軸對稱平移與旋轉全章復習與鞏固知識講解提高

《軸對稱,平移與旋轉》全章復習與鞏固--知識講解(提高)《軸對稱,平移與旋轉》全章復習與鞏固--知識講解(提高)15/15《軸對稱,平移與旋轉》全章復習與鞏固--知識講解(提高)《軸對稱,平移及旋轉》全章復習及鞏固--知識講解（提高）【學習目標】1.了解軸對稱,平移,旋轉，探究它們的基本性質；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱,平移,旋轉后的圖形，能作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.利用軸對稱,平移,旋轉及其組合進行圖案設計；相識和觀賞軸對稱,平移,旋轉在現(xiàn)實生活中的應用；4.駕馭全等三角形的性質；會用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算，解決某些實際問題.【知識網絡】【要點梳理】要點一,平移變換1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動肯定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形態(tài)和大?。c詮釋：（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經過平移后的圖形，及原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質的依據(jù)．2．平移的基本性質：由平移的概念知，經過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形態(tài)和大小，因此平移具有下列性質：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等．要點詮釋：（1）要留意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；（2）“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據(jù)．要點二,旋轉變換1．旋轉概念：把一個圖形圍著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.

２．旋轉變換的性質

圖形通過旋轉，圖形中每一點都圍著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，隨意一對對應點及旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形態(tài),大小都沒有發(fā)生變化.

３．旋轉作圖步驟①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角.

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿肯定的方向，按肯定的角度,旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點.

４．中心對稱及中心對稱圖形中心對稱：

把一個圖形圍著某一點旋轉180°，它能夠及另一個圖形重合，則就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心對稱的對稱點．

中心對稱圖形：

把一個圖形圍著某一點旋轉180°，假如旋轉后的圖形能夠及原來的圖形重合，則這個圖形就叫中心對稱圖形.

5．中心對稱作圖步驟①連結確定已知圖形的形態(tài),大小的各關鍵點及對稱中心，并且延長至2倍，得到各點的對稱點.

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.要點詮釋：圖形變換及圖案設計的基本步驟①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移,旋轉,軸對稱對基本圖案進行變換，實現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.要點三,軸對稱變換1．軸對稱及軸對稱圖形軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，假如能夠及另一個圖形重合，則就說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點.

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

2．軸對稱變換的性質①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②假如兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，假如它們對應線段或延長線相交，則交點在對稱軸上.

④假如兩個圖形的對應點連線被同始終線垂直平分，則這兩個圖形關于這條直線對稱.

3．軸對稱作圖步驟①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點的對稱點．

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.

4.平移,軸對稱,旋轉三種變換的關系：圖形經過平移,旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形態(tài)沒有改變，即兩個圖形是全等的．要點四,圖形的全等1.全等圖形形態(tài),大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.要點詮釋：一個圖形經過平移,翻折,旋轉后，位置變化了，但形態(tài),大小都沒有改變，即平移,翻折,旋轉前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.2.全等多邊形（1）定義：能夠完全重合的兩個多邊形叫做全等多邊形.相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角.（2）性質：全等多邊形的對應邊相等，對應角相等.（3）判定：邊,角分別對應相等的兩個多邊形全等.3.全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.（1）全等三角形的性質

全等三角形的對應邊,對應角分別相等.要點詮釋：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質是今后探討其它全等圖形的重要工具.（2）全等三角形的判定假如兩個全等三角形的邊,角分別對應相等，則這兩個全等三角形全等.【典型例題】類型一,平移變換1.閱讀理解題．

（1）兩條直線a，b相交于一點O，如圖①，有兩對不同的對頂角；

（2）三條直線a，b，c相交于點O，如圖②，則把直線平移成如圖③所示的圖形，可數(shù)出6對不同的對頂角；

（3）四條直線a，b，c，d相交于一點O，如圖④，用（2）的方法把直線c平移，可數(shù)出對不同的對頂角；

（4）n條直線相交于一點O，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角；

（5）2013條直線相交于一點O，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角．

【思路點撥】（3）畫出圖形，依據(jù)圖形得出即可；

（4）依據(jù)以上能得出規(guī)律，有n（n-1）對不同的對頂角；

（5）把n=2013代入求出即可．【答案及解析】解：（3）

如圖有12對不同的對頂角，

故答案為：12．

（4）有n（n-1）對不同的對頂角，

故答案為：n（n-1）；

（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，

故答案為：4050156．【總結升華】本題考查了平移及對頂角的應用，關鍵是能依據(jù)題意得出規(guī)律．2．操作及探究：對數(shù)軸上的點P進行如下操作：先把點P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應的點向右平移1個單位，得到點P的對應點P′．點A，B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個點進行上述操作后得到線段A′B′，其中點A，B的對應點分別為A′，B′．如圖1，若點A表示的數(shù)是-3，則點A′表示的數(shù)是________；若點B′表示的數(shù)是2，則點B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點E經過上述操作后得到的對應點E′及點E重合，則點E表示的數(shù)是__________．【思路點撥】（依據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計算即可求出點A′，設點B表示的數(shù)為a，依據(jù)題意列出方程求解即可得到點B表示的數(shù)，設點E表示的數(shù)為b，依據(jù)題意列出方程計算即可得解；【答案】0；3；.【解析】解：點A′：-3×+1=-1+1=0，設點B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3，設點E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=；故答案為：0；3；.【總結升華】耐性細致的讀懂題目信息是解答本題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，面積為12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距離是邊BC長的兩倍，則圖中四邊形ACED的面積為（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．無法確定【答案】B.四邊形ABED是平行四邊形且S四邊形ABED=S四邊形ACFD，而S四邊形ACED=S四邊形ABED-S△ABC．類型二,旋轉變換3．正方形ABCD中對角線AC,BD相交于點O，E是AC上一點，F(xiàn)是OB上一點，且OE=OF，回答下列問題：

