第二章 工程力學(xué)-第二章

第2章平面力系的簡化與平衡工程力學(xué)1第2章平面力系的簡化與平衡2.1平面匯交力系2.2平面力偶系2.3平面一般力系

本章目錄2§2-1力線平移定理力的平移定理：可以把作用在剛體上點A的力平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶。這個力偶的矩等于原來的力對新作用點B的矩。[證]力力系3說明：①力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力力+力偶（例斷絲錐）②力平移的條件是附加一個力偶m，且m與d有關(guān)，m=F?d

③力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。4第2章平面力系的簡化與平衡平面力系——作用在物體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)。工程實例：屋架、吊車：平面結(jié)構(gòu)承受平面力系。P1P2FAxFAyFDDABDCP145AP2(a)B空間對稱結(jié)構(gòu)承受對稱的外力，可簡化為平面問題。如汽車受力。52.1平面匯交力系2.1.1平面匯交力系合成和平衡的幾何法PP1P2平面匯交力系：

各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點的力系。AP3P2P1A包括自重與液體重力6O力多邊形法則：匯交力系中各力首尾相連，構(gòu)成一個不封閉的折線Oabcd，稱為不封閉的力多邊形（力鏈）。合力為力多邊形的封閉邊Od，方向從第一個力的起點指向最后一個力的終點。力的可傳性合力大小與分力的次序無關(guān)。OOacdbOO2.1平面匯交力系2.1.1平面匯交力系合成和平衡的幾何法1.合成的幾何法7O力的可傳性O(shè)OO合力可以表示為：若力系為n個力，合力可以表示為：匯交力系與其合力等效。2.1平面匯交力系2.1.1平面匯交力系合成和平衡的幾何法1.合成的幾何法8平面匯交力系平衡的充要條件是合力為零。

力系中各力首尾相連，力多邊形自行封閉。OO為平衡力系。則平衡條件的幾何形式：平衡的幾何法O2.1平面匯交力系2.1.1平面匯交力系合成和平衡的幾何法9（4）確定未知力的大?。嚎闪咳￠L度，用比例尺換算。也可利用三角關(guān)系求得。b30°60°例2-1

如圖，P=10kN。兩桿自重不計。求兩桿的受力。ABCP30°60°OaP（3）畫力多邊形：確定未知力方向：力多邊形中各力的方向為實際方向，與受力圖一致。（5）答案：由作用反作用公理，AB受拉力

5kN；BC受壓力

8.66kN。（1）研究對象：銷釘

B

（2）畫受力圖；FBAFBC5kN銷釘BBFBCFBAPCBF’BCFCBBAF’BAFAB選取比例尺；解：102.1.2平面匯交力系合成和平衡的解析法合成的解析法合力

平面匯交力系Oyx因為

每個力

合力投影定理：2.1平面匯交力系11已知合力在直角坐標軸的投影Fx、Fy

時，可求力FR

大小和方向。合力的大小合力的作用點為力系的匯交點。Fx

>0Fy

>0Fx

<

0Fy

>0Fx

>0Fy<

0Fx

<

0Fy<

0yxO指向：方位：方向由Fx、Fy

符號定。2.1.2平面匯交力系合成和平衡的解析法合成的解析法2.1平面匯交力系1260°30°70°F1F2F3F4例2-2：作用于吊環(huán)螺釘?shù)乃膫€力構(gòu)成平面匯交力系。已知各力大小為：F1＝360N，F(xiàn)2＝550N，F(xiàn)3＝380N，F(xiàn)4＝300N。試用解析法求合力的大小和方向。解：建立坐標系Oxy＝F1cos60°＋F2＋F3cos30°＋F4cos70°＝1162N＝F1sin60°—F3sin30°—F4sin70°＝－160N＝1173N＝0.1377合力方向：FR合力大小：xyO由于FRx>0，F(xiàn)Ry<0，所以合力指向第四象限，指向如圖。13平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力等于零。

