第三章-一元回歸模型

計量經(jīng)濟學第三章一元回歸模型一元回歸模型現(xiàn)在，我們用一個一次方程來表示兩個數(shù)據(jù)X和Y之間的關系。

Yi=α+βXi+uii=1,2,…，n這個公式就是一元回歸模型。X是表示原因的變量，成為解釋變量或獨立變量；Y是表示結果的變量，稱為被解釋變量或從屬變量。u是誤差項或擾亂項，它是Y的變化中不能完全由X的變化來解釋的部分，換句話說，它表示的是Y（實際值）與α+βX（理論值）之間的偏差。一般來說，回歸分析是為了發(fā)現(xiàn)X作為原因，Y作為結果是兩者之間的因果關系，因此，X與Y之間的關系，理論上必須能夠成立。如果對沒有理論意義上的公式進行推算，即使能夠得出良好的推算結論，也是沒有意義的分析，這一點必須充分注意。回歸分析的主要目的是估計回歸系數(shù)α、β，最常用的辦法就是最小二乘法（ordinaryleastsquaresmethod，OLS）。最小二乘法（OLS）利用OLS來估計一元回歸模型，可以得到所謂的估計回歸線（最小二乘回歸線），即稱為的估計值（最小二乘估計值）。讀作Yhat，如圖所示，它是與X實際值（觀測值）相對應的估計回歸線上的Y值，稱為Y的理論值（估計值、計算值、預測值等）。Y（結果）X（原因）Y1：觀測值1估計回歸線與殘差下面，就殘差為u，殘差=實際值-理論值其次，計算殘差的2次方的總和，即殘差平方和（residualsumofsquares,RSS）,得尋找能夠使殘差平方和最小的值，就是OLS的基本原理。為了求殘差平方和關于的最小值，需要將上式對分別求偏導，并設其為零，即這個聯(lián)立方程稱為正規(guī)方程。例題3-1利用下面的數(shù)據(jù)，對一元回歸模型Y=α+βX+u進行最小二乘估計。解答將數(shù)據(jù)帶入工作表中進行計算，得：又解將數(shù)據(jù)帶入工作表進行計算。決定系數(shù)（coefficientofdetermination）是反映估計的回歸線對觀測的數(shù)據(jù)的解釋能力，或者說是反映兩者擬合優(yōu)度的尺度，是回歸分析不可缺少的統(tǒng)計量。我們將Y的實際值與平均值之差的平方和稱作Y的全部變化，即另外將Y的理論值與平均值之差的平方和稱作能夠由回歸解釋的變化（回歸平方和），即這樣，所謂決定系數(shù)R2反映的是Y的全部變化中，能夠由回歸來解釋的部分的比率，其定義如下：決定系數(shù)的計算公式可以采用下面三個公式中的任何一個。此外，決定系數(shù)與相關系數(shù)之間有以下關系：決定系數(shù)=相關系數(shù)的平方?jīng)Q定系數(shù)的取值范圍為：0≤R2≤1決定系數(shù)越接近于1，理論值與實際值越近似，說明模型的解釋能力越強。例如，如果R2=90%，則模型具有90%的解釋力；如果R2=30%，則說明模型只有30%的解釋力例題3-2表3-3顯示了日本1994-2005年的12年間，實際國內(nèi)生產(chǎn)總值X與實際居民消費支出Y的數(shù)據(jù)。（1）對下面的宏觀消費函數(shù)進行最小二乘估計；Y=α+βX+u（2）計算決定系數(shù)R2，并考察估計出來的宏觀消費函數(shù)的擬合優(yōu)度；（3）求理論值和殘差；（4）利用（1）中估算出來的宏觀消費函數(shù)，當實際國內(nèi)生產(chǎn)總值在510兆日元和570兆日元時，對實際居民消費支出分別進行預測。表3-3日本實際國內(nèi)生產(chǎn)總值與實際居民最終消費支出單位：兆日元解答（1）解答（2）解答（3）表3-4實際居民最終消費支出的實際值、理論值和殘差解答（4）非線性方程（non-linearequation）的回歸分析當數(shù)據(jù)的分散情況在一定的較小的范圍時，被解釋變量與解釋變量之間的回歸關系，大部分是線性相。但是隨著范圍的擴大，非線性近似的情況很多。一般來說，非線性方程的回