;

(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對(duì)值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1,以下結(jié)論正確的是()

A.(1)的假設(shè)錯(cuò)誤,(2)的假設(shè)正確

B.(1)與(2)的假設(shè)都正確

C.(1)的假設(shè)正確,(2)的假設(shè)錯(cuò)誤

D.(1)與(2)的假設(shè)都錯(cuò)誤答案:A12.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”,正確的假設(shè)是()

A.三角形的內(nèi)角至少有一個(gè)鈍角

B.三角形的內(nèi)角至少有兩個(gè)鈍角

C.三角形的內(nèi)角沒(méi)有一個(gè)鈍角

D.三角形的內(nèi)角沒(méi)有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角答案:B13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1中點(diǎn),則直線CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案:以A為原點(diǎn),AB、AD、AA1所在直線分別為x,y,z軸建空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),E(12,12,1),∴CE=(-12,-12,1),AC=(1,1,0),BD=(-1,1,0),A1D=(0,1,-1),A1A=(0,0,-1),顯然CE?BD=12-12+0=0,∴CE⊥BD,即CE⊥BD.

故選B.14.2007年10月24日18時(shí)05分,在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心,“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星順利升空,24分鐘后,星箭成功分離,衛(wèi)星首次進(jìn)入以地心為焦點(diǎn)的橢圓形調(diào)相軌道,衛(wèi)星近地點(diǎn)為約200公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)為約51000公里.設(shè)地球的半經(jīng)為R,則衛(wèi)星軌道的離心率為______(結(jié)果用R的式子表示)答案:由題意衛(wèi)星進(jìn)入以地心為焦點(diǎn)的橢圓形調(diào)相軌道,衛(wèi)星近地點(diǎn)為約200公里,遠(yuǎn)地點(diǎn)為約51000公里.設(shè)地球的半經(jīng)為R,易知,a=25600+R,c=25400,則衛(wèi)星軌道的離心率e=2540025600+R.故為:2540025600+R.15.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(

)答案:A16.M∪{1}={1,2,3}的集合M的個(gè)數(shù)是______.答案:∵M(jìn)∪{1}={1,2,3},∴M={1,2,3}或{2,3},則符合題意M的個(gè)數(shù)是2.故為:217.點(diǎn)(2a,a-1)在圓x2+y2-2y-4=0的內(nèi)部,則a的取值范圍是()

A.-1<a<1

B.0<a<1

C.-1<a<

D.-<a<1答案:D18.已知|x|<ch,|y|>c>0.求證:|xy|<h.答案:證明:∵|y|>c>0∴0<|1y|<1c∵0<|x|<ch,∴|xy|<ch×1c=h.19.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,分別以射線OB,OC,AA1的指向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.試寫出正方體八個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).答案:解設(shè)i,j,k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相同的單位坐標(biāo)向量.因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑镺,邊長(zhǎng)為2,所以O(shè)B=2.由于點(diǎn)B在x軸的正半軸上,所以O(shè)B=2i,即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0,0).同理可得C(0,2,0),D(-2,0,0),A(0,-2,0).又OB1=OB+BB1=2i+2k,所以O(shè)B1=(2,0,2).即點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(2,0,2).同理可得C1(0,2,2),D1(-2,0,2),A1(0,-2,2).20.已知a=4,b=1,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程是(

A.

B.

C.

D.答案:C21.若直線l的方程為x=2,則該直線的傾斜角是()A.60°B.45°C.90°D.180°答案:∵直線l的方程為x=2∴直線l與x軸垂直∴直線l的傾斜角為90°故選C22.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α、β的關(guān)系為()A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案:從點(diǎn)A看點(diǎn)B的仰角與從點(diǎn)B看點(diǎn)A的俯角互為內(nèi)錯(cuò)角,大小相等.仰角和俯角都是水平線與視線的夾角,故α=β.故選:B.23.a=(2,1),b=(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為______.答案:根據(jù)向量在另一個(gè)向量上投影的定義向量a在向量b方向上的投影為a?b|b|∵a=(2,1),b=(3,4),∴a?b=10,|b|=5∴a?b|b|=2故為:224.若平面α與β的法向量分別是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),則平面α與β的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.無(wú)法判斷答案:∵a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),∴a+b=(1-1,0+0,-2+2)=(0,0,0),即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分別是平面α與β的法向量∴平面α與β的法向量平行,可得平面α與β互相平行.25.(本題10分)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,的定義域?yàn)锽.(1)求A;

(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案:(1);(2)。解析:略26.使關(guān)于的不等式有解的實(shí)數(shù)的最大值是(

)A.B.C.D.答案:D解析:令則的最大值為。選D。還可用Cauchy不等式。27.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線為y=±x,則雙曲線的離心率e=()

A.5

B.

C.

D.答案:C28.如圖①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx,根據(jù)圖象可得a、b、c、d與1的大小關(guān)系為()

A.a(chǎn)<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d

D.a(chǎn)<b<1<d<c

答案:B29.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為______.答案:依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P',拋物線的焦點(diǎn)為F,則F(12,0),依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP'|=|PF|,則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d=|PF|+|PA|≥|AF|=(12)2+22=172.故為:172.30.已知平行四邊形ABCD,下列正確的是()

A.

B.

C.

D.答案:B31.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1.

