第九章 總體比率的推斷

職教學(xué)院劉春雷E-mail：lcl2156@126.com《教育統(tǒng)計(jì)學(xué)》12第九章總體比率的推斷第一節(jié)比率的抽樣分布第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)第四節(jié)總體比率差異的顯著性檢驗(yàn)3第一節(jié)比率的抽樣分布一、數(shù)據(jù)的特點(diǎn)總體平均數(shù)、方差的統(tǒng)計(jì)推斷——都是對由測量獲得的、正態(tài)連續(xù)變量的數(shù)據(jù)所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷。由點(diǎn)計(jì)而來的間斷變量的數(shù)據(jù)或比率——按性質(zhì)不同所劃分的各種類別的個(gè)體的數(shù)目或比率。如：男女學(xué)生獲獎(jiǎng)的人數(shù)或比率；——按一定標(biāo)準(zhǔn)將測量獲得的、正態(tài)連續(xù)變量的數(shù)據(jù)劃分成不同類別。如：考試成績分成及格和不及格的人數(shù)及比率。4第一節(jié)比率的抽樣分布一、數(shù)據(jù)的特點(diǎn)對點(diǎn)計(jì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷應(yīng)采用總體比率的推斷方法或卡方檢驗(yàn)。當(dāng)事物被劃分成兩類——總體比率的統(tǒng)計(jì)推斷；當(dāng)事物被劃分成兩類以上——卡方檢驗(yàn)（也可對僅有兩種類別——凡是可以應(yīng)用比率進(jìn)行檢驗(yàn)的資料，都可以應(yīng)用卡方檢驗(yàn)。）5第一節(jié)比率的抽樣分布二、比率的抽樣分布比率的抽樣分布是二項(xiàng)分布。二項(xiàng)概率分布是進(jìn)行總體比率統(tǒng)計(jì)推斷的理論依據(jù)。6第一節(jié)比率的抽樣分布二、比率的抽樣分布——假設(shè)有一個(gè)二項(xiàng)分布的總體，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，成功事件出現(xiàn)的比率p=X/n，——然后將其還回總體中去，再從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，又可算得一個(gè)成功事件出現(xiàn)的比率p?！@樣反復(fù)抽下去，就可以獲得一切可能個(gè)樣本，將這一切可能個(gè)樣本的p值進(jìn)行頻數(shù)分布，就形成一個(gè)實(shí)驗(yàn)性的比率的抽樣分布。7第一節(jié)比率的抽樣分布二、比率的抽樣分布當(dāng)p=q，無論n的大小，二項(xiàng)分布呈對稱形；當(dāng)p<q且np≥5，或p>q且nq≥5時(shí)，即：np、nq其中一個(gè)最小頻數(shù)等于或大于5時(shí)，二項(xiàng)分布已經(jīng)開始接近正態(tài)分布。8第一節(jié)比率的抽樣分布三、比率的標(biāo)準(zhǔn)誤——二項(xiàng)試驗(yàn)成功事件一切可能樣本的比率在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差為比率的標(biāo)準(zhǔn)誤?！傮w比率的標(biāo)準(zhǔn)誤是由二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差除以n而獲得。σp——總體比率的標(biāo)準(zhǔn)誤；p'——總體比率，q'=1-p'n——樣本容量9第一節(jié)比率的抽樣分布三、比率的標(biāo)準(zhǔn)誤當(dāng)總體比率未知時(shí)，需用樣本比率p=X/n作為總體比率p'的點(diǎn)估計(jì)?？傮w比率標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)量為Sp——總體比率標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)量P——樣本的比率，q=1-pn——樣本容量10第一節(jié)比率的抽樣分布三、比率的標(biāo)準(zhǔn)誤例如從某區(qū)隨機(jī)抽取100個(gè)中學(xué)生，查得正常視力有65人，若用樣本比率p=65/100=0.65來估計(jì)全區(qū)中學(xué)生正常視力的比率時(shí)，其抽樣誤差根據(jù)公式為11第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比率的區(qū)間估計(jì)——根據(jù)一定概率的要求，估計(jì)總體比率的所在范圍，稱為總體比率的區(qū)間估計(jì)。一、正態(tài)近似法當(dāng)p=q，無論n的大小，二項(xiàng)分布呈對稱形；即便p≠q，np、nq其中一個(gè)最小頻數(shù)等于或大于5，二項(xiàng)分布已經(jīng)開始接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。其統(tǒng)計(jì)量為：12第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)一、正態(tài)近似法令Z在-1.96和1.96之間變動(dòng)，在此期間的概率為95%，即13第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)一、正態(tài)近似法令Z在-1.96和1.96之間變動(dòng)，在此期間的概率為95%，即于是，總體比率95%的置信下限和置信上限為14第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)一、正態(tài)近似法令Z在-2.58和2.58之間變動(dòng)，在此期間的概率為99%，即于是，總體比率99%的置信下限和置信上限為15例如從某區(qū)隨機(jī)抽取100個(gè)中學(xué)生，查得正常視力有65人，若用樣本比率p=65/100=0.65來估計(jì)全區(qū)中學(xué)生正常視力的比率。