武漢科技大學(xué)《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性本章主要教學(xué)內(nèi)容5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)5.5系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.4Bode穩(wěn)定判據(jù)5.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)5.3節(jié)為本章難點(diǎn)，5.2、5.4、5.5節(jié)為本章重點(diǎn)5.1

穩(wěn)定性的基本概念

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容5.1.1穩(wěn)定性的定義

5.1.2穩(wěn)定的充要條件

5.1.3穩(wěn)定的必要條件本節(jié)教學(xué)要求1.了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的物理概念3.掌握用穩(wěn)定的必要條件判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.熟悉系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)定義及充要條件5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

不穩(wěn)定的現(xiàn)象5.1.1穩(wěn)定性的定義5.1穩(wěn)定性的基本概念

穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定性的定義——

一個系統(tǒng)稱之為穩(wěn)定的，是指控制系統(tǒng)在外部擾動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。5.1.1穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定不穩(wěn)定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。以上定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5.1.1穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的其他說法——大范圍漸近穩(wěn)定：不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)，否則就稱為小范圍(小偏差)穩(wěn)定。注意：對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。說明：經(jīng)典控制論中,臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。因?yàn)榉治鰰r依賴的模型通常是簡化或線性化的；實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性；系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。穩(wěn)定性條件的分析方法——脈沖響應(yīng)法：假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號δ(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t→∞時，若：則系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.1穩(wěn)定性的基本概念

脈沖響應(yīng)法分析5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果pi和i均為負(fù)值,當(dāng)t時,x0(t)0。穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān).線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，或閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部在S平面左半部。由已知條件知系統(tǒng)具有負(fù)實(shí)根或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件舉例——某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)特征方程和特征根為：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是

——系統(tǒng)特征方程各項系數(shù)具有相同的符號，且無零系數(shù)。5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.1穩(wěn)定性的基本概念

設(shè)系統(tǒng)特征根為s1、s2、…、sn-1、sn，則5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件各根之和每次取兩根乘積之和每次取三根乘積之和各根之積系統(tǒng)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部則特征方程的系數(shù)必然同號（不妨設(shè)為均大于零）。用待定系數(shù)法分析特征方程根與系數(shù)的關(guān)系例

某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。：被控對象水箱的傳遞函數(shù)：執(zhí)行電動機(jī)的傳遞函數(shù)K1：進(jìn)水閥門的傳遞系數(shù)Kp

：杠桿比H0：希望水位H：實(shí)際水位5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件5.1.3系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程K=KpkmK1K0為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，但缺少s項，即對應(yīng)的特征多項式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。這種系統(tǒng)屬于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，無論怎樣調(diào)整該系統(tǒng)的參數(shù)，如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須對系統(tǒng)進(jìn)行校正。系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.2

Routh

（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性本節(jié)教學(xué)內(nèi)容5.2.1Routh行列式

5.2.2Routh判據(jù)

5.2.3Routh判據(jù)的特殊情況本節(jié)教學(xué)要求1.掌握利用Routh判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法2.了解特殊情況下Routh判據(jù)的運(yùn)用牢斯(Routh

)判據(jù)無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，屬于穩(wěn)定性判斷中的一種代數(shù)方法。5.2.1Routh行列式列寫Routh行列式，是利用Routh判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主要工作，其步驟如下:列寫系統(tǒng)特征方程由系統(tǒng)特征方程的各項系數(shù)排成Routh行列表的前兩行其中，第一行為sn、sn-2、sn-4的各項系數(shù)依次排成；第二行為sn-1、sn-3、sn-5的各項系數(shù)依次排成。計算Routh行列式的每一行都要用到該行前面兩行的數(shù)據(jù)。計算行列式的其余各行5.2.1Routh行列式例如6階特征方程

其牢斯行列式為

5.2.1Routh行列式如果符號相同，說明系統(tǒng)具有正實(shí)部的特征根的個數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，則符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有正實(shí)部的特征根的個數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定?？刂葡到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

