生醫(yī)信號(hào)處理課件2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)

信自學(xué)院生醫(yī)系生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理第二章隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)電子系統(tǒng)分為：時(shí)不變線性系統(tǒng)L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]2.1線性系統(tǒng)的基本理論

2.1.1線性時(shí)不變系統(tǒng)h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)3、沖激響應(yīng)4、傳輸函數(shù)5、系統(tǒng)的穩(wěn)定性和物理可實(shí)現(xiàn)若h(t)絕對(duì)可積，即則系統(tǒng)穩(wěn)定。若當(dāng)t<0時(shí)，h(t)=0,則系統(tǒng)為因果系統(tǒng)2.1.2離散線性時(shí)不變系統(tǒng)1、2、若則系統(tǒng)穩(wěn)定。3、設(shè)采樣間隔T=14、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（頻率響應(yīng)）5、令則6、因果系統(tǒng)：n<0時(shí)，h(n)=02.2隨機(jī)信號(hào)通過(guò)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2.2.1時(shí)域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

對(duì)于隨機(jī)信號(hào)任意一個(gè)樣本函數(shù)均成立。：

那么對(duì)于所有的試驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過(guò)程1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距

2.2.2系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性前提:系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)。在這種情況下，系統(tǒng)輸出響應(yīng)在t=0已處于穩(wěn)態(tài)1、若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。證明2、若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。

3、若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的。證明2.2.3頻域分析法

當(dāng)系統(tǒng)的輸入、輸出均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，輸入、輸出的功率譜密度是存在的。一、系統(tǒng)輸出的均值二、系統(tǒng)輸出的功率譜密度三、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度四、拉氏變換與付氏變換關(guān)系當(dāng)不可積時(shí)，可積。因此對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，通常情況下其拉氏變換存在。

2.3隨機(jī)信號(hào)通過(guò)離散時(shí)間系統(tǒng)的分析

2.3.1時(shí)域分析法一、系統(tǒng)的輸出表達(dá)式二、輸出的均值、自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)1、均值2、輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)依互相關(guān)函數(shù)的定義，有3、輸出的自相關(guān)函數(shù)按自相關(guān)函數(shù)的定義，有三、輸入是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的情況當(dāng)X(n)為平穩(wěn)隨機(jī)序列時(shí)，均值為常數(shù)，即mx=mx(n)=mx(n-k)，因此即輸出Y(n)也為平穩(wěn)隨機(jī)序列。當(dāng)n=0時(shí)，可得輸出隨機(jī)序列的平均功率為當(dāng)X(n)為平穩(wěn)隨機(jī)序列時(shí)，輸出也為平穩(wěn)隨機(jī)序列，有同理可求得RYX(m)為2.3.2頻域分析法一、功率譜密度表達(dá)式

當(dāng)輸入為平穩(wěn)隨機(jī)序列X(k)，其均值為mx時(shí)，則輸出隨機(jī)序列Y(k)的均值為根據(jù)維納-欣欽定理，平穩(wěn)離散隨機(jī)序列的相關(guān)函數(shù)與Z域的功率密度譜構(gòu)成Z變換對(duì)。即有當(dāng)X(k)為平穩(wěn)隨機(jī)序列時(shí)，輸出Y(k)也為平穩(wěn)隨機(jī)序列。上式兩邊取Z變換，有若以上三式的Z變換結(jié)果的收斂域在Z平面的單位圓之內(nèi)，只要將z=ejωT=ejΩ代入Z域分析結(jié)果，就可分別得到輸出功率密度譜和互功率密度譜。即有或者例：已知一線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：h(k)=akε(k),0＜a＜1。輸入為平穩(wěn)隨機(jī)序列X(k)，其自相關(guān)函數(shù)為RX(n)=N2δ(n)。試求系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)RY(n)，功率譜密度SY(ω)

。解：2.4色噪聲與白噪聲一、色噪聲的產(chǎn)生一個(gè)線性系統(tǒng)在單位功率譜密度的白噪聲激勵(lì)下上述系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的（漸近）穩(wěn)定的。二、白化濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的線性濾波器，將輸入的色噪聲變成輸出是白噪聲。2.5多輸入多輸出的線性系統(tǒng)研究：N個(gè)輸入，M個(gè)輸出方法：將純量公式擴(kuò)展為矩陣形式二個(gè)輸入二個(gè)輸出的系統(tǒng)例題一同一信號(hào)x(t)經(jīng)兩個(gè)濾波器H1(ω)和H2(ω)分別輸出，求輸出間的互譜。解：例題二信號(hào)x1(t)x2(t)分別經(jīng)兩個(gè)濾波器H1(ω)和H2(ω)后再相加，求輸出y(