數(shù)學建模課程學習

第一講

數(shù)學建模簡介

一種分享，一個問題，一系概念，一串思考，一些例子，一份作業(yè)^^今日導讀:1.1一種分享學會解數(shù)學題物理問題à數(shù)學問題實際問題à數(shù)學問題實際問題à數(shù)學問題à軟件解問題：樹上有十只鳥，開槍打死一只，還剩幾只？1.2一個問題不是開玩笑，這就是數(shù)學建模，從不同角度思考一個問題，想盡所有可能。到底什么是數(shù)學建模？1.3一系概念1.3一系概念1.3.1數(shù)學模型數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學世界理論實踐1.3一系概念1.3.2建模全過程1.3一系概念1.3.3建模領(lǐng)域數(shù)學建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學習。以下建模主要指機理分析。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)數(shù)學建模的方法和步驟1.3.4模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型建立用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學工具數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性模型應用數(shù)學建模的一般步驟模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化對模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時變模型1.3.53）按模型的應用領(lǐng)域（或所屬學科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質(zhì)數(shù)學模型、數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等。4）按建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等。灰箱模型：其內(nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學、社會科學等。

數(shù)學建模示例

例一桌子的穩(wěn)定性問題

問題：將四條腿一樣長的正方形桌子放在不平的地面上，不允許將其移到別處，但可繞中心旋轉(zhuǎn)，是否總能設(shè)法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。模型假設(shè)

1）地面為光滑連續(xù)曲面；

2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的；

3）只要有一點著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面的接觸視為幾何上的點接觸；

4）方桌的中心不動，四條腿等長。1.4一些例子模型構(gòu)成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)正方形對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f(),g()是連續(xù)函數(shù)對任意,f(),g()至少一個為0數(shù)學問題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定連續(xù)函數(shù)的介值定理oxyab思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質(zhì)嗎？oxyABCD思考題1長方形椅子穩(wěn)定性問題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點著地，有ACABCD建模步驟重現(xiàn)模型準備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應用更多簡單例子練習1.（河內(nèi)塔問題）有8個大小不等的圓盤依次其半徑從大到小套在樁A上，現(xiàn)在將8個圓盤移到空樁B或C上（仍保持從大到小的順序）。移動過程中要求一次只能移動一個圓盤且始終保持大盤在下，小盤在上，當然樁也可利用。試問至少多少次可以完成？1.5一串練習模型建立：先將樁A的上面的7個盤按要求移到樁C上，這需要移動a7次，再將樁A上的最大盤移到樁B上，這需要移動1次，最后又將C上的7個盤按要求再移到樁B上，又需要a7次。于是得到遞推關(guān)系模型求解：可得1.模型準備與假設(shè)2.模型建立3.模型求解4.模型分析與檢驗5模型應用2.某人第一天上午8:00有A點出發(fā)，與下午6:00到達B處。第二天上午8:00他又從B出出發(fā)按原路返回，并于下午6:00回到A處。此人必在兩天中同一時間經(jīng)過路中同一個地點，為什么？我們從A點為始點記路程，設(shè)從A點到B點的路程函數(shù)為f(t)，即t時刻走的距離為f(t)；同樣，設(shè)從B點到A點的路程為g(t)。由題意知又注意f(t)，g(t)都是時刻t的連續(xù)函數(shù)，因此h(t)也是t時刻的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理,一定存在某時刻t0使h(t0)=0，即f(t0)=g(t0).1.模型準備與假設(shè)2.模型建立3.模型求解4.模型分析與檢驗5模型應用3.兄妹兩人，哥哥和妹妹分別在離家4km和2km且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4km/h和2km/h的速度步行回家。家中的狗以6km/h的速度一直在兩人之間來回奔跑。問半個小時后，狗仔何處？一個小時后狗仔何處？

4.某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問走那條路最近？（用盡可能簡單的辦法求解。）dAB河5.大小包裝問題在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w的關(guān)系，并解釋其實際意義。提示：決定商品價格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低交流平臺郵箱：dhsxjm@Qq:2227205535選群主991848653，建群馬上行動：去圖書館看相關(guān)書籍（至少1-2本）或購買內(nèi)容：《數(shù)學建?！贰稊?shù)學建模案例》《數(shù)學建模與數(shù)學實驗》