——

牢斯行列式的第一列元素不改變符號！Routh判據(jù)——

牢斯判據(jù)的實(shí)質(zhì)是對Routh行列表中的“第一列”各數(shù)的符號進(jìn)行判斷：5.2.2

Routh判據(jù)注：通常a0>0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為——勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。

例1牢斯判據(jù)判定穩(wěn)定性符號改變二次,系統(tǒng)有兩個不穩(wěn)定的特征根.5.2.2

Routh判據(jù)5.2.2

Routh判據(jù)例2牢斯判據(jù)判定穩(wěn)定性系統(tǒng)特征方程牢斯判據(jù)002-(9/7)Ks100Ks00K7/3s2023s3K31s45.2.2

Routh判據(jù)例3牢斯判據(jù)判定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性已知系統(tǒng)特征方程：s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統(tǒng)有幾個特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側(cè)。將s平面虛軸左移一個單位距離，即構(gòu)造一個z平面，則直線s=-1右側(cè)的極點(diǎn)即為z平面右側(cè)的極點(diǎn)。勞斯行列表系統(tǒng)有兩個特征根位于平行于虛軸的直線s=-1的右側(cè)。5.2.2

Routh判據(jù)例3牢斯判據(jù)判定系統(tǒng)相對穩(wěn)定性已知系統(tǒng)特征方程：s3+7s2+14s+8=0試判斷該系統(tǒng)有幾個特征方程根位于與虛軸平行的直線s=-1的右側(cè)。將s平面虛軸左移一個單位距離，即構(gòu)造一個z平面，則直線s=-1右側(cè)的極點(diǎn)即為z平面右側(cè)的極點(diǎn)。勞斯行列表系統(tǒng)有一個特征根位于（-1，j0）點(diǎn)。5.2.3Routh

判據(jù)的特殊情況特殊情況1：第一列出現(xiàn)0第一列出現(xiàn)0(各項系數(shù)均為正數(shù))解決方法：用任意小正數(shù)代之。（因第一列符號改變兩次，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。）特殊情況2：某一行元素均為0(各項系數(shù)均為正數(shù))解決方法：用全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程,用對該方程求導(dǎo)后的方程系數(shù)替代全0行.求導(dǎo)得:例如：出現(xiàn)全0行5.2.3Routh

判據(jù)的特殊情況還可由輔助方程求出相應(yīng)的極點(diǎn)

勞斯陣列出現(xiàn)全零行表明——系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根共軛虛根對稱于虛軸的兩對共軛復(fù)根對稱于虛軸的一對實(shí)根5.2.3Routh

判據(jù)的特殊情況5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)【習(xí)題5.5】圖示系統(tǒng),確定K、a取何值時,系統(tǒng)維持以=2s-1的持續(xù)振蕩。＋－Xi(s)Xo(s)系統(tǒng)產(chǎn)生持續(xù)振蕩，說明系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，則勞斯行列式的第一列會出現(xiàn)0元素。5.2Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)課后作業(yè)教材185~186頁：5.3，5.4

5.7(選做題)5.3

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性本節(jié)教學(xué)內(nèi)容

5.3.1幅角原理

5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況本節(jié)教學(xué)要求1.了解Nyquist判據(jù)的依據(jù)——幅角原理2.掌握Nyquist判據(jù)的使用方法3.熟悉開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時奈氏軌跡的繪制判斷Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j)H(j)來判斷系統(tǒng)特征方程1+G(s)H(s)=0

的根是否全部具有負(fù)實(shí)部，是一種幾何判據(jù)，并且還能夠判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)的依據(jù)是幅角原理。開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)5.3.1幅角原理系統(tǒng)開環(huán)特征多項式與閉環(huán)特征多項式關(guān)系設(shè)新變量F(s)Db(s):閉環(huán)特征多項式Dk(s):開環(huán)特征多項式F(s)建立了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式、開環(huán)特征多項式和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)之間的關(guān)系.5.3.1幅角原理