(1)求A1C與DB所成角的大??;

(2)求二面角D-A1B-C的余弦值;

(3)若點(diǎn)E在A1B上,且EB=1,求EC與平面ABCD所成角的大?。鸢福海?)如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1).∴DB=(-1,1,0),CA1=(1,1,1).∴cos<DB,CA1>=DB?CA1|DB|?|CA1|=02?3=0.∴A1C與DB所成角的大小為90°.(2)設(shè)平面A1BD的法向量n1=(x,y,z),則n1⊥DB,n1⊥A1B,可得-x+y=0x+z=0,∴n1=(1,1,-1).同理可求得平面A1BC的一個(gè)法向量n2=(1,0,-1),∴cos<n1,n2>=n1?n2|n1|?|n2|=26=63,∴二面角D-A1B-C的余弦值為63.(3)設(shè)n=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量,且CE=(22,1,22),∴cos<n,CE>=n?CE|n|?|CE|=12,∴<n,CE>=60°,∴EC與平面ABCD所成的角是30°.32.在方程(θ為參數(shù)且θ∈R)表示的曲線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(,)

B.(,)

C.(2,-7)

D.(1,0)答案:B33.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0.x2+y2-10x-12y+m=0.

(1)m取何值時(shí)兩圓外切?

(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?

(3)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).答案:(1)由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=61-m,兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5,兩圓的半徑之和為11+61-m,由兩圓的半徑之和為11+61-m=5,可得m=25+1011.(2)由兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于兩圓的半徑之差為|11-61-m|,即|11-61-m|=5,可得

11-61-m=5(舍去),或

11-61-m=-5,解得m=25-1011.(3)當(dāng)m=45時(shí),兩圓的方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=16,把兩個(gè)圓的方程相減,可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0.第一個(gè)圓的圓心(1,3)到公共弦所在的直線的距離為d=|4+9-23|5=2,可得弦長(zhǎng)為211-4=27.34.甲、乙兩人破譯一種密碼,它們能破譯的概率分別為和,求:

(1)恰有一人能破譯的概率;(2)至多有一人破譯的概率;

(3)若要破譯出的概率為不小于,至少需要多少甲這樣的人?答案:(1)(2)(3)至少需4個(gè)甲這樣的人才能滿足題意.解析:(1)設(shè)A為“甲能譯出”,B為“乙能譯出”,則A、B互相獨(dú)立,從而A與、與B、與均相互獨(dú)立.“恰有一人能譯出”為事件,又與互斥,則(2)“至多一人能譯出”的事件,且、、互斥,∴(3)設(shè)至少需要n個(gè)甲這樣的人,而n個(gè)甲這樣的人譯不出的概率為,∴n個(gè)甲這樣的人能譯出的概率為,由∴至少需4個(gè)甲這樣的人才能滿足題意.35.命題“梯形的兩對(duì)角線互相不平分”的命題形式為()A.p或qB.p且qC.非pD.簡(jiǎn)單命題答案:記命題p:梯形的兩對(duì)角線互相平分,

而原命題是“梯形的兩對(duì)角線互相不平分”,是命題p的否定形式

故選C36.命題“若a>3,則a>5”的逆命題是______.答案:∵原命題“若a>3,則a>5”的條件是a>3,結(jié)論是a>5∴逆命題是“若a>5,則a>3”故為:若a>5,則a>337.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有OM=xOA+13OB+13OC,則x的值為()A.1B.0C.3D.13答案:解∵OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四點(diǎn)共面,∴必有x+13+13=1,解之可得x=13,故選D38.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(x0,0)的距離等于到直線x=-1的距離,則實(shí)數(shù)x0的值是______.答案:∵點(diǎn)A(1,2)在拋物線y2=2px(p>0)上,∴4=2p,p=2,故拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=1.由點(diǎn)A(1,2)到點(diǎn)B(x0,0)的距離等于到直線x=-1的距離,故點(diǎn)B(x0,0)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),故x0=1.故為1.39.(本小題滿分12分)

如圖,已知橢圓C1的中心在圓點(diǎn)O,長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上,橢圓C1的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點(diǎn),與C1交于兩點(diǎn),這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D.

(I)設(shè)e=,求|BC|與|AD|的比值;

(II)當(dāng)e變化時(shí),是否存在直線l,使得BO//AN,并說(shuō)明理由.答案:(II)t=0時(shí)的l不符合題意,t≠0時(shí),BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即,解得。因?yàn)?,又,所以,解得。所以?dāng)時(shí),不存在直線l,使得BO//AN;當(dāng)時(shí),存在直線l使得BO//AN。解析:略40.是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量,且則△OAB的面積等于()

A.15

B.10

C.7.5

D.5答案:D41.閱讀下面的程序框圖,則輸出的S=()A.14B.20C.30D.55答案:∵S1=0,i1=1;S2=1,i2=2;S3=5,i3=3;S4=14,i4=4;S5=30,i=5>4退出循環(huán),故為C.42.已知△ABC∽△DEF,且相似比為3:4,S△ABC=2cm2,則S△DEF=______cm2.答案:∵△ABC∽△DEF,且相似比為3:4∴S△ABC:S△DEF=9:16∴S△DEF=329.故為:329.43.已知集合P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果P∩Q有且只有一個(gè)元素,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

______.答案:如果P∩Q有且只有一個(gè)元素,即函數(shù)y=m與y=ax+1(a>0,且a≠1)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).∵y=ax+1>1,∴m>1.∴m的取值范圍是(1,+∞).故:(1,+∞)44.mx+ny=1(mn≠0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為______.答案:由mx+ny=1(mn≠0),得x1m+y1n=1,所以mx+ny=1(mn≠0)在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為1m,1n.則mx+ny=1(mn≠0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12|mn|.故為12|mn|.45.如圖,AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的切線,點(diǎn)C在⊙O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,則BC的長(zhǎng)為______.答案:∵OD∥BC,∴∠AOD=∠B;∵AD是⊙O的切線,∴BA⊥AD,即∠OAD=∠ACB=90°,∴Rt△AOD∽R(shí)t△CBA,∴BCOA=ABOD,即BC1=23,故BC=23.46.下列說(shuō)法中正確的是()

A.若∥,則與向相同

B.若||<||,則<

C.起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等

D.所有的單位向量都相等答案:C47.關(guān)于生活中的圓錐曲線,有下面幾個(gè)結(jié)論:

(1)標(biāo)準(zhǔn)田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的內(nèi)道是一個(gè)橢圓;

(2)接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號(hào)的天線設(shè)備,其軸截面與天線設(shè)備的交線是拋物線;

(3)大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔,其軸截面與通風(fēng)塔的交線是雙曲線;

(4)地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡可以近似地看成一個(gè)橢圓.