（1）在圖中1，可以通過平移,旋轉,翻折中的哪一種方法，使△OAF變到△OBE的位置．請說出其變化過程．

（2）指出圖（1）中AF和BE之間的關系，并證明你的結論．

（3）若點E,F分別運動到OB,OC的延長線上，且OE=OF（如圖2），則（2）中的結論仍舊成立嗎？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明你的理由．

【思路點撥】（1）依據(jù)圖形特點即可得到答案；

（2）延長AF交BE于M，依據(jù)正方形性質求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，證△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，依據(jù)三角形內角和定理證出即可；

（3）延長EB交AF于N，依據(jù)正方形性質推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可證△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案及解析】解：（1）旋轉，以點O為旋轉中心，逆時針旋轉90度．

（2）圖（1）中AF和BE之間的關系：AF=BE；AF⊥BE．

證明：延長AF交BE于M，

∵正方形ABCD，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOB=∠BOC=90°，

在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（SAS），

∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，

∵∠EBO+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OEB=90°，

∴∠AME=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；

證明：延長EB交AF于N，

∵正方形ABCD，

∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，

∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，BF=CE，

∴△ABF≌△BCE，

∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，

∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，

∴∠E+∠FAB=45°，

∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，

∴∠ANE=180°-90°=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．【總結升華】本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，旋轉的性質等知識點的連接和駕馭，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．4.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，E是BA延長線上一點，且AE=AB．

①你認為可以通過平移,軸對稱,旋轉中的哪一種方法使△ABF變到△ADE的位置？若是旋轉，指出旋轉中心和旋轉角．

②線段BF和DE之間有何數(shù)量關系？并證明．【思路點撥】（1）把△ABF以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°可得到△ADE；

（2）依據(jù)正方形的性質得到AB=AD，∠BAF=∠EAD，又F是AD的中點，AE=AB，則AE=AF，依據(jù)旋轉的定義得到△ABF以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°時，AB旋轉到AD，AF旋轉到AE，于是有BF=DE．【答案及解析】解：（1）可以通過旋轉使△ABF變到△ADE的位置，即把△ABF以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°可得到△ADE；

（2）線段BF和DE的數(shù)量關系是相等．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，

∵F是AD的中點，AE=AB，

∴AE=AF，

∴△ABF以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°時，AB旋轉到AD，AF旋轉到AE，即F點及E點重合，B點及D點重合，

∴BF及DE為對應線段，

∴BF=DE．【總結升華】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點及旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形的性質．舉一反三：【變式】如下圖，等邊△ABC經過平移后成為△BDE，則其平移的方向是；平移的距離是；△ABC經過旋轉后成為△BDE，則其旋轉中心是；旋轉角度是度．【答案】解：等邊△ABC經過平移后成為△BDE，則其平移的方向是水平向右；平移的距離是AB或BD；

△ABC經過旋轉后成為△BDE，則其旋轉中心是B；旋轉角度是120度．類型三,軸對稱變換5．現(xiàn)有如圖①的瓷磚若干塊．

（l）用兩塊這樣的瓷磚拼成一個長方形，使拼成的圖案呈軸對稱圖形，請在圖②的兩

個長方形中各畫出一種拼法（要求兩種拼法不同，所畫圖案中的陰影部分用斜線表示）；

（2）用四塊如圖①的瓷磚拼成一個正方形，使拼成的圖案成軸對稱圖形，請你在圖③的三個正方形中各畫出一種拼法，要求同（1）；

（3）在第（1）題中，請你計算用如圖①的瓷磚拼成的全部長方形中，是軸對稱圖形的勝利率是多少？【思路點撥】（1）依據(jù)用兩塊這樣的瓷磚拼成一個長方形，使拼成的圖案呈軸對稱圖形，利用軸對稱圖形的性質拼湊即可；

（2）利用軸對稱圖形的性質拼湊即可；

（3）依據(jù)全部是軸對稱圖形的個數(shù)，以及拼湊總數(shù)即可求出是軸對稱圖形的勝利率．【答案及解析】解：（1）如圖所示：

（2）如圖所示：

（3）∵全部拼湊圖形是16種，是軸對稱圖形的個數(shù)是4種，

∴是軸對稱圖形的勝利率為：．【總結升華】此題考查了利用軸對稱設計圖案的知識，同時考查了學生的動手實踐實力和邏輯思維實力．趣味性強，便于操作，是一道好題．舉一反三：【變式】（2015秋?睢寧縣期中）如圖，是4×4正方形網格，其中已有4個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個黑色部分圖形構成軸對稱圖形，這樣的白