第三章 時域分析法

第三章：線性系統(tǒng)的時域分析法教學(xué)目的時域分析是控制系統(tǒng)分析的一個十分重要的分析方法，通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生掌握時域分析方法和系統(tǒng)幾個重要時域指標(biāo)的物理意義、計算方法。如何應(yīng)用時域分析方法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程指標(biāo)，以及這些指標(biāo)的計算方法。教學(xué)重點本章是經(jīng)典控制理論中很重要的一章，需要掌握的重點內(nèi)容比較多。

1、時域指標(biāo)及物理意義

2、二階系統(tǒng)的時域分析，重點分析欠阻尼狀態(tài)。

3、勞思穩(wěn)定判據(jù)

4、穩(wěn)態(tài)誤差的概念及其計算教學(xué)內(nèi)容1、時域指標(biāo)的定義及物理意義2、通過對簡單的一階系統(tǒng)分析入手，進(jìn)一步掌握時域指標(biāo)的概念及其計算方法。3、二階系統(tǒng)的時域分析，這是時域分析法中最重要的一節(jié)內(nèi)容。二階系統(tǒng)有完整準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型以及數(shù)學(xué)分析；二階系統(tǒng)在實際應(yīng)用中的普遍性；不少二階系統(tǒng)在一定的條件下可以用二階系統(tǒng)來近似分析；二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，ξ、ωn與極點關(guān)系，與系統(tǒng)性能的關(guān)系，以及時域指標(biāo)的計算；二階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)，可一般簡介。教學(xué)內(nèi)容4、二階系統(tǒng)的性能改善，通過增加系統(tǒng)中的控制環(huán)節(jié)，改善系統(tǒng)的性能，改善性能的實質(zhì)是改變了阻尼系數(shù)和振蕩頻率。5、穩(wěn)定性分析，重點介紹勞思穩(wěn)定判據(jù)，霍爾維茨穩(wěn)定判據(jù)留作自學(xué)。6、穩(wěn)態(tài)誤差分析及計算，重點介紹靜態(tài)誤差系數(shù)。自學(xué)內(nèi)容：1、二階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)2、高階系統(tǒng)的時域分析3、動態(tài)誤差系數(shù)3－1引言時域分析法直接在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行分析，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。時域分析法的局限性是，除了簡單的一、二階系統(tǒng)外，要精確求解系統(tǒng)的動態(tài)指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。時域分析法是經(jīng)典控制理論中的一種常用的系統(tǒng)分析方法。系統(tǒng)的性能指標(biāo)，主要有動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。3.1.1典型輸入信號

研究一個系統(tǒng)，主要是針對某一輸入作用，研究其輸入－－輸出之間的關(guān)系。但在絕大多數(shù)情況下，輸入信號以無法預(yù)測的方式變化，為了便于分析、設(shè)計，便于對各種系統(tǒng)的性能進(jìn)行比較，常假定一些基本輸入函數(shù)形式作為典型輸入信號。常用的典型信號有：單位階躍函數(shù)、單位斜波函數(shù)、單位加速度函數(shù)、正弦函數(shù)。典型輸入信號是理想化的函數(shù)，代替實際輸入。對于某一具體系統(tǒng)，不同形式的輸入信號，所對應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的，但系統(tǒng)性能是由自身結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的，而與輸入信號無關(guān)。一般認(rèn)為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，也能滿足要求。所以，通常在系統(tǒng)分析中以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可以在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較。3.1.2單位沖激響應(yīng)

傳遞函數(shù)的反拉氏變換單位沖激響應(yīng)3.1.2系統(tǒng)的時間響應(yīng)有理分式的每一個極點都對應(yīng)中的一個時間響應(yīng)項，即運動模態(tài)。把傳遞函數(shù)極點所對應(yīng)的運動模態(tài)稱為該系統(tǒng)的自由運動模態(tài)。系統(tǒng)的時間響應(yīng)中，與傳遞函數(shù)極點對應(yīng)的時間響應(yīng)分量稱為瞬態(tài)分量，與輸入信號極點對應(yīng)的時間響應(yīng)分量稱為穩(wěn)態(tài)分量。3.1.3時間響應(yīng)的性能指標(biāo)