其中正確命題的序號(hào)是______(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上).答案:(1)標(biāo)準(zhǔn)田徑運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的內(nèi)道是有直道和彎道部分是半圓組成,不是橢圓.故錯(cuò)誤(2)接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號(hào)的天線設(shè)備,其軸截面與天線設(shè)備的交線是拋物線.故正確.(3)大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔,其軸截面與通風(fēng)塔的交線是雙曲線.故正確.(4)地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡可以近似地看成一個(gè)橢圓.故正確.故為:(2)(3)(4)48.設(shè)O、A、B、C為平面上四個(gè)點(diǎn),(

A.2

B.2

C.3

D.3答案:C49.集合{x∈N*|

12

x

∈Z}中含有的元素個(gè)數(shù)為()

A.4

B.6

C.8

D.12答案:B50.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),則f(log23)=______.答案:因?yàn)?<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故為:24.第2卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)點(diǎn)P(t2+2t,1)(t>0),則|OP|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是()A.3B.5C.3D.5答案:解析:由已知得|OP|=(t2+2t)

2+1≥(2t2×2t)2+1=5,當(dāng)t=2時(shí)取得等號(hào).故選D.2.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線()

A.有且僅有一條

B.有且僅有兩條

C.有無(wú)窮多條

D.不存在答案:B3.=(2,1),=(3,4),則向量在向量方向上的投影為()

A.

B.

C.2

D.10答案:C4.已知0<k<4,直線l1:kx-2y-2k+8=0和直線l:2x+k2y-4k2-4=0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為______.答案:如圖所示:直線l1:kx-2y-2k+8=0即k(x-2)-2y+8=0,過(guò)定點(diǎn)B(2,4),與y軸的交點(diǎn)C(0,4-k),直線l:2x+k2y-4k2-4=0,即2x-4+k2(y-4)=0,過(guò)定點(diǎn)(2,4),與x軸的交點(diǎn)A(2k2+2,0),由題意知,四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形OCBD的面積之和,故所求四邊形的面積為12×4×(2k2+2-2)+2×(4-k+4)2=4k2-k+8,∴k=18時(shí),所求四邊形的面積最小,故為18.5.為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況,銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況.若用系統(tǒng)抽樣法,則抽樣間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)體數(shù)分別為()

A.3,2

B.2,3

C.2,30

D.30,2答案:A6.在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線變成直線的伸縮變換是()A.B.C.D.答案:A解析:解:設(shè)直線上任意一點(diǎn)(x′,y′),變換前的坐標(biāo)為(x,y),則根據(jù)直線變成直線則伸縮變換是,選A7.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn),則f(x)=0的所有實(shí)數(shù)根之和為______.答案:∵函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱∴其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱∴方程f(x)=0的所有實(shí)根之和為0故為:08.已知=(-3,2,5),=(1,x,-1),且=2,則x的值為()

A.3

B.4

C.5

D.6答案:C9.不等式-x≤1的解集是(

)。答案:{x|0≤x≤2}10.從1,2,…,9這九個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是()A.59B.49C.1121D.1021答案:基本事件總數(shù)為C93,設(shè)抽取3個(gè)數(shù),和為偶數(shù)為事件A,則A事件數(shù)包括兩類:抽取3個(gè)數(shù)全為偶數(shù),或抽取3數(shù)中2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù),前者C43,后者C41C52.∴A中基本事件數(shù)為C43+C41C52.∴符合要求的概率為C34+C14C25C39=1121.11.8的值為()

A.2

B.4

C.6

D.8答案:B12.已知方程x2-6x+a=0的兩個(gè)不等實(shí)根均大于2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[4,9)

B.(4,9]

C.(4,9)

D.(8,9)答案:D13.某單位200名職工的年齡分布情況如圖,現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本、用系統(tǒng)抽樣法,將全體職工隨機(jī)按1~200編號(hào),并按編號(hào)順序平均分為40組(1~5號(hào),6~10號(hào),…,196~200號(hào)).若第5組抽出的號(hào)碼為22,則第8組抽出的號(hào)碼應(yīng)是______.若用分層抽樣方法,則40歲以下年齡段應(yīng)抽取______人.答案:∵將全體職工隨機(jī)按1~200編號(hào),并按編號(hào)順序平均分為40組,由分組可知,抽號(hào)的間隔為5,∵第5組抽出的號(hào)碼為22,∴第6組抽出的號(hào)碼為27,第7組抽出的號(hào)碼為32,第8組抽出的號(hào)碼為37.40歲以下的年齡段的職工數(shù)為200×0.5=100,則應(yīng)抽取的人數(shù)為40200×100=20(人).故為:37;2014.如右圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,求不同著色方法共有多少種?(以數(shù)字作答).答案:本題是一個(gè)分類和分步綜合的題目,根據(jù)題意可分類求第一類用三種顏色著色,由乘法原理C14C41

