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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設為等差數(shù)列的前項和,若,,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),若,則a的取值范圍為()A. B. C. D.3.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結果是()A. B. C. D.4.關于函數(shù)在區(qū)間的單調性,下列敘述正確的是()A.單調遞增 B.單調遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減5.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.6.從某市的中學生中隨機調查了部分男生,獲得了他們的身高數(shù)據,整理得到如下頻率分布直方圖:根據頻率分布直方圖,可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為A. B.C. D.7.已知直線:()與拋物線:交于(坐標原點),兩點,直線:與拋物線交于,兩點.若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.8.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.510.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知數(shù)列滿足,則()A. B. C. D.12.某市氣象部門根據2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據,繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角所對的邊分別為,為的面積,若,,則的形狀為__________,的大小為__________.14.在棱長為的正方體中,是面對角線上兩個不同的動點.以下四個命題:①存在兩點,使;②存在兩點,使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.15.某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金.若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.16.設雙曲線的左焦點為,過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于,兩點若,則的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)設,,且的最小值為.若,求的最小值.18.(12分)的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積19.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個零點,且;(2)若當時,不等式恒成立,求證:.20.(12分)在平面直角坐標系中,曲線(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的普通方程;(2)若P,Q分別為曲線,上的動點,求的最大值.21.(12分)已知三棱錐中側面與底面都是邊長為2的等邊三角形,且面面,分別為線段的中點.為線段上的點,且.(1)證明:為線段的中點;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知△ABC三內角A、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據已知條件求得等差數(shù)列的通項公式,判斷出最小時的值,由此求得的最小值.【詳解】依題意,解得,所以.由解得,所以前項和中,前項的和最小,且.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和最值的求法,屬于基礎題.2.C【解析】
求出函數(shù)定義域,在定義域內確定函數(shù)的單調性,利用單調性解不等式.【詳解】由得,在時,是增函數(shù),是增函數(shù),是增函數(shù),∴是增函數(shù),∴由得,解得.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的單調性,考查解函數(shù)不等式,解題關鍵是確定函數(shù)的單調性,解題時可先確定函數(shù)定義域,在定義域內求解.3.B【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結果,一般要將算法的每一步列舉出來,考查計算能力,屬于基礎題.4.C【解析】
先用誘導公式得,再根據函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調性的求解.屬于基礎題.5.D【解析】
首先由題意得,當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設為梯形的外接圓圓心,當也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.6.C【解析】
由題可得,解得,則,,所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為,故選C.7.D【解析】
設,,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達定理,再由直線與拋物線的交點求出點坐標,最后根據,得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用,弦長公式的應用,屬于中檔題.8.A【解析】
先根據已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算,意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.9.D【解析】
由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質計算.【詳解】由題意.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質,考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質是解題關鍵.10.D【解析】
根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點;利用導數(shù)研究的單調性從而得到的圖象;由直線恒過定點,通過數(shù)形結合的方式可確定;利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和,進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為:原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知,直線恒過點當時,在上單調遞減;在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示:其中、為過點的曲線的兩條切線,切點分別為由圖象可知,當時,與有且僅有四個不同的交點設,,則,解得:設,,則,解得:,則本題正確選項:【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題;涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題;解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數(shù)的問題,通過確定直線恒過的定點,采用數(shù)形結合的方式來進行求解.11.C【解析】
利用的前項和求出數(shù)列的通項公式,可計算出,然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時,;當時,由,可得,兩式相減,可得,故,因為也適合上式,所以.依題意,,故.故選:C.【點睛】本題考查利用求,同時也考查了裂項求和法,考查計算能力,屬于中等題.12.D【解析】
根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關,故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個,故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學生的理解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等腰三角形【解析】∵∴根據正弦定理可得,即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴,即∵∴故答案為等腰三角形,14.①③④【解析】
對于①中,當點與點重合,與點重合時,可判斷①正確;當點點與點重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據平面將四面體可分成兩個底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個底面和在四個側面上的投影,均為定值,可判定④正確.【詳解】對于①中,當點與點重合,與點重合時,,所以①正確;對于②中,當點點與點重合,與直線所成的角最小,此時兩異面直線的夾角為,所以②不正確;對于③中,設平面兩條對角線交點為,可得平面,平面將四面體可分成兩個底面均為平面,高之和為的棱錐,所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;對于④中,四面體在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形,其面積為定義,四面體在四個側面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,故四面體在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.故答案為:①③④.【點睛】本題主要考查了以空間幾何體的結構特征為載體的謎題的真假判定及應用,其中解答中涉及到棱柱的集合特征,異面直線的關系和椎體的體積,以及投影的綜合應用,著重考查了推理與論證能力,屬于中檔試題.15.20.2【解析】
分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列,根據期望和方差公式計算得解.【詳解】設a,b∈{1,2,1,4,5},則p(ξ1=a),其ξ1分布列為:ξ112145PE(ξ1)(1+2+1+4+5)=1.D(ξ1)[(1﹣1)2+(2﹣1)2+(1﹣1)2+(4﹣1)2+(5﹣1)2]=2.ξ2=1.4|a﹣b|的可能取值分別為:1.4,2.3,4.2,5.6,P(ξ2=1.4),P(ξ2=2.3),P(ξ2=4.2),P(ξ2=5.6),可得分布列.ξ21.42.34.25.6PE(ξ2)=1.42.34.25.62.3.∴E(ξ1)﹣E(ξ2)=0.2.故答案為:2,0.2.【點睛】此題考查隨機變量及其分布,關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率,根據公式準確計算期望和方差.16.【解析】
設直線的方程為,與聯(lián)立得到A點坐標,由得,,代入可得,即得解.【詳解】由題意,直線的方程為,與聯(lián)立得,,由得,,從而,即,從而離心率.故答案為:【點睛】本題考查了雙曲線的離心率,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)當時,,原不等式可化為,分類討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當時,,原不等式可化為,①當時,不等式①可化為,解得,此時;當時,不等式①可化為,解得,此時;當時,不等式①可化為,解得,此時,綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因為的最小值為,所以,由,得,所以,當且僅當,即,時,的最小值為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式問題,對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結合思想,將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用,這是命題的新動向.18.(1).(2).【解析】
由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關系式可求,結合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結合范圍,可求A,根據三角形的內角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進而根據三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.19.(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用求導數(shù),判斷在區(qū)間上的單調性,然后再證異號,即可證明結論;(2)當時,不等式恒成立,分離參數(shù)只需時,恒成立,設(),需,根據(1)中的結論先求出,再構造函數(shù)結合導數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因為,,所以在區(qū)間上有且僅有一個零點,且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當時,;當時,恒成立,設(),所以.由(1)可知,,使,所以,當時,,當時,,由此在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,所以.又因為,所以,從而,所以.令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用,涉及到函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于較難題.20.(1),;(2)【解析】試題分析:(1)由消去參數(shù),可得的普通方程,由可得的普通方程;(2)設為曲線上一點,點到曲線的圓心的距離,結合可得最值,的最大值為,從而得解.試題解析:(1)的普通方程為.∵曲線的極坐標方程為,∴曲線的普通方程為,即.(2)設為曲線上一點,則點到曲線的圓
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