平面匯交力系的平衡方程平衡的解析條件：力系中各力在x、y軸上投影的代數(shù)和為零。

有2個平衡方程，只能求解2個未知量。2.1.2平面匯交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法2.1平面匯交力系14利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：1、選——選取研究對象。

應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。2、畫——畫受力圖。(標清幾何關(guān)系)3、建——建立坐標系。原點可任意，使坐標軸與較多的力平行（或垂直）。4、列——列平衡方程。注意：不要列成左式等于右式的形式。5、解——解平衡方程。6、答——答案，必要時作出討論或說明。2.1.2平面匯交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法2.1平面匯交力系15解：（3）建立坐標系：Axy（4）列平衡方程：（5）解得：FA=－22.4kN例2-3

剛架如圖所示，受水平力作用，P=20kN，不計剛架自重，求A、D處的約束反力。4mBPACD8mxyPFD（1）研究對象：剛架（2）受力如圖：FAcos+

P=0FAsin＋FD=0FA

為負，表明其方向與圖示相反。FD=10kNFD為正，表明其方向與圖示相同。8m4mABCDFAα16yxFBC＇FCBCBFBA＇BAFABB30FBCFBAF1F2（3）建立坐標系：Bxy

CABD3060P例2-4

已知如圖，不計桿和滑輪重力及滑輪大小。求二桿的受力。（4）列平衡方程：解：分析題意滑輪大小不計，可為點B。（1）研究對象：滑輪和銷軸。（2）受力如圖：－F1cos30＋FBC－F2sin30=0FBA=－0.366PFBC為正，表明其方向與圖相同，F(xiàn)BC＇與圖相同，BC受壓。FBC=1.366PFBA為負，表明其方向與圖相反，F(xiàn)BA＇與圖相反，AB受壓。（5）解得：BF230FBCFBA30F1F1=F2=PF1sin30－F2cos30°－FBA=0172.2平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成BAdF'1F1d1d2F2F'2F＝F3

－F4F2

d2＝F4

d

m=Fd=（F3－F4）d

F3F'3F4F'4F1d1＝F3

d=m1+m2=F1d1－F2d2設(shè)同一平面內(nèi)有兩個力偶（F1，F(xiàn)'1）、（F2，F(xiàn)'2），力偶臂分別為d1、d2，力偶矩分別為m1=F1d1

、m2=－F2d2。求它們的合成結(jié)果。dFF'BA18平面力偶系的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶矩等于各個力偶矩的代數(shù)和。2.2.2平面力偶系的平衡只有一個平衡方程，只能求解一個未知量。平面力偶系平衡的必要與充分條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。2.2平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成1945ABRAC（2）受力如圖。（1）研究對象：AB（3）列平衡方程：（5）由力偶的特點，A點反力RA=RB，方向如圖。（4）解方程解ADRCAmlRARBB例題2-5

已知如圖：求A點和B點的約束力。m45ADl20例2-6

用多軸鉆床在水平工件上鉆孔時，每個鉆頭對工件施加一壓力和一力偶，如圖所示。已知三個力偶矩分別為：m1＝m2＝10Nm，m3＝20Nm。固定螺釘A、B的間距為l＝200mm。求兩個螺釘所受的水平力。m3m1m2

lABm3m1m2

Am3m1m2

ABFBFA解：研究對象：工件由力偶系的平衡條件：結(jié)果為正，說明圖示方向為力的實際方向。FA、FB必組成力偶與其它三個力偶平衡。

從而解得：212.3平面一般力系2-3-1平面一般力系的簡化OOO—簡化中心F'n

mn

m3

F'3F'2m2mOF3F2F1FnO平面一般力系平面匯交力系平移為原力系的主矢。作用在O點，大小和方向與簡化中心O無關(guān)。為原力系的主矩。大小和方向一般與簡化中心O有關(guān)。平移合成力合成力偶矩合成F'1m1平面力偶系22mO主矩的大?。篛yxα平面一般力系平面匯交力系力平面力偶系力偶矩建立坐標系xy主矢的大小：利用力和投影的關(guān)系，可以確定主矢的大小和方向。2.3平面一般力系2-3-1平面一般力系的簡化23固定端約束約束反力的確定：按平面一般力系的簡化，得到一個力和一個力偶。為便于計算，固定端的約束反力畫成正交分力和一個力偶。