C12=24種方法;第二類,用四種顏色著色,由乘法原理有2C14C41

C12

C11=48種方法.從而再由加法原理得24+48=72種方法.即共有72種不同的著色方法.15.(理)在直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程是x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓C的圓心極坐標(biāo)為______.答案:∵直角坐標(biāo)系中,圓C的參數(shù)方程是x=2cosθy=2+2sinθ(θ為參數(shù)),∴x2+(y-2)2=4,∵以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,∴圓心坐標(biāo)(0,2),r=2∵0=pcosθ,∴θ=π2,又p=r=2,∴圓C的圓心極坐標(biāo)為(2,π2),故為:(2,π2).16.已知復(fù)數(shù)(m2-5m+6)+(m2-3m)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=______.答案:當(dāng)m2-5m+6=0m2-3m≠0時(shí),即m=2或m=3m≠0且m≠3?m=2時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).故為:2.17.已知某幾何體的三視圖如圖,畫出它的直觀圖,求該幾何體的表面積和體積.答案:由三視圖可知:該幾何體是由下面長(zhǎng)、寬、高分別為4、4、2的長(zhǎng)方體,上面為高是2、底面是邊長(zhǎng)分別為4、4的矩形的四棱錐,而組成的幾何體.它的直觀圖如圖.∴S表面積=4×2×4+4×4+4×12×4×22=48+162.V體積=4×4×2+13×4×4×2=1283.18.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬為______米.答案:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,將A(2,-2)代入x2=my,得m=-2∴x2=-2y,代入B(x0,-3)得x0=6,故水面寬為26m.故為:26.19.若不等式對(duì)一切x恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.答案:見(jiàn)解析解析:∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只須mx2-mx-1<0恒成立,即可:①

當(dāng)m=0時(shí),-1<0,不等式成立;②

當(dāng)m≠0時(shí),則須,解得-4<m<0.由(1)、(2)得:-4<m≤0.</m<0.20.過(guò)點(diǎn)A(0,2),且與拋物線C:y2=6x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有()條.A.1B.2C.3D.4答案:∵點(diǎn)A(0,2)在拋物線y2=6x的外部,∴與拋物線C:y2=6x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有三條,有兩條直線與拋物線相切,有一條直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,故選C.21.定義直線關(guān)于圓的圓心距單位λ為圓心到直線的距離與圓的半徑之比.若圓C滿足:①與x軸相切于點(diǎn)A(3,0);②直線y=x關(guān)于圓C的圓心距單位λ=2,試寫出一個(gè)滿足條件的圓C的方程______.答案:由題意可得圓心的橫坐標(biāo)為3,設(shè)圓心的縱坐標(biāo)為r,則半徑為|r|>0,則圓心的坐標(biāo)為(3,r).設(shè)圓心到直線y=x的距離為d,d=|3-r|2,則由題意可得λ=d|r|=2,求得r=1,或r=-3,故一個(gè)滿足條件的圓C的方程是(x-3)2+(y-1)2=1,故為(x-3)2+(y-1)2=122.用反證法證明“如果a<b,那么“”,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

A.

B.

C.且

D.或

答案:D23.對(duì)于數(shù)25,規(guī)定第1次操作為23+53=133,第2次操作為13+33+33=55,如此反復(fù)操作,則第2012次操作后得到的數(shù)是

()A.25B.250C.55D.133答案:第1次操作為23+53=133,第2次操作為13+33+33=55,第3次操作為53+53=250,第4次操作為23+53+03=133∴操作結(jié)果,以3為周期,循環(huán)出現(xiàn)∵2012=3×670+2∴第2012次操作后得到的數(shù)與第2次操作后得到的數(shù)相同∴第2012次操作后得到的數(shù)是55故選C.24.(1)用紅、黃、藍(lán)、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃,要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花,相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花,問(wèn)共有多少種不同的擺放方案?

(2)用紅、黃、藍(lán)、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃,要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花,相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花.

①求恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率;

②記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為S,求它的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(S).

答案:(1)根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,擺放鮮花的不同方案有:4×3×2×2=48種(2)①設(shè)M表示事件“恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花”,如圖二,當(dāng)區(qū)域A、D同色時(shí),共有5×4×3×1×3=180種;當(dāng)區(qū)域A、D不同色時(shí),共有5×4×3×2×2=240種;因此,所有基本事件總數(shù)為:180+240=420種.(由于只有A、D,B、E可能同色,故可按選用3色、4色、5色分類計(jì)算,求出基本事件總數(shù)為A53+2A51+A55=420種)它們是等可能的.又因?yàn)锳、D為紅色時(shí),共有4×3×3=36種;B、E為紅色時(shí),共有4×3×3=36種;因此,事件M包含的基本事件有:36+36=72種.所以,P(M)=72420=635②隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ012P6352335635所以,E(ξ)=0×635+1×2335+2×635=125.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為90°.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng),若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則xy的范圍是______.答案:由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB,又|OC|=|OA|=|OB|=1,OA?OB=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng),得x,y∈[0,1],于是,0≤xy≤12,故為[0,12].26.橢圓x29+y216=1上一動(dòng)點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為()A.10B.8C.6D.不確定答案:根據(jù)橢圓的定義,可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和為2a=8,故選B.27.如圖,△PAB所在的平面α和梯形ABCD所在的平面β互相垂直,且AD⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,若tan∠ADP+2tan∠BCP=10,則點(diǎn)P在平面α內(nèi)的軌跡是()A.圓的一部分B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分答案:由AD⊥α,可得AD⊥AP,tan∠ADP=APAD,四邊形ABCD是梯形,則AD∥BC,可得BC⊥α,BC⊥BP,則tan∠BCP=BPBC,又由tan∠ADP+2tan∠BCP=10,且AD=4,BC=8,可得AP+BP=40,又由AB=6,則AP+BP>AB,故P在平面α內(nèi)的軌跡是橢圓的一部分,故選B.28.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,P為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不是頂點(diǎn)),從點(diǎn)A引雙曲線的兩條漸近線的平行線,與直線OP分別交于Q,R兩點(diǎn),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OP|2與|OQ|?|OR|的大小關(guān)系為()

A.|OP|2<|OQ|?|OR|

B.|OP|2>|OQ|?|OR|

C.|OP|2=|OQ|?|OR|

D.不確定答案:C29.方程組的解集是()

A.{-1,2}

B.(-1,2)

C.{(-1,2)}

D.{(x,y)|x=-1或y=2}答案:C30.規(guī)定符號(hào)“△”表示一種運(yùn)算,即a△b=ab+a+b,其中a、b∈R+;若1△k=3,則函數(shù)f(x)=k△x的值域______.答案:1△k=k+1+k=3,解得k=1,∴k=1∴f(x)=k△x=kx+k+x=x+x+1對(duì)于x需x≥0,∴對(duì)于f(x)=x+x+1=(x+12)2+34≥1故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)故為:[1,+∞)31.甲、乙兩人共同投擲一枚硬幣,規(guī)定硬幣正面朝上甲得1分,否則乙得1分,先積3分者獲勝,并結(jié)束游戲.

