第三章-一元回歸模型

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第三章一元回歸模型一元回歸模型現(xiàn)在，我們用一個(gè)一次方程來(lái)表示兩個(gè)數(shù)據(jù)X和Y之間的關(guān)系。

Yi=α+βXi+uii=1,2,…，n這個(gè)公式就是一元回歸模型。X是表示原因的變量，成為解釋變量或獨(dú)立變量；Y是表示結(jié)果的變量，稱(chēng)為被解釋變量或從屬變量。u是誤差項(xiàng)或擾亂項(xiàng)，它是Y的變化中不能完全由X的變化來(lái)解釋的部分，換句話(huà)說(shuō)，它表示的是Y（實(shí)際值）與α+βX（理論值）之間的偏差。一般來(lái)說(shuō)，回歸分析是為了發(fā)現(xiàn)X作為原因，Y作為結(jié)果是兩者之間的因果關(guān)系，因此，X與Y之間的關(guān)系，理論上必須能夠成立。如果對(duì)沒(méi)有理論意義上的公式進(jìn)行推算，即使能夠得出良好的推算結(jié)論，也是沒(méi)有意義的分析，這一點(diǎn)必須充分注意?；貧w分析的主要目的是估計(jì)回歸系數(shù)α、β，最常用的辦法就是最小二乘法（ordinaryleastsquaresmethod，OLS）。最小二乘法（OLS）利用OLS來(lái)估計(jì)一元回歸模型，可以得到所謂的估計(jì)回歸線(xiàn)（最小二乘回歸線(xiàn)），即稱(chēng)為的估計(jì)值（最小二乘估計(jì)值）。讀作Yhat，如圖所示，它是與X實(shí)際值（觀(guān)測(cè)值）相對(duì)應(yīng)的估計(jì)回歸線(xiàn)上的Y值，稱(chēng)為Y的理論值（估計(jì)值、計(jì)算值、預(yù)測(cè)值等）。Y（結(jié)果）X（原因）Y1：觀(guān)測(cè)值1估計(jì)回歸線(xiàn)與殘差下面，就殘差為u，殘差=實(shí)際值-理論值其次，計(jì)算殘差的2次方的總和，即殘差平方和（residualsumofsquares,RSS）,得尋找能夠使殘差平方和最小的值，就是OLS的基本原理。為了求殘差平方和關(guān)于的最小值，需要將上式對(duì)分別求偏導(dǎo)，并設(shè)其為零，即這個(gè)聯(lián)立方程稱(chēng)為正規(guī)方程。例題3-1利用下面的數(shù)據(jù)，對(duì)一元回歸模型Y=α+βX+u進(jìn)行最小二乘估計(jì)。解答將數(shù)據(jù)帶入工作表中進(jìn)行計(jì)算，得：又解將數(shù)據(jù)帶入工作表進(jìn)行計(jì)算。決定系數(shù)（coefficientofdetermination）是反映估計(jì)的回歸線(xiàn)對(duì)觀(guān)測(cè)的數(shù)據(jù)的解釋能力，或者說(shuō)是反映兩者擬合優(yōu)度的尺度，是回歸分析不可缺少的統(tǒng)計(jì)量。我們將Y的實(shí)際值與平均值之差的平方和稱(chēng)作Y的全部變化，即另外將Y的理論值與平均值之差的平方和稱(chēng)作能夠由回歸解釋的變化（回歸平方和），即這樣，所謂決定系數(shù)R2反映的是Y的全部變化中，能夠由回歸來(lái)解釋的部分的比率，其定義如下：決定系數(shù)的計(jì)算公式可以采用下面三個(gè)公式中的任何一個(gè)。此外，決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)之間有以下關(guān)系：決定系數(shù)=相關(guān)系數(shù)的平方?jīng)Q定系數(shù)的取值范圍為：0≤R2≤1決定系數(shù)越接近于1，理論值與實(shí)際值越近似，說(shuō)明模型的解釋能力越強(qiáng)。例如，如果R2=90%，則模型具有90%的解釋力；如果R2=30%，則說(shuō)明模型只有30%的解釋力例題3-2表3-3顯示了日本1994-2005年的12年間，實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值X與實(shí)際居民消費(fèi)支出Y的數(shù)據(jù)。（1）對(duì)下面的宏觀(guān)消費(fèi)函數(shù)進(jìn)行最小二乘估計(jì)；Y=α+βX+u（2）計(jì)算決定系數(shù)R2，并考察估計(jì)出來(lái)的宏觀(guān)消費(fèi)函數(shù)的擬合優(yōu)度；（3）求理論值和殘差；（4）利用（1）中估算出來(lái)的宏觀(guān)消費(fèi)函數(shù)，當(dāng)實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值在510兆日元和570兆日元時(shí)，對(duì)實(shí)際居民消費(fèi)支出分別進(jìn)行預(yù)測(cè)。表3-3日本實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值與實(shí)際居民最終消費(fèi)支出單位：兆日元解答（1）解答（2）解答（3）表3-4實(shí)際居民最終消費(fèi)支出的實(shí)際值、理論值和殘差解答（4）非線(xiàn)性方程（non-linearequation）的回歸分析當(dāng)數(shù)據(jù)的分散情況在一定的較小的范圍時(shí)，被解釋變量與解釋變量之間的回歸關(guān)系，大部分是線(xiàn)性相。但是隨著范圍的擴(kuò)大，非線(xiàn)性近似的情況很多。一般來(lái)說(shuō)，非線(xiàn)性方程的回