幅角原理——設(shè)Ls為[s]平面上一條封閉曲線，F(xiàn)(s)在Ls上解析，Z、P分別為F(s)在Ls內(nèi)零、極點(diǎn)個數(shù)。當(dāng)s按順時針方向沿Ls變化一周時，向量F(s)在[F]平面所形成的曲線LF將包圍原點(diǎn)N次，且N=Z-P。Ls[s]joF(s)[F]ReImoN=-2N>0：F(s)繞[F]平面原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)N圈；

N<0：F(s)繞[F]平面原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)N

圈。幅角原理基本思想利用F(s)沿封閉曲線Ls一圈的相位變化，確定F(s)繞[F]平面原點(diǎn)的圈數(shù)和方向,進(jìn)而判斷其在Ls內(nèi)的零、極點(diǎn)個數(shù)之差：

Nyquist判據(jù)基本思想為判斷F(s)在[s]右半平面有無零點(diǎn)，作封閉曲線Ls包圍整個[s]右半平面。(該曲線由整個虛軸和無窮大右半圓組成。)R=Ls[S]F(s)在

[s

]

右半平面零、極點(diǎn)個數(shù)之差，可由[F(s)]平面上的封閉軌跡繞該平面原點(diǎn)的圈數(shù)和方向來確定。[F]o由F(s)=1+G(s)H(s),

得G(s)H(s)=F(s)-1,即繞[F]

平面原點(diǎn)的封閉軌跡，等價于繞[GH]平面上(-1，j0)的封閉軌跡。[GH](-1,j0)根據(jù)G(s)H(s)繞[GH]平面(-1，j0)點(diǎn)的N及G(s)H(s)的極點(diǎn)數(shù)P，可判斷F(s)在[s]右半平面的零點(diǎn)數(shù):Z=N+P。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

Gk(s)的形狀即:[GK]平面上的Nyquist軌跡為當(dāng)由-∞到+∞變化時，GK(j)所形成的軌跡。記P為GK(s)在[s]右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則當(dāng)由-∞到+∞變化時，[GK]平面的軌跡GK(j)逆時針包圍點(diǎn)(-1,j0)P圈(N=-P)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

Nyquist

穩(wěn)定判據(jù)5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)注：由于Gk(-j)關(guān)于Gk(j)共軛，因此只需作出從0~+的Gk(j)即可。Nyquist判據(jù)可簡單地用下式表示：若則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)(P=0)的Nyquist判據(jù)系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)穩(wěn)定的條件下，閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)

由-∞到+∞變化時，開環(huán)G(j)H(j)

軌跡不包圍[GH]（或[GK]）平面的(-1,j0)點(diǎn)。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)(a)因?yàn)殚_環(huán)Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點(diǎn)，且P=0則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。系統(tǒng)(b)因?yàn)殚_環(huán)Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點(diǎn)2圈，且P=0則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定的極點(diǎn)數(shù):Z=N=2.例1

圖(a)、(b)為P=0的系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖，判斷相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)=+=-=-=+[GH][GH]P=0P=0例2已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因?yàn)镻=1，所以當(dāng)N=-1時有Z=N+P=0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定:當(dāng)K>1時，Nyquist軌跡逆時針包圍（-1，j0）點(diǎn)一圈，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定（N=-1）；當(dāng)0<K<1時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定（N=0）；當(dāng)K=1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定（Nyquist軌跡穿過(-1，j0)點(diǎn)對應(yīng)F(s)穿過[F]平面的原點(diǎn)）。5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例3已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)有一個不穩(wěn)定極點(diǎn)(P=1),而由-∞到+∞變化時，[GH]平面的軌跡GK(j)

逆時針包圍點(diǎn)(-1,j0)一圈(N=-1)，因此Z=N+P=0,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。-KG(j)ImRe0n(-1,j0)5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的Nyquist軌跡如圖，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。雖然開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)可以穩(wěn)定，但這種系統(tǒng)的動、靜態(tài)品質(zhì)通常不好，應(yīng)當(dāng)盡量避免。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

問題的提出

當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)（原點(diǎn)處存在極點(diǎn)）或者在虛軸上存在極點(diǎn)時，由于GK(s)在