①求在前3次投擲中甲得2分,乙得1分的概率.

②設(shè)ξ表示到游戲結(jié)束時(shí)乙的得分,求ξ的分布列以及期望.答案:(1)由題意知本題是一個(gè)古典概型試驗(yàn)發(fā)生的事件是擲一枚硬幣3次,出現(xiàn)的所有可能情況共有以下8種.(正正正)、(正正反)、(正反反)、(反反反)、(正反正)、(反正正)、(反反正)、(反正反)、其中甲得(2分),乙得(1分)的情況有以下3種,(正正反)、(正反正)、(反正正)∴所求概率P=38(2)ξ的所有可能值為:0、1、2、3P(ξ=0)=12×12×12=18P(ξ=1)=C13×12×(12)2×12=316,P(ξ=2)=C24(12)2(12)212=316P(ξ=3)=12×12×12+C1312(12)212+C24(12)2(12)212=12∴ξ的分布列為:∴Eξ=1×316+2×316+3×12=331632.若x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,則xy的最大值為______.答案:∵x,y∈R,x>0,y>0,且x+2y=1,∴1=x+2y≥2x?2y,∴22×xy≤1,∴xy≤

122=24,所以xy≤18.當(dāng)且僅當(dāng)x=2yx+2y=1時(shí),即x=12,y=14時(shí),取等號(hào).故為:18.33.i是虛數(shù)單位,a,b∈R,若ia+bi=1+i,則a+b=______.答案:∵ia+bi=1+i,a,b∈R,∴i(a-bi)(a+bi)(a-bi)=1+i,∴b+aia2+b2=1+i,化為b+ai=(a2+b2)+(a2+b2)i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得b=a2+b2a=a2+b2,a2+b2≠0解得a=b=12.∴a+b=1.故為1.34.一位母親記錄了她的兒子3~9歲的身高數(shù)據(jù),并由此建立身高與年齡的回歸模型為y=7.19x+73.93,用這個(gè)模型預(yù)測(cè)她的兒子10歲時(shí)的身高,則正確的敘述是()A.身高一定是145.83

cmB.身高在145.83

cm以上C.身高在145.83

cm左右D.身高在145.83

cm以下答案:∵身高與年齡的回歸模型為y=7.19x+73.93.∴可以預(yù)報(bào)孩子10歲時(shí)的身高是y=7.19x+73.93.=7.19×10+73.93=145.83則她兒子10歲時(shí)的身高在145.83cm左右.故選C.35.兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱,則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=______;答案:由題意知ξ的取值有0,1,2,當(dāng)ξ=0時(shí),即A郵箱的信件數(shù)為0,由分步計(jì)數(shù)原理知兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱,共有3×3種結(jié)果,而滿足條件的A郵箱的信件數(shù)為0的結(jié)果數(shù)是2×2,由古典概型公式得到ξ=0時(shí)的概率,同理可得ξ=1時(shí),ξ=2時(shí),ξ=3時(shí)的概率p(ξ=0)=2×29=49,p(ξ=1)=C12C129=49,p(ξ=2)=19,∴Eξ=0×49+1×49+2×19=23故為:23.36.已知函數(shù)f(x)=2x+a的圖象不過(guò)第三象限,則常數(shù)a的取值范圍是

______.答案:函數(shù)f(x)=2x+a的圖象可根據(jù)指數(shù)函數(shù)f(x)=2x的圖象向上(a>0)或者向下(a<0)平移|a|個(gè)單位得到,若函數(shù)f(x)=2x+a的圖象不過(guò)第三象限,則只能向上平移或者不平移,因此,a的取值范圍是a≥0.故為:a≥0.37.平面內(nèi)有n條直線,其中無(wú)任何兩條平行,也無(wú)任何三條共點(diǎn),求證:這n條直線把平面分割成12(n2+n+2)塊.答案:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),1條直線把平面分成2塊,又12(12+1+2)=2,命題成立.(2)假設(shè)n=k時(shí),k≥1命題成立,即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成12(k2+k+2)塊,那么當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被k條直線分成k+1段,每段把它們所在的平面塊又分成了2塊,因此,增加了k+1個(gè)平面塊.所以k+1條直線把平面分成了12(k2+k+2)+k+1=12[(k+1)2+(k+1)+2]塊,這說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對(duì)一切n∈N*,命題都成立.38.某市某年一個(gè)月中30天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下:

61

76

70

56

81

91

55

91

75

81

88

67

101

103

57

91

77

86

81

83

82

82

64

79

86

85

75

71

49

45

(Ⅰ)完成下面的頻率分布表;

(Ⅱ)完成下面的頻率分布直方圖,并寫出頻率分布直方圖中a的值;

(Ⅲ)在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天,求這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)的概率.

分組頻數(shù)頻率[41,51)2230[51,61)3330[61,71)4430[71,81)6630[81,91)[91,101)[101,111)2230答案:(Ⅰ)如下圖所示.