在假定系統(tǒng)的初始條件為零，系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能指標(biāo)有：

(1)上升時間tr有二個定義：

a.響應(yīng)曲線從終值10%到90%所需時間（階躍響應(yīng)曲線不超過穩(wěn)態(tài)值時）；

b.響應(yīng)曲線第一次上升到終值所需時間。

tr越小，說明系統(tǒng)響應(yīng)速度越快。

(2)峰值時間tp：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需時間。（3）過渡過程時間(調(diào)節(jié)時間)ts：響應(yīng)曲線衰減到與穩(wěn)態(tài)值之差不超過5%或2%內(nèi)所需要的時間。（4）超調(diào)量δ%：最大偏離量h(tp)與終值h(∞)之差的百分比。（5）振蕩次數(shù)N：在調(diào)節(jié)時間范圍內(nèi)，階躍響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。在上述時域指標(biāo)中：上升時間tr、峰值時間tp評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度；超調(diào)量δ%評價系統(tǒng)的阻尼程度；調(diào)節(jié)時間ts綜合反映響應(yīng)速度和阻尼程度。h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%動態(tài)性能指標(biāo)定義1h(t)t調(diào)節(jié)時間tsh(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時間tsh(t)t上升時間tr調(diào)節(jié)時間ts動態(tài)性能指標(biāo)定義23、動態(tài)性能與穩(wěn)定性能

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差來描述，穩(wěn)態(tài)誤差是對系統(tǒng)精度的一種衡量，它表達(dá)了系統(tǒng)實際輸出值與希望輸出值的最終偏差。3－2一階系統(tǒng)的時域分析1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如RC電路C(t)為輸出，r(t)為輸入，C(0)=0i(t)RCr(t)c(t)令：T＝RC并取Laplace變換：R(s)C(s)I(s)3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對于單位階躍輸入于是單位階躍響應(yīng)h(t)為：h(t)=1－e-t/T

⑵一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線斜率：t=0時h’(t)t=0=(1－e－t/T)’

t=0=－e－t/T(－1/T)t=0=1/T當(dāng)t=T時h’(t)t=T=0.368/T當(dāng)t=∞時h’(t)t=∞=0

一階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線斜率初始值為1/T，并隨時間下降，當(dāng)t＝∞時，動態(tài)過程結(jié)束，但工程上習(xí)慣取t=(3-5)T，認(rèn)為過渡過程結(jié)束。⑴討論：當(dāng)t=0

h(0)=0t→∞h(∞)=1t=Th(T)=0.632

t=3Th(3T)=0.95

a.求上升時間tr由上升時間的定義，分別求出h(t1)=0.1；h(t2)=0.9得：t1=0.1T；t2=2.3T所以：tr=t2－t1=2.2Tb.同理可求出ts=3Tc.一階系統(tǒng)沒有超調(diào)，所以不需要求tp和δ%。討論：動態(tài)指標(biāo)與時間常數(shù)T有關(guān)，T越小，其響應(yīng)過程越快，即慣性越小，一階系統(tǒng)又稱為“慣性系統(tǒng)”。3.2.2一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入為單位脈沖函r(t)=δ(t)，求其脈沖響應(yīng)。因為R(s)=1，由脈沖響應(yīng)的意義，g(t)t一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為一單調(diào)下降指數(shù)曲線，其衰減到初始值5%所需時間仍為ts=3T。由于系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含了相同的動態(tài)信息，工程上常用測量系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，來求出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。工程上無法得到理想單位脈沖函數(shù)，一般用具有一定脈寬h和有限幅度的脈沖函數(shù)來近似代替，一般要求h<0.1T。3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t，tr(t)=tc(t)t=0時，e(0)=0；t→∞時，e(∞)=t－T討論：1.斜坡響應(yīng)有二部分穩(wěn)態(tài)分量：t－T響應(yīng)曲線比輸入曲線延遲T瞬態(tài)分量：隨時間的增加而減小。2.輸出誤差當(dāng)t=0時，e(0)=0；t→∞時，e(∞)=T