本例總體比率95%的置信區(qū)間為：P(0.557<p'<0.744)=0.95，因此該區(qū)中學(xué)生正常視力比率有95%的可能在0.557（55.7%）至0.744（74.4%）的范圍內(nèi)。本例總體比率99%的置信區(qū)間為：P(0.527<p'<0.773)=0.99，因此該區(qū)中學(xué)生正常視力比率有99%的可能在0.527（52.7%）至0.773（77.3%）的范圍內(nèi)。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)16二、查表法當(dāng)p在0或1附近，或者樣本容量n較小，二項(xiàng)分布呈偏態(tài)，這時(shí)不能用正態(tài)近似法估計(jì)總體比率的置信限，而可以采用查表法。附表6將1≤n≤1000，p≥1%的二項(xiàng)分布置信限列出。——如已知實(shí)驗(yàn)的次數(shù)n和——二項(xiàng)分布成功事件出現(xiàn)的絕對頻數(shù)X，——就可根據(jù)此表查出總體比率95%或99%的置信限。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)17二、查表法例1：從某小學(xué)三年級(jí)隨機(jī)抽取24個(gè)學(xué)生，測得漢語拼音成績優(yōu)秀者有5人，試估計(jì)該校三年級(jí)學(xué)生此次測驗(yàn)優(yōu)秀的百分比是多少？根據(jù)n=24，X=5，查百分率的可信限表，成績優(yōu)秀的有95%的可能在7%-42%的范圍內(nèi)，有99%的可能在5%-49%范圍內(nèi)。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)18二、查表法例2：向53人調(diào)查關(guān)于全國統(tǒng)一高考的意見，其中表示贊成者有23人，試估計(jì)贊成全國統(tǒng)一高考總體比率95%及99%的置信區(qū)間。根據(jù)n=53，X=23，查表：n=50，相對應(yīng)95%的置信限為32，61；n=60，相對應(yīng)95%的置信限為26，52；第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)19二、查表法例2：根據(jù)n=53，X=23，查表：n=50，相對應(yīng)95%的置信限為32，61；n=60，相對應(yīng)95%的置信限為26，52；設(shè)n=53的95%置信下限為p1，上限為p2，則（50-60）：（53-60）=（32-26）：（p1-26）置信下限p1=30.2（50-60）：（53-60）=（61-52）：（p2-52）置信上限p2=58.3同理可求得99%的置信區(qū)間為26.5%-62.3%結(jié)論：贊成全國統(tǒng)一高考95%的可能在30.2%-58.3%范圍內(nèi)，99%的可能在26.5%-62.3%范圍內(nèi)。第二節(jié)總體比率的區(qū)間估計(jì)20一、正態(tài)近似法當(dāng)p=q，無論n的大??；或者np、nq其中一個(gè)最小頻數(shù)等于或大于5，這時(shí)二項(xiàng)分布近似正態(tài)分布，可用Z檢驗(yàn)總體比率的顯著性。例如：某市中學(xué)教師中大學(xué)本科畢業(yè)的比率為0.60，現(xiàn)從某區(qū)隨機(jī)抽取50名中學(xué)教師，其中大學(xué)本科畢業(yè)的有32人，問該區(qū)中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率與全市中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率是否有顯著性差異？檢驗(yàn)的步驟：（1）提出假設(shè)H0：p'=0.60H1：p'≠0.60第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)21一、正態(tài)近似法（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值本例屬于二項(xiàng)分布，但由于最小頻數(shù)nq=50×0.36=18>5，其二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布，故可選擇Z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)p——樣本的比率p'——總體的比率，q'

=1-p'n——樣本的容量22一、正態(tài)近似法（3）統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)雙側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則，Z=0.58<1.96=Z0.05，則P>0.05，差異不顯著。于是保留H0而拒絕H1。結(jié)論：該區(qū)中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的比率與全市沒有顯著性差異。也可以說，中學(xué)教師大學(xué)本科畢業(yè)的樣本比率0.64是來自于比率為0.60的總體。本例也可以不用比率（相對頻數(shù)）而用絕對頻數(shù)進(jìn)行Z檢驗(yàn)。即將分子分母同乘以n。第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)23二、查表法例如：某區(qū)高考錄取率為0.25，其中甲校26個(gè)畢業(yè)生中有4人被錄取，問甲校與全區(qū)錄取率是否有顯著性差異？檢驗(yàn)的步驟：（1）提出假設(shè)H0：p'=0.25H1：p'≠0.25第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)24二、查表法（2）計(jì)算總體比率的臨界值——由于最小頻數(shù)np=4<5的二項(xiàng)分布呈偏態(tài)，——對于總體比率的顯著性檢驗(yàn)不能用正態(tài)分布處理，——可通過查百分率的可信限表，求二項(xiàng)分布的兩端臨界值加以解決。