Ls上不再是解析函數(shù)，因此不可直接應(yīng)用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解決這一問題的基本思路是：用半徑→0的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞過這些極點(diǎn)，即將這些極點(diǎn)劃到s左半平面，從而使得GK(s)在Ls上仍然是解析函數(shù)。原點(diǎn)處右半圓弧的數(shù)學(xué)方程r0時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)[s]平面原點(diǎn)處極點(diǎn)所對應(yīng)的Nyquist軌跡s=rej(r0)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)從00+：其Nyquist軌跡為[GH]上幅值為無窮大，弧度為-v/2的圓弧。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

rjO0+0-s從0/2：（[s]平面）（[Gk]平面）原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡：（1）一般情況=0+=0+5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

作出由0+→∞變化時的Nyquist曲線;從G(j0+)開始，以∞的半徑逆時針補(bǔ)畫v900的圓弧(輔助線)。

rjO0+其輔助線的起始點(diǎn)始終在無窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。（如果是非最小相位系統(tǒng)，且v=2，應(yīng)如何作輔助線？）對于最小相位系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)以半徑為無窮大的圓弧順時針方向連接正實(shí)軸端和G(j)H(j)軌跡的起始端。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡：（2）最小相位系統(tǒng)例1

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，和開環(huán)Nyquist圖，應(yīng)用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由于開環(huán)Nyquist軌跡順時針包圍(-1，j0)兩圈，且P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)Z=2。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

=+=-例2

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其開環(huán)Nyquist圖如下，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。曲線(2)為T4較大時，由于導(dǎo)前環(huán)節(jié)的正相位使Gk(j)過負(fù)實(shí)軸的頻率增加，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定；5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

曲線(1)為T4較小時，由于導(dǎo)前環(huán)節(jié)的正相位起作用的頻率較高，Gk(j)在較低頻率時即穿越負(fù)實(shí)軸，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡順時針包圍(-1,j0)點(diǎn)兩圈，系統(tǒng)不穩(wěn)定。|Gk(j)|隨頻率的增加而單調(diào)衰減。例3

單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。作系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線，如圖。判斷開環(huán)穩(wěn)定P=0；開環(huán)Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)；5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

＝0+：A(0+)＝∞,(0+)＝－180°＝：A()＝0,()＝－180°例4

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制其Nyquist軌跡，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。T1<T2，Nyquist軌跡不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定T1>T2，Nyquist軌跡順時針包圍（-1,j0）點(diǎn)2次（N=2），而P＝0，即Z=N+P=2系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。5.3.3開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況

課后作業(yè)教材186頁：5.9（1）、（2）

5.9（3）(選做題)（要求作出從-+Nyquist軌跡）5.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容5.4.1Nyquist圖與Bode

圖的對應(yīng)關(guān)系

5.4.2相位穿越的概念

5.4.3Bode穩(wěn)定判據(jù)本節(jié)教學(xué)要求1.掌握Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系2.熟悉Nyquist圖與Bode

圖的相位穿越的概念3.掌握用Bode判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法5.4

Bode穩(wěn)定判據(jù)5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系相連(v

為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)起始點(diǎn)

(0+)

Nyquist曲線的輔助線:(0+)+v90°線Nyquist圖Bode圖單位圓0分貝線單位圓以外

L()>0的部分單位圓內(nèi)部

L()<0的部分負(fù)實(shí)軸-180°線5.4.1Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系穿越頻率幅值穿越頻率cNyquist圖：Nyquist軌跡與單位圓的交點(diǎn)頻率。Bode圖：對數(shù)幅頻特性與0dB線的交點(diǎn)頻率。相位穿越頻率g

Nyquist圖：

Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率。Bode圖：對數(shù)相頻特性與-線的交點(diǎn)頻率。