…(4分)(Ⅱ)如下圖所示.…(6分)由己知,空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[71,81)的頻率為630,所以a=0.02.…(8分)分組頻數(shù)頻率………[81,91)101030[91,101)3330………(Ⅲ)設(shè)A表示事件“在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天,這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)”,由己知,質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[91,101)內(nèi)的有3天,記這三天分別為a,b,c,質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)的有2天,記這兩天分別為d,e,則選取的所有可能結(jié)果為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件數(shù)為10.…(10分)事件“至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101,111)內(nèi)”的可能結(jié)果為:(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e).基本事件數(shù)為7,…(12分)所以P(A)=710.…(13分)39.已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),將M(1,2)代入y2=2px,得P=2.∴拋物線方程為y2=4x,焦點(diǎn)為F(1,0)由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)∴c=1對(duì)于雙曲線,2a=||MF1|-|MF2||=22-2∴a=2-1,a2=3-22,b2=22-2∴雙曲線方程為x23-22-y222-2=1.故為:x23-22-y222-2=1.40.在△ABC中,DE∥BC,DE將△ABC分成面積相等的兩部分,那么DE:BC=()

A.1:2

B.1:3

C.

D.1:1答案:C41.命題“存在實(shí)數(shù)x,,使x>1”的否定是()

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x>1

B.不存在實(shí)數(shù)x,使x≤1

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有x≤1

D.存在實(shí)數(shù)x,使x≤1答案:C42.在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=3,在BC上任取一點(diǎn)D,使△ABD為鈍角三角形的概率為()A.16B.13C.12D.23答案:由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的是長(zhǎng)度為3的一條線段,滿足條件的事件是組成鈍角三角形,包括兩種情況第一種∠ADB為鈍角,這種情況的分界是∠ADB=90°的時(shí)候,此時(shí)BD=1∴這種情況下,滿足要求的0<BD<1.第二種∠OAD為鈍角,這種情況的分界是∠BAD=90°的時(shí)候,此時(shí)BD=4∴這種情況下,不可能綜合兩種情況,若△ABD為鈍角三角形,則0<BD<1P=13故選B43.把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的起點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是

______.答案:把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的起點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)到起點(diǎn)的距離都等于1,所以,由圓的定義得,這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是半徑為1的圓.44.如圖所示,設(shè)k1,k2,k3分別是直線l1,l2,l3的斜率,則()

A.k1<k2<k3

B.k3<k1<k2

C.k3<k2<k1

D.k1<k3<k2

答案:C45.設(shè)集合A={x|},則A∩B等于(

A.

B.

C.

D.答案:B46.兩平行直線x+3y-5=0與x+3y-10=0的距離是______.答案:根據(jù)題意,得兩平行直線x+3y-5=0與x+3y-10=0的距離為d=|-5+10|12+32=102故為:10247.如圖,F(xiàn)是定直線l外的一個(gè)定點(diǎn),C是l上的動(dòng)點(diǎn),有下列結(jié)論:若以C為圓心,CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A、B分別作l的垂線與圓C過(guò)F的切線相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,則必在以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的同一條拋物線上.

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出該拋物線的方程;

(Ⅱ)對(duì)以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題:“若過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn),則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線l相切”請(qǐng)問(wèn):此命題是正確?試證明你的判斷;

(Ⅲ)請(qǐng)選擇橢圓或雙曲線之一類比(Ⅱ)寫出相應(yīng)的命題并證明其真假.(只選擇一種曲線解答即可,若兩種都選,則以第一選擇為平分依據(jù))答案:(Ⅰ)過(guò)F作l的垂線交l于K,以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn),KF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖1,并設(shè)|KF|=p,則可得該拋物線的方程為

y2=2px(p>0);(Ⅱ)該命題為真命題,證明如下:如圖2,設(shè)PQ中點(diǎn)為M,P、Q、M在拋物線準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D,∵PQ是拋物線過(guò)焦點(diǎn)F的弦,∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位線,∴|MD=12(|PA|+|QB|)=12(|PF|+|QF|)=|PQ|2.∵M(jìn)是以PQ為直徑的圓的圓心,∴圓M與l相切.(Ⅲ)選擇橢圓類比(Ⅱ)所寫出的命題為:“過(guò)橢圓一焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),則以PQ為直徑的圓與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線l相離”.此命題為真命題,證明如下:證明:設(shè)PQ中點(diǎn)為M,橢圓的離心率為e,則0<e<1,P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e>|PQ|2,∴圓M與準(zhǔn)線l相離.選擇雙曲線類比(Ⅱ)所寫出的命題為:“過(guò)雙曲線一焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),則以PQ為直徑的圓與雙曲線相應(yīng)的準(zhǔn)線l相交”.此命題為真命題,證明如下:證明:設(shè)PQ中點(diǎn)為M,橢圓的離心率為e,則e>1,P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e<|PQ|2,∴圓M與準(zhǔn)線l相交.48.|a|=4,|b|=5,|a+b|=8,則a與b的夾角為______.答案:設(shè)a與b的夾角為θ因?yàn)閨a|=4,|b|=5,|a+b|=8,所以a2+2a?b+b2=64即16+2×4×5cosθ+25=64解得cosθ=2340所以θ=arccos2340故為arccos234049.盒中有10只螺絲釘,其中有3只是壞的,現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4只,那么310為()A.恰有1只壞的概率B.恰有2只好的概率C.4只全是好的概率D.至多2只壞的概率答案:∵盒中有10只螺絲釘∴盒中隨機(jī)地抽取4只的總數(shù)為:C104=210,∵其中有3只是壞的,∴所可能出現(xiàn)的事件有:恰有1只壞的,恰有2只壞的,恰有3只壞的,4只全是好的,至多2只壞的取法數(shù)分別為:C31×C73=105,C32C72=63,C74=35,C74+C31×C73+C32×C72=203∴恰有1只壞的概率分別為:105210=12,,恰有2只好的概率為63210=310,,4只全是好的概率為35210=16,至多2只壞的概率為203210=2930;故A,C,D不正確,B正確故選B50.命題“所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)”的否定