結(jié)構(gòu)圖ad簡圖bcFAxFAymAmAFA2.3平面一般力系2-3-1平面一般力系的簡化24此時，簡化結(jié)果與簡化中心位置無關(guān)。2.3.2平面一般力系簡化結(jié)果的分析合力矩定理此時，簡化結(jié)果與簡化中心位置有關(guān)。簡化結(jié)果（2）（1）合力偶原力系力偶系其合力偶矩②③①④原力系匯交力系合力2.3平面一般力系25mOOdOO’即：合力矢等于主矢；合力作用線在簡化中心O那一側(cè)取決于主矢、主矩方向；合力作用線到O點的距離由d

確定。(3)原力系合力OO'd2.3.2平面一般力系簡化結(jié)果的分析合力矩定理力偶等效表示減去平衡力系2.3平面一般力系26合力矩定理

平面一般力系的合力對于作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和。原力系為平衡力系。（4）2.3.2平面一般力系簡化結(jié)果的分析合力矩定理2.3平面一般力系27求合力的大?。航⒆鴺讼礎(chǔ)xy。xydxxqx解：合力的方向向下。取微段dx，其上合力dFR

=qxdx，方向向下。在任意截面x處分布力合力求合力的作用線(利用合力矩定理)xC即：即dFR例2-7：水平梁AB長為l，受三角形分布載荷的作用，分布載荷的最大值為q(N/m），試求合力的大小及作用線的位置。q（N/m）ABlFR28總結(jié)：分布力的合力（2）大?。旱扔谳d荷集度q乘以分布長度，即ql。（1）方向：與分布力q相同。（3）作用線：通過分布長度的中點。FRABlxCCDq（1）方向：與分布力相同。（2）大?。旱扔谟煞植驾d荷組成的幾何圖形的面積。（3）作用線：通過由分布載荷組成的幾何圖形的形心。qlBAlq均布載荷的合力。載荷集度為q。292.3.3平面一般力系的平衡條件平面一般力系平衡的充要條件：主矢，主矩即：平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零。上式稱為平面一般力系的平衡方程。有獨立三個方程，只能求解三個未知數(shù)為方便計算：2、矩心應(yīng)取在兩未知力的交點上。1、坐標軸應(yīng)當(dāng)與盡可能多的未知力作用線相垂直。30例2-8

水平梁長為4m，重P=10kN，作用在梁的中點C。承受均布載荷q=6kN/m，力偶矩M＝8kNm。試求A、B處的約束力。P4m2mqmCBA45°解：B－8解方程得：研究對象：水平梁ABFAxFAyFByx注意應(yīng)用合力投影定理與合力矩定理得出：（1）均布載荷的投影與對點之矩。（2）力偶的投影與力矩。31ABDPFB45yx解得：FB＝28.28kN例：已知如圖AB＝BD＝l，載荷P＝10kN。設(shè)梁和桿的自重不計，求鉸鏈A的約束反力和桿BC所受的力。CBF'CF'BPADC45解：研究對象：ABD梁。AFAx＋FBcos45＝0

FAy＋FBsin45－P＝0

FBsin45l－P2l＝0llFAx

＝－20kN

FAy＝－10kN(負號表明反力方向與圖示相反)BFAxFAy由作用反作用公理，BC桿受壓力28.28kN32PADBC45yxllAFAxFAyFCB45PDCl如果寫出對A、B兩點的力矩方程和對x軸的投影方程：如果寫出對A、D、C三點的力矩方程：說明三個方程相互獨立說明三個方程相互獨立討論33二、平衡方程的其它形式二矩式：三矩式：x軸不得垂直于A、B連線。A、B、C三點不共線。這二組平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件（證明略，見P49）對于受平面任意力系作用的單個研究對象的平衡問題，只可以寫出三個獨立的平衡方程，求解三個未知量。任何第四個方程只是前三個方程的線性組合，因而不是獨立的。34PlbBAWQ2a≥0≥