誤差與時間常數(shù)T有關(guān)，慣性越小，系統(tǒng)的速度跟蹤誤差越小，精度越高。一階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)小結(jié)1.對于單位階躍響應(yīng)，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(t)→0,說明一階系統(tǒng)能跟蹤單位階躍輸入。

2.對于單位斜坡響應(yīng)，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(t)＝T，說明一階系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下，存在一個跟蹤誤差，而且T越小，誤差越小。

3.一階系統(tǒng)不能實現(xiàn)對加速度輸入函數(shù)的跟蹤，t→∞時，e(t)→∞。

4.一階系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)誤差都與T的大小有關(guān)系。

5.幾種典型信號響應(yīng)關(guān)系，請看教材P76和表3－2。例3.1

某一階系統(tǒng)如圖,（1）求調(diào)節(jié)時間ts,（2）若要求

解:

(1)與標(biāo)準(zhǔn)形式對比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s

(2)

要求ts=0.1s，即3T=0.1s,即,得0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)ts=0.1s,求反饋系數(shù)Kh.

解題關(guān)鍵：化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式。Kh?整理得傳遞函數(shù)

?故得結(jié)構(gòu)圖

?取拉氏變換，有

R(s)C(s)(-)?其中：ωn—自然頻率；ζ—阻尼比。?又因為

標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式3.3.1

二階系統(tǒng)的典型形式控制系統(tǒng)的運動方程為二階微分方程，稱為二階系統(tǒng)。3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.3.2二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

?其根決定了系統(tǒng)的響應(yīng)形式。其輸出的拉氏變換為單位階躍函數(shù)作用下，二階系統(tǒng)的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)。二階系統(tǒng)特征方程(a)閉環(huán)極點分布j1122334505(b)單位階躍響應(yīng)曲線1.21.01.61.40.80.60.40.2c(t)161824681012140t21354?進(jìn)一步的描述如下圖：

?

穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；

?瞬態(tài)部分是阻尼正弦振蕩過程，阻尼的大小由n(即σ，特征根實部）決定；

?振蕩角頻率為阻尼振蕩角頻率d（特征根虛部），其值由阻尼比ζ和自然振蕩角頻率n決定。

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)兩部分組成：(1).欠阻尼二階系統(tǒng)

(即0<ζ<1時)

?系統(tǒng)有一對共軛復(fù)根：=?

階躍響應(yīng)為?其中=cos

0

s1

ωn-n

s2

j

jd

?系統(tǒng)有兩個相同的負(fù)實根：s1,2=-

n

?階躍響應(yīng):

?此時系統(tǒng)有兩個純虛根：s1,2=±jn

?階躍響應(yīng)：c(t)=1-cosnt?系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為一條不衰減的等幅余弦振蕩曲線。?此時系統(tǒng)有兩個不相等負(fù)實根(2).臨界阻尼二階系統(tǒng)（即ζ=1時）(3).無阻尼二階系統(tǒng)（即ζ=0時）(4).過阻尼二階系統(tǒng)（即ζ>1時）?系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是無超調(diào)、無振蕩單調(diào)上升的，不存在穩(wěn)態(tài)誤差。?系統(tǒng)的單位躍響應(yīng)無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。?階躍響應(yīng)：0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j02c(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+c(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnc(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上幾種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如下圖：

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0

不同阻尼比的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線見上圖。從圖中可以看出,隨著阻尼比ζ的減小,階躍響應(yīng)的振蕩程度加劇。ζ=0時是等幅振蕩,ζ≥1時是無振蕩的單調(diào)上升曲線,其中臨界阻尼對應(yīng)的過渡過程時間最短。在欠阻尼的狀態(tài)下,當(dāng)0.4＜ζ＜0.8時,過渡過程時間比臨界阻尼時更短,而且振蕩也不嚴(yán)重。因此在控制工程中,除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩的情況外,通常都希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼狀態(tài)。

在許多實際情況中,評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞是通過系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)的過渡過程的特征量來表示的。在一般情況下,希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼狀態(tài)下。因此,下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)主要是針對二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的。另外,系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過渡過程與初始條件有關(guān),為了便于比較各種系統(tǒng)的過渡過程性能,通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。3.3.3欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)單位階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個峰值所需要的時間。

階躍響應(yīng)從零第一次升到穩(wěn)態(tài)所需的時間。1.動態(tài)性能指標(biāo)計算

上升時間tr

峰值時間tp單位階躍響應(yīng)

?即

?得

?由

?得

?此時單位階躍響應(yīng)中最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。

超調(diào)量%單位階躍響應(yīng)進(jìn)入±誤差帶的最小時間。

調(diào)節(jié)時間ts

?由

?有

?根據(jù)定義

?