GHImRe0(－1,j0)cg3g2g1=0-+→∞20lg|GH|/dB0-180°∠GHωg1ωcωg2ωg300Nyquist軌跡相位穿越——

開環(huán)奈氏軌跡在(-1,j0)點(diǎn)以左穿過負(fù)實(shí)軸，有正穿越:沿頻率增加的方向，開環(huán)奈氏軌跡自上而下穿過負(fù)實(shí)軸；負(fù)穿越:沿頻率增加的方向，開環(huán)奈氏軌跡自下而上穿過負(fù)實(shí)軸；半次穿越:沿頻率增加的方向，開環(huán)奈氏軌跡自負(fù)實(shí)軸向下(向上)稱為半次正(負(fù))穿越（即G(j)H(j)軌跡起始或終止于(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸）。5.4.2相位穿越的概念正1次負(fù)1次正1/2次正2次負(fù)1次負(fù)1/2次Nyquist判據(jù)的穿越法——

當(dāng)由0變化到+∞時，Nyquist軌跡在（-1,j0）點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時（P為系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.4.2相位穿越的概念開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定P=0P=2開環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定正穿越：對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線當(dāng)增大時，從下向上穿越-180°線(相角滯后減小)。負(fù)穿越：對應(yīng)于對數(shù)相頻特性曲線當(dāng)增大時，從上向下穿越-180°線(相角滯后增大)。

Bode圖的相位穿越5.4.2相位穿越的概念5.4.3Bode穩(wěn)定判據(jù)

Bode判據(jù)——若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有P個位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在L()>0的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線()(含輔助線)與-180°線的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。()自上而下()自下而上負(fù)穿越()自下而上()

自上而下正穿越對數(shù)值L()>0范圍內(nèi)相頻(j)穿越-線G(j)H(j)穿過負(fù)實(shí)軸(-1~-)段Bode判據(jù)與Nyquist判據(jù)的對應(yīng)關(guān)系例15.4.3Bode穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)特征方程有兩個右根P=2,正負(fù)穿越數(shù)之差-1——閉環(huán)不穩(wěn)定.P=2開環(huán)特征方程無右根P=0,正負(fù)穿越數(shù)之差0——閉環(huán)穩(wěn)定。P=0開環(huán)特征方程有兩個右根P=2,正負(fù)穿越數(shù)之差為+1，所以

閉環(huán)穩(wěn)定.P=2開環(huán)特征方程無右根P=0，L()>0范圍內(nèi)()和-線不相交即正負(fù)穿越數(shù)之差為0——閉環(huán)穩(wěn)定。例2

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和Bode圖如下，分析系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。5.4.3Bode穩(wěn)定判據(jù)0.20.850200開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)的Bode判據(jù)——

特別地，當(dāng)P=0(開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定)時，Bode判據(jù)可簡述如下：c<g

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;c=g

閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定;c>g

閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.4.3Bode穩(wěn)定判據(jù)GHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cgGHImReoGK(j)cg開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)Bode判據(jù)與Nyquist判據(jù)的對應(yīng)關(guān)系十分明顯，該判據(jù)的正確運(yùn)用是本節(jié)必須要掌握的內(nèi)容.說明：若有多個c，則取最大的c

進(jìn)行判斷。5.4.3Bode穩(wěn)定判據(jù)上圖中，對c3而言，因?yàn)閏3<g，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.

-1020lg|GH|dB010

c3

-180°∠GH0°

c1

c2

g5.5

系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性本節(jié)教學(xué)內(nèi)容5.5.1系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

5.5.2系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量本節(jié)教學(xué)要求1.了解系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的概念2.掌握判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的方法5.5.1系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

——

指系統(tǒng)穩(wěn)定、不穩(wěn)定的程度，或系統(tǒng)穩(wěn)定性的好壞?？梢杂孟到y(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)至虛軸的距離來描述，也可用系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡與（-1,j0）點(diǎn)的靠近程度來反映。特征方程最近虛軸的根至虛軸的距離越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。（虛軸是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的邊界.）(-1,j0)在[GH]平面上，G(j)H(j)軌跡不包圍(-1，j0)點(diǎn)，且離(-1，j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。相位裕度

——

在幅值穿越頻率c上系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定邊界所需要的附加相位滯后量：5.5.2系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)正相位裕度