(2)當(dāng)空載時，受力如圖。FB≥0≥0≤解：(1)當(dāng)滿載時，受力如圖。例2-10：

塔式起重機如圖。機架重力W，吊起的最大重物重力P，欲使起重機在滿載和空載時都不致翻倒，求平衡配重的重量Q?！堋芤虼?，起重機不翻倒的條件：≥0為使起重機不繞點A翻倒，必須FB≥0。FBFA為使起重機不繞點B翻倒，必須FA≥0。352.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題摩擦按物體間相對運動狀態(tài)滑動摩擦滾動摩擦靜滑動摩擦動滑動摩擦工程實際中，物體的接觸面不會完全光滑，摩擦總會存在。摩擦有利：剎車制動，皮帶傳動等。有弊：零件的磨損，能量消耗等。本教材只講工程中常用的簡單近似的摩擦理論。摩擦干摩擦濕摩擦按物體間接觸面狀況靜滾動摩擦動滾動摩擦362.4.1基本概念

大小根據(jù)主動力的情況，用不同的計算方法計算。

兩個表面粗糙的物體，當(dāng)其接觸表面之間有相對滑動或相對滑動趨勢時，彼此作用有阻礙相對滑動的阻力，即滑動摩擦力。摩擦力：作用于相互接觸處；方向與相對滑動的相對滑動趨勢的方向相反；2.4考慮摩擦?xí)r的平衡問題371、靜摩擦力PFNGFs（1）P為零時，物體沒有運動趨勢，摩擦力Fs為零。（2）P

較小時，物體有運動趨勢，但仍靜止(平衡)，摩擦力Fs

不為零。由平衡方程確定靜摩擦力大小。靜滑動摩擦力：當(dāng)兩物體有相對滑動趨勢時，在接觸面上有阻礙物體相對滑動趨勢的力。靜摩擦力實驗:（3）當(dāng)主動力P

增加到某個數(shù)值，物體處于將動未動的臨界平衡狀態(tài)。這時的摩擦力稱為最大靜滑動摩擦力Fmax。38FN：正壓力。fs：靜摩擦因數(shù)，為常數(shù)，由材料和接觸面狀況決定。實驗測定。靜摩擦定律一般平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài)綜上所述：0≤Fs≤FmaxFmax＝fsFNFmax＝fsFN靜摩擦力大小和方向由平衡方程確定。方向恒與物體相對滑動的趨勢方向相反。

3.動滑動摩擦力F'=fFNFN：法向反力（正壓力）f：動摩擦因數(shù)，為常數(shù)，由材料決定。一般f<fs。2.最大靜摩擦力最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力(即法向反力)成正比。392.4.2摩擦角與自鎖現(xiàn)象由圖可知:摩擦角

與摩擦因數(shù)fs

一樣也是表示材料表面性質(zhì)的一個常量。1、摩擦角FNFmax全反力：摩擦角的正切等于摩擦因數(shù)。摩擦角：臨界狀態(tài)時，全反力與法線的夾角。用

表示。FRmax討論物體間靜摩擦性質(zhì)的幾何特點。一般平衡臨界狀態(tài)FNFRFs40接觸點的全約束反力作用線只能在摩擦角以內(nèi)。一般平衡Fs≤

Fmax所以有：

≤

FNFmaxFRAFRA摩擦角：臨界狀態(tài)時，全反力與法線的夾角。用

表示。FmaxFRAFNFRA412、自鎖現(xiàn)象

如果作用于物體的全部主動力的合力作用線在摩擦角之內(nèi)，無論該力多大，物體總能保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。設(shè)接觸面的摩擦角為

