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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客(單位:萬人次)的變化情況,則下列結(jié)論錯誤的是()A.2014年我國入境游客萬人次最少B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C.這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D.前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差2.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎()疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為()且相互獨立,該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當時,最大,則()A. B. C. D.3.已知復數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.54.已知函數(shù),當時,恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若曲線在點處的切線方程為,則實數(shù)的取值為()A.-2 B.-1 C.1 D.26.已知雙曲線的一個焦點為,且與雙曲線的漸近線相同,則雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.7.的展開式中,項的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.638.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B.C. D.9.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.10.若函數(shù)有且只有4個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導線相連(弧的兩端各一個,導線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,且,則_________.14.已知函數(shù),令,,若,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),記數(shù)列的前項和為,則_________15.對定義在上的函數(shù),如果同時滿足以下兩個條件:(1)對任意的總有;(2)當,,時,總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為________.16.在中,,點是邊的中點,則__________,________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,是過定點且傾斜角為的直線;在極坐標系(以坐標原點為極點,以軸非負半軸為極軸,取相同單位長度)中,曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的參數(shù)方程,并將曲線的方程化為直角坐標方程;(2)若曲線與直線相交于不同的兩點,求的取值范圍.18.(12分)已知橢圓()的離心率為,且經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程;(2)過點作直線與橢圓交于不同的兩點,,試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.19.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點.(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.20.(12分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點,且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.21.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程;(2)若點坐標為,圓與直線交于兩點,求的值.22.(10分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論,C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A.由統(tǒng)計圖可知:2014年入境游客萬人次最少,故正確;B.由統(tǒng)計圖可知:后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢,故正確;C.入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù),大于萬次,故正確;D.由統(tǒng)計圖可知:前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大,所以對應的方差更大,故錯誤.故選:D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解,難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖,分析出對應的信息,對學生分析問題的能力有一定要求.2.A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當且僅當即時取等號,即.故選:A.【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應用,互斥事件概率加法公式的應用,以及基本不等式的應用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學生的數(shù)學運算能力和數(shù)學建模能力,屬于較難題.3.A【解析】

首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點睛】本題考查了復數(shù)求模問題,考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】

分析可得,顯然在上恒成立,只需討論時的情況即可,,然后構(gòu)造函數(shù),結(jié)合的單調(diào)性,不等式等價于,進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意,若,顯然不是恒大于零,故.,則在上恒成立;當時,等價于,因為,所以.設(shè),由,顯然在上單調(diào)遞增,因為,所以等價于,即,則.設(shè),則.令,解得,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,從而,故.故選:A.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,利用函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,考查了學生的推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

求出函數(shù)的導數(shù),利用切線方程通過f′(0),求解即可;【詳解】f(x)的定義域為(﹣1,+∞),因為f′(x)a,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x,可得1﹣a=2,解得a=﹣1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義,切線方程的求法,考查計算能力.6.B【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標準方程,結(jié)合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同,且焦點在軸上,∴可設(shè)雙曲線的方程為,一個焦點為,∴,∴,故的標準方程為.故選:B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程,易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.7.B【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出,則出,該項為:;②出,則出,該項為:;③出,則出,該項為:;綜上所述:合并后的項的系數(shù)為17.故選:B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識,考查理解能力,計算能力,分類討論和應用意識.8.A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得;【詳解】解:依題意,,故函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,排除C;而,排除B;,排除D.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別,函數(shù)的奇偶性的應用,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為,所以為上的偶函數(shù),因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為,所以,且,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10.B【解析】

由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個零點即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時,有且只有2個零點即可令,則令,遞減,且遞增,且時,有且只有2個零點,只需故選:B【點睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應用以及根據(jù)零點個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.11.D【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.12.B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小,可將導線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導線長度約為63(厘米).故選:B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由數(shù)量積的運算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題關(guān)鍵.14.4【解析】

根據(jù)導數(shù)的運算,結(jié)合數(shù)列的通項公式的求法,求得,,,進而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,,可得,,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首項為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,所以數(shù)列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的計算,以及等差數(shù)列的通項公式,累加法求解數(shù)列的通項公式,以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.15.【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法:對任意的恒成立,解得,又在,恒成立,即,所以,從而可得.【詳解】因為是定義在上G函數(shù),所以對任意的總有,則對任意的恒成立,解得,當時,又因為,,時,總有成立,即恒成立,即恒成立,又此時的最小值為,即恒成立,又因為解得.故答案為:【點睛】本題是一道函數(shù)新定義題目,考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,考查了學生分析理解能力,屬于中檔題.16.2【解析】

根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因為點是邊的中點,所以故答案為:;.【點睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應用,考查計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(為參數(shù)),;(2)【解析】分析:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中表示之間的距離,而極坐標方程可化為,從而的直角方程為.(2)設(shè),則,利用在圓上得到滿足的方程,最后利用韋達定理就可求出兩條線段的和.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).曲線的極坐標方程可化為.把,代入曲線的極坐標方程可得,即.(2)把直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))代入圓的方程可得:.∵曲線與直線相交于不同的兩點,∴,∴,又,∴.又,.∴,∵,∴,∴.∴的取值范圍是.點睛:(1)直線的參數(shù)方程有多種形式,其中一種為(為直線的傾斜角,是參數(shù)),這樣的參數(shù)方程中的參數(shù)有明確的幾何意義,它表示之間的距離.(2)直角坐標方程轉(zhuǎn)為極坐標方程的關(guān)鍵是利用公式,而極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程的關(guān)鍵是利用公式,后者也可以把極坐標方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.18.(1)(2)見解析【解析】

(1)由題得a,b,c的方程組求解即可(2)直線與直線恰關(guān)于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù),即,整理.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,將韋達定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得,,又,解得,.所以,橢圓的方程為(2)存在定點,滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立,整理得,.設(shè),,定點.(依題意則由韋達定理可得,,.直線與直線恰關(guān)于軸對稱,等價于的斜率互為相反數(shù).所以,,即得.又,,所以,,整理得,.從而可得,,即,所以,當,即時,直線與直線恰關(guān)于軸對稱成立.特別地,當直線為軸時,也符合題意.綜上所述,存在軸上的定點,滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.【點睛】本題考查橢圓方程,直線與橢圓位置關(guān)系,熟記橢圓方程簡單性質(zhì),熟練轉(zhuǎn)化題目條件,準確計算是關(guān)鍵,是中檔題.19.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標原點,,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時解題關(guān)鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.20.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線面垂直;(2)以為坐標原點,以為軸,為軸,為建立空間直角坐標系,設(shè),寫出各點坐標,求出二面角的面的法向量,由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,為中點,所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,兩兩垂直,所以以為坐標原點,以為軸,為軸,為建立空間直角坐標系,設(shè),則,,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,令,則;設(shè)平面的法向量,則,即,令,則,所以.故銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線面垂直,解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角,求空間角一般是建立空間直角坐標系,用向量法易得結(jié)論.21.(1)(2)【解析】試

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