阻尼比ζ越小，超調(diào)量越大，平穩(wěn)性越差，調(diào)節(jié)時間ts長；

?ζ=0.7，調(diào)節(jié)時間最短，快速性最好，而超調(diào)量%<5%，平穩(wěn)性也好，故稱ζ=0.7為最佳阻尼比。2.結(jié)構(gòu)參數(shù)ζ對單位階躍響應(yīng)性能的影響

欠阻尼二階系統(tǒng)的一對包絡(luò)線如右圖(取)

c(t)t01包絡(luò)線（=2%）(=5%)?工程上通常用包絡(luò)線代替實際曲線來估算。

R(s)(-)C(s)?化為標(biāo)準(zhǔn)形式?即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為?解得n=5,ζ=0.5

例3.2

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。

設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。例3.3解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。

0t(s)11.30.1h(t)3-4高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)概述（自學(xué)）作業(yè)P90:3-33-53-93-103-5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.5.1穩(wěn)定的概念

力學(xué)系統(tǒng)中，外力為零時，位移保持不變的位置稱平衡位置。平衡位置的穩(wěn)定性取決于外力為零時，系統(tǒng)能否從偏離平衡位置處自行返回到原平衡位置。懸掛的擺，垂直位置是穩(wěn)定平衡位置。倒立的擺，垂直位置是不穩(wěn)定平衡位置?？刂葡到y(tǒng)中所有的輸入信號為零，而系統(tǒng)輸出信號保持不變的點（位置）稱為平衡點（位置）。取平衡點時系統(tǒng)的輸出信號為零?？刂葡到y(tǒng)所有輸入信號為零時，在非零初始條件作用下，如果系統(tǒng)的輸出信號隨時間的推移而趨于零（即系統(tǒng)能夠自行返回到原平衡點），則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則不穩(wěn)。3.5.2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為又設(shè)則有其中：q+2r=n,q為實數(shù)極點的個數(shù)，r為共軛復(fù)數(shù)極點的對數(shù)。將上式因式分解，且設(shè)可得對上式求拉氏反變換，得系統(tǒng)輸出響應(yīng)為

其中，第一項為由輸入引起的輸出穩(wěn)態(tài)分量，其余各項為系統(tǒng)輸出的瞬態(tài)分量。顯然，一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，其輸出瞬態(tài)分量應(yīng)均為零。由上式可知，要做到這一點，必須滿足。

所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分與必要條件是：系統(tǒng)所有特征根的實部小于零，即其特征方程的根都在s左半平面。

j0穩(wěn)定區(qū)域不穩(wěn)定區(qū)域[S平面]推論與說明1.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是本身固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。2.穩(wěn)定的系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)及輸出信號中的瞬態(tài)分量都趨于零。3.實際物理系統(tǒng)不穩(wěn)定時，變量往往形成大幅值的等幅振蕩，或趨于最大值。4.有實部為零（位于虛軸上）的極點，其余極點都具有負(fù)實部，稱臨界穩(wěn)定。工程上臨界穩(wěn)定為不穩(wěn)定。3.5.3勞思穩(wěn)定判據(jù)對方程的系數(shù)做簡單計算，可確定正實部根的個數(shù)，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)特征方程為：

穩(wěn)定判據(jù)則只要根據(jù)特征方程的系數(shù)便可判別出特征根是否具有負(fù)實部，從而判斷出系統(tǒng)是否閉環(huán)穩(wěn)定。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法：

(1)

勞斯—古爾維茨判據(jù)

(2)

根軌跡法

(3)

奈奎斯特判據(jù)

(4)