是()

A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)

B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)

C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)

D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案:D第3卷一.綜合題(共50題)1.已知向量a與b的夾角為60°,且|a|=1,|b|=2,那么(a+b)2的值為______.答案:由題意可得a?b=|a|?|b|cos<a

,

b>=1×2×cos60°=1.∴(a+b)2=a2+b2+2a?b=1+4+2×1=7.故為:7.2.已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,3)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC邊上的中點(diǎn)。

(1)求AB邊所在的直線方程。

(2)求中線AM的長(zhǎng)。

(3)求點(diǎn)C關(guān)于直線AB對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。答案:解:(1)由兩點(diǎn)式得AB邊所在的直線方程為:=即2x-y+3=0(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(1,1)∴|AM|==(3)設(shè)C點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為C′(x′,y′)則CC′⊥AB且線段CC′的中點(diǎn)在直線AB上。即解之得x′=

y′=C′點(diǎn)坐標(biāo)為(,)3.已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a,b,求斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法分下列三步:

①計(jì)算c=a2+b2;

②輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a,b的值;

③輸出斜邊長(zhǎng)c的值;

其中正確的順序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③答案:由算法規(guī)則得:第一步:輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a,b的值,第二步:計(jì)算c=a2+b2,第三步:輸出斜邊長(zhǎng)c的值;這樣一來(lái),就是斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法.故選D.4.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),現(xiàn)從袋中任意取出3個(gè)小球,假設(shè)每個(gè)小球被取出的可能性都相等.

(Ⅰ)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字分別為1,2,3的概率;

(Ⅱ)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同的概率;

(Ⅲ)用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,求P(X≥4)的值.答案:(I)記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字分別為1,2,3”的事件記為A,則P(A)=C12C12C12C310=8120=115;(Ⅱ)記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同”的事件記為A,則P(B)=C15C18C310=40120=13;(Ⅲ)用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字,則X≥4包含取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字為4或5兩種情況,當(dāng)取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字為4時(shí),P(X=4)=C12C26+C22C16C310=36120=310;當(dāng)取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字為5時(shí),P(X=5)=C12C28+C22C18C310=64120=815故P(X≥4)=56.5.某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.答案:由莖葉圖可知樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè),按照從小到大的順序?yàn)椋?7,89,90,91,92,93,94,96.出現(xiàn)在中間兩位的數(shù)據(jù)是91,92.所以樣本的中位數(shù)是(91+92)÷2=91.5,故為:91.56.下列關(guān)于算法的說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是()

①求解某一類問(wèn)題的算法是唯一的;

②算法必須在有限步操作之后停止;

③算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊;

④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果.A.1B.2C.3D.4答案:由算法的概念可知:求解某一類問(wèn)題的算法不是唯一的,故①不正確;算法是有限步,結(jié)果明確性,②④是正確的.對(duì)于③,算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊是正確的;故③正確.∴關(guān)于算法的說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是3.故選C.7.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(a|a|+b|b|),t∈R,則點(diǎn)P一定在()A.∠AOB平分線所在直線上B.線段AB中垂線上C.AB邊所在直線上D.AB邊的中線上答案:∵△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,p=t(a|a|+b|b|),t∈R,∵a|a|

和b|b|

是△OAB中邊OA、OB上的單位向量,∴(a|a|+b|b|

)在∠AOB平分線線上,∴t(a|a|+b|b|

)在∠AOB平分線線上,∴則點(diǎn)P一定在∠AOB平分線線上,故選A.8.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(

)答案:A9.是x1,x2,…,x100的平均數(shù),a是x1,x2,…,x40的平均數(shù),b是x41,x42,…,x100的平均數(shù),則下列各式正確的是()

A.=

B=

C.=a+b

D.答案:A10.設(shè)集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤1},那么“a∈M”是“a∈N”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案:B11.已知x,y,z滿足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2的最小值是______.答案:由題意可得P(x,y,z),在以M(3,4,0)為球心,2為半徑的球面上,x2+y2+z2表示原點(diǎn)與點(diǎn)P的距離的平方,顯然當(dāng)O,P,M共線且P在O,M之間時(shí),|OP|最小,此時(shí)|OP|=|OM|-2=32+42-2=52,所以|OP|2=27-102.故為:27-102.12.已知集合{2x,x+y}={7,4},則整數(shù)x=______,y=______.答案:∵{2x,x+y}={7,4},∴2x=4x+y=7或2x=7x+y=4解得x=2y=5或x=3.5y=0.5不是整數(shù),舍去故為:2,513.如圖,⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D,E,F(xiàn),AB=AC,連接AD交⊙O于點(diǎn)H,直線HF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證:圓心O在直線AD上.

(2)求證:點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn).答案:證明:(1)∵AB=AC,AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD,BD=BE∴CD=BD又∵△ABC是等腰三角形,∴AD是∠CAB的角分線∴圓心O在直線AD上.(5分)(II)連接DF,由(I)知,DH是⊙O的直徑,∴∠DHF=90°,∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O與AC相切于點(diǎn)F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn).(10分)14.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中,高一年級(jí)有40名,高二年級(jí)有50名,現(xiàn)用分層抽樣的方法在這90名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本,已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了8名,則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為______.答案:∵高一年級(jí)有40名學(xué)生,在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了8名,∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是

840=15∵高二年級(jí)有50名學(xué)生,∴要抽取50×15=10名學(xué)生,故為:10.15.下列幾種說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()

①相等的角在直觀圖中對(duì)應(yīng)的角仍然相等;

②相等的線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段仍然相等;

③平行的線段在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段仍然平行;

④線段的中點(diǎn)在直觀圖中仍然是線段的中點(diǎn).