根據(jù)n=26，X=4，查百分率的可信限表找到總體比率95%的置信區(qū)間為4%-35%第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)25二、查表法（3）統(tǒng)計(jì)決斷由于假設(shè)的總體比率落在樣本所來自的總體比率95%兩端臨界限的中間，即0.04<0.25<0.35，故應(yīng)保留H0而拒絕H1。結(jié)論：甲校高考錄取率與全區(qū)錄取率無顯著性差異。第三節(jié)總體比率的假設(shè)檢驗(yàn)26總體比率假設(shè)檢驗(yàn)——根據(jù)一個(gè)樣本的比率比較兩個(gè)相應(yīng)總體的比率——根據(jù)兩個(gè)樣本的比率一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立樣本比率之差的標(biāo)準(zhǔn)誤為第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)p1——第一個(gè)樣本的比率，q1=1-p1p2——第二個(gè)樣本的比率，q2=1-q2n1和n2——樣本容量27一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)在檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性時(shí)，——以假設(shè)這兩個(gè)樣本比率來自同一個(gè)總體為前提，——于是就用兩個(gè)樣本比率的加權(quán)平均數(shù)作為總體比率的估計(jì)量，即第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)28一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)于是，兩個(gè)獨(dú)立樣本比率之差的標(biāo)準(zhǔn)誤有兩種情況：當(dāng)n1≠n2時(shí)，當(dāng)n1=n2時(shí)，第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)29一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)如果兩個(gè)獨(dú)立樣本的最小頻數(shù)都等于或大于5，兩個(gè)樣本比率之差的抽樣分布也接近于正態(tài)，于是可用Z檢驗(yàn)兩個(gè)比率之差的顯著性。其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)30一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)例如：關(guān)于人體血液循環(huán)的講授，在實(shí)驗(yàn)組運(yùn)用形象直觀的投影片。在對照組由教師畫圖說明。授課結(jié)束，當(dāng)堂測驗(yàn)的結(jié)果如下表，問兩種教學(xué)用具的效果是否有顯著性差異？檢驗(yàn)的步驟：（1）提出假設(shè)H0：p1'=P2'H1：p1'≠P2'第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)31一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)例如：檢驗(yàn)的步驟：（2）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值由于實(shí)驗(yàn)組和對照組為兩個(gè)獨(dú)立樣本，兩組的最小頻數(shù)n1q1=100×0.30=30，n2p2=60×0.40=24，均大于5，于是兩個(gè)樣本比率之差的抽樣分布接近于正態(tài)，故可用上式對兩個(gè)比率差異進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)32一、兩個(gè)獨(dú)立樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)例如：檢驗(yàn)的步驟：（3）統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)雙側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則，∣Z∣=3.73﹡﹡>2.58=Z0.01，則P<0.01，于是在0.01顯著性水平上拒絕H0而接受H1。其結(jié)論為：兩種方法的效果有極其顯著性差異。第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)33二、兩個(gè)相關(guān)樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)如果檢驗(yàn)兩個(gè)相關(guān)樣本比率之差，——即檢驗(yàn)同一組對象實(shí)驗(yàn)前后兩個(gè)比率之差，——或兩個(gè)配對組比率之差，可不必計(jì)算比率之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，而采用一種簡單的方法處理。例如：某校120個(gè)學(xué)生期末代數(shù)測驗(yàn)之后，讓他們在寒假獨(dú)立完成教師編選的代數(shù)練習(xí)題，開學(xué)初進(jìn)行同類題目的測驗(yàn)，兩次測驗(yàn)結(jié)果見下面頻數(shù)表，問學(xué)生獨(dú)立完成教師編選的代數(shù)練習(xí)題，對提高代數(shù)成績是否有顯著效果？第四節(jié)總體比率差異的假設(shè)檢驗(yàn)34二、兩個(gè)相關(guān)樣本比率差異的顯著性檢驗(yàn)第二次測驗(yàn)合計(jì)良非良第一次測驗(yàn)良a48b14a+b62p1=(a+b)/n非良c22d36c+d58q1=(c+d)/n合計(jì)a+c70b+d50p2=(a+c)/nq2=(b+d)/n第四節(jié)總體比率差異的