李雅普諾夫第二方法穩(wěn)定的必要條件：特征方程不缺項，所有系數(shù)均為正值。

勞思表

其中等系數(shù)按下列公式計算

結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：勞思表第一列各項元素均為正數(shù)。如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第

一列各系數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特征方程的正實部根的數(shù)目。注意兩種特殊情況的處理：

1）某行的第一列項為0，而其余各項不為0或不全為0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a為任意正數(shù)），或用很小的正數(shù)代替零元素，然后對新特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)。

2）當(dāng)勞斯表中出現(xiàn)全零行時，用上一行的系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程，對輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行。

(這種情況表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根)例3.5

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3.6

設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表s4112s3220s2

(取代0)2

s12-4/s02

可見第一列元素的符號改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在S右半平面上有兩個極點。解：列出勞斯表

s616104s5284s4284輔助多項式A(s)的系數(shù)

s3000A(s)=2s4+8s2+4dA(s)/ds=8s3+16s

第一列元素全為正，系統(tǒng)并非不穩(wěn)定；陣列出現(xiàn)全零行，系統(tǒng)不是穩(wěn)定的；綜合可見，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（存在有共軛純虛根）。

解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y，

A(s)=2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表：

s616104s5284s4284s3816dA(s)/ds的系數(shù)

s244s18s04

3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的,在控制系統(tǒng)設(shè)計中作為穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。實際的控制系統(tǒng)由于本身結(jié)構(gòu)和輸入信號的不同,其穩(wěn)態(tài)輸出量不可能完全與輸入量一致,也不可能在任何擾動作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原有的平衡點。另外,系統(tǒng)中還存在摩擦、間隙和死區(qū)等非線性因素。因此,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總是不可避免的?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計時應(yīng)盡可能減小穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差足夠小，可以忽略不計的時候,可以認(rèn)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零,這種系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng),而穩(wěn)態(tài)誤差不為零的系統(tǒng)則稱為有差系統(tǒng)。應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是,只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時,才可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念

根據(jù)控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)(如圖所示),可以定義系統(tǒng)的誤差與穩(wěn)態(tài)誤差。控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)

定義誤差的兩種方式1、從輸出端定義：系統(tǒng)輸出量的期望值與實際值之差,即

C?。菏瞧钚盘杄(t)=0時的被控量的值。2、從輸入端定義：系統(tǒng)設(shè)定輸入量與主反饋量之差,即

式中B(S)是實際輸出量經(jīng)反饋后送到輸入端的主反饋量。E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)E(s)=C希-C實=-C(s)R(s)H(s)ˊ3、穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量。由參考輸入信號r(t)和擾動信號f(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，它們與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)、信號的函數(shù)形式（階躍、斜坡或加速度）以及信號進(jìn)入系統(tǒng)的位置有關(guān)。這些誤差又稱原理性誤差。

R(s)和F(s)都存在，用疊加原理求總的偏差。3.6.2利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)

根據(jù)終值定理

使用該公式應(yīng)滿足sE(s)在s右半平面及虛軸上解析的條件，即sE(s)的極點均位于s左半平面(包括坐標(biāo)原點)。誤差傳遞函數(shù)為：1）,符合終值定理應(yīng)用條件。3）,不符合終值定理應(yīng)用條件。2）,符合終值定理應(yīng)用條件。例3.7

設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/TS,輸入信號分別

為1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sinωt，求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。

解：誤差傳遞函數(shù)為本題說明：1）使用終值定理要注意條件；

2）穩(wěn)態(tài)誤差與輸入有關(guān)。使用終值定理將得出錯誤結(jié)論。3.6.3系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)一、影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素一般開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式：

顯然，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差取決于原點處開環(huán)極點的階次、開環(huán)增益K以及輸入信號的形式。式中，K為開環(huán)增益。為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點的極點重數(shù)，=0,1,2時，系統(tǒng)分別稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。二、階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)三、斜坡輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)四、加速度輸入下穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)加速度誤差系數(shù)五、系統(tǒng)型別、靜態(tài)誤差系數(shù)與輸入信號行式之間的關(guān)系如表3-1。

減小或消除誤差的措施：提高開環(huán)積分環(huán)