A.1

B.2

C.3

D.4答案:B16.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是上底面A1C1和側(cè)面CD1的中心,求下列各式中的x,y的值:

(1)AC1=x(AB+BC+CC1),則x=______;

(2)AE=AA1+xAB+yAD,則x=______,y=______;

(3)AF=AD+xAB+yAA1,則x=______,y=______.答案:(1)根據(jù)向量加法的首尾相連法則,x=1;(2)由向量加法的三角形法則得,AE=AA1+A1E,由四邊形法則和向量相等得,A1E=12(A1B1+A1D1)=12(AB+AD);∴AE=AA1+12AB+12AD,∴x=y=12;(3)由向量加法的三角形法則得,AF=AD+DF,由四邊形法則和向量相等得,DF=12(DC+DD1)=12(AB+AA1);∴AF=AD+12AB+12AA1,∴x=y=12.17.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一點(diǎn),若λOG=OA+OB+OC,則λ=______.答案:如圖,正方體中,OA+OB+OC=OD=3OG,∴λ=3.故為3.18.求證:答案:證明見(jiàn)解析解析:證:∴19.已知2,4,2x,4y四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5而5,7,4x,6y四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是9,則xy的值是______.答案:因?yàn)?,4,2x,4y四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是5,則2+4+2x+4y=4×5,又由5,7,4x,6y四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是9,則5+7+4x+6y=4×9,x與y滿足的關(guān)系式為x+2y=72x+3y=12解得x=3y=2故為6.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)P(x,y)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則S=x+y的最大值是()

A.1

B.2

C.3

D.4答案:B21.極坐標(biāo)系中,若A(3,π3),B(-3,π6),則s△AOB=______(其中O是極點(diǎn)).答案:∵極坐標(biāo)系中,A(3,π3),B(-3,π6),3cosπ3=32,3sinπ3=332;-3cosπ6=-332,-3sinπ6=-32.∴在平面直角坐標(biāo)系中,A(32,332),B(-332,-32),∴OA=(32,332),OB=(-332,-32),∴|OA|

=

3,|OB|=3,∴cos<OA,OB>=-934-93494+274=-32,∴sin<OA,OB>=1-34=12,∴S△AOB=12×3×3×12=94.故為:94.22.以數(shù)集A={a,b,c,d}中的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)的四邊形只能是()A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形答案:∵數(shù)集A={a,b,c,d}中的四個(gè)元素互不相同,∴以數(shù)集A={a,b,c,d}中的四個(gè)元素為邊長(zhǎng)的四邊形,四條邊不相等∴四邊形只可能是梯形故選D.23.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,-1),平行于向量=(2,1,1),平面α過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面α的法向量不可能是()

A.(1,-4,2)

B.(,-1,)

C.(-,-1,-)

D.(0,-1,1)答案:D24.已知關(guān)于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。答案:解:令,為使方程f(x)=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,只需或,即或,解得k>0或k<-4,故k的取值范圍是k>0或k<-4.25.(幾何證明選講選做題)如圖4,A,B是圓O上的兩點(diǎn),且OA⊥OB,OA=2,C為OA的中點(diǎn),連接BC并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,則CD=______.答案:如圖所示:作出直徑AE,∵OA=2,C為OA的中點(diǎn),∴OC=CA=1,CE=3.∵OB⊥OA,∴BC=22+12=5.由相交弦定理得BC?CD=EC?CA,∴CD=EC?CABC=3×15=355.故為355.26.若集合A={x|x2-4x-5<0,x∈Z},B={x|y=log0.5x>-3,x∈Z},記x0為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則x0∈A∩B的概率等于______.答案:由x2-4x-5<0,x∈Z,解得:-1<x<5,x∈Z,∴x=0,1,2,3,4.即A={0,1,2,3,4},B={x|y=log0.5x>-3,x∈Z}={1,2,3,4,5,6,7},∴A∩B={1,2,3,4},而x0為拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能有6種,∴P=46=23,故為:23.27.下列四個(gè)命題中,正確的有

個(gè)

①;

②;

③,使;

④,使為29的約數(shù).答案:兩解析::①∵(-3)2-4×2×40,∴①正確;②∵2×(-1)+1=-1x,∴③不正確;④x=1是29的約數(shù),∴④正確;∴正確的有兩個(gè)點(diǎn)評(píng):本題考查全稱命題、特稱命題,容易題28.甲、乙兩人共同投擲一枚硬幣,規(guī)定硬幣正面朝上甲得1分,否則乙得1分,先積3分者獲勝,并結(jié)束游戲.

①求在前3次投擲中甲得2分,乙得1分的概率.

②設(shè)ξ表示到游戲結(jié)束時(shí)乙的得分,求ξ的分布列以及期望.答案:(1)由題意知本題是一個(gè)古典概型試驗(yàn)發(fā)生的事件是擲一枚硬幣3次,出現(xiàn)的所有可能情況共有以下8種.(正正正)、(正正反)、(正反反)、(反反反)、(正反正)、(反正正)、(反反正)、(反正反)、其中甲得(2分),乙得(1分)的情況有以下3種,(正正反)、(正反正)、(反正正)∴所求概率P=38(2)ξ的所有可能值為:0、1、2、3P(ξ=0)=12×12×12=18P(ξ=1)=C13×12×(12)2×12=316,P(ξ=2)=C24(12)2(12)212=316P(ξ=3)=12×12×12+C1312(12)212+C24(12)2(12)212=12∴ξ的分布列為:∴Eξ=1×316+2×316+3×12=331629.設(shè)函數(shù)g(x)=ex

x≤0lnx,x>0,則g(g(12

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