，主動力FR與法向夾角為

。水平主動力：FRsin，若平衡：FRsin

≤Fmax＝fsFN=fsFRcos

即：物體平衡

≥法向主動力：FR

cos

＝法向反力≥得：而：若

≥

物體平衡，接觸面可提供與法線成θ

角的全反力。≥FRFRA證明：

≥是物體平衡的充要條件。與主動力無關(guān)而與摩擦角有關(guān)的平衡條件稱為自鎖條件。42當(dāng)≥

時，由于接觸面只能提供摩擦角范圍內(nèi)的全反力，不能保證與主動力共線。物體滑動。FR如果作用于物體的全部主動力的合力作用線在摩擦角之外，無論該力多小，物體一定會滑動。43例：在一個可以調(diào)整傾角的斜面上放一重為P的物體，物體與斜間的摩擦因數(shù)為fs，試求物體開始下滑時斜面的傾角α。解：（1）研究對象：物體。受力如圖。（2）列平衡方程：解得：xyαOPFNFmaxα＝討論斜面上物體的自鎖條件（即不下滑的條件）：≤44工程實際中常應(yīng)用自鎖原理設(shè)計一些機構(gòu)或夾具，如千斤頂、壓榨機、圓錐銷等，使它們始終保持在平衡狀態(tài)下工作。也可應(yīng)用這個原理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。45因為螺紋可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角就是斜面的傾角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。對于千斤頂，螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊，加于螺母的軸向載荷，相當(dāng)物塊的重力。要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角小于或等于摩擦角

。因此螺紋的自鎖條件是：≤

若螺旋千斤頂?shù)穆輻U與螺母之間的摩擦因數(shù)為fS＝0.1，

＝542’。為保證螺旋千斤頂自鎖，一般取螺紋升角＝4～430’。462.4.3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題求解考慮摩擦?xí)r的平衡問題的幾個特點：（2）已知主動力，討論物體狀態(tài)。可設(shè)物體處于一般平衡，此時摩擦力的大小和方向可由平衡方程確定。但一定符合FS≤Fmax

。Fmax

＝fSFN，否則物體運動。（1）受力分析時，必須考慮摩擦力，其方向與假設(shè)無摩擦?xí)r物體在其他力的作用下的滑動方向相反。（4）工程中有不少問題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時可列補充方程Fmax＝fSFN

。有時為了計算方便，也先在臨界狀態(tài)下計算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。（3）已知有摩擦求主動力。由于物體平衡時摩擦力有一定的范圍(即0≤FS≤Fmax＝fSFN)，所以主動力的值也有一定的范圍。47力F1太大，物塊將上滑；力F1太小，物塊將下滑。因此，F(xiàn)1的數(shù)值必在一范圍內(nèi)。

例2-11

物體重為P，放在傾角為（足夠大）的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為fS。當(dāng)物體處于平衡時，試求水平力F1的大小。解：F1P(1)求力的最大值F1max

。x有向上滑動趨勢F1maxFmaxFNyPO

列平衡方程：補充方程48(2)求力的最小值F1

min。補充方程：列平衡方程有向下滑動趨勢F1minF’

maxF’NxyPO例2-11

物體重為P，放在傾角為（足夠大）的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為fS。當(dāng)物體處于平衡時，試求水平力F1的大小。F1P綜上可知：≤F1≤解：49物體系:由若干個物體所組成的物體系統(tǒng)。2.5靜定與靜不定的概念物體系統(tǒng)的平衡PACBQQBqEDCA2.5.1靜定與靜不定的概念靜定問題：所有未知量都能由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。實例：XAmAYA顯然前面列舉的各例都是靜定問題。特點：結(jié)構(gòu)中的未知量數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目。Ｐ1Ｐ250靜定問題：特點：結(jié)構(gòu)中的未知量數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目。實例靜不定問題（超靜定問題）：未知量不能全部由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。XAYAmAY特點：結(jié)構(gòu)中未知量數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目。Ｐ1Ｐ22.5靜定與靜不定的概念物體系統(tǒng)的平衡2.5.1靜定與靜不定的概念51物體系平衡時,構(gòu)成物體系的每部分都處于平衡。設(shè)一物體系由n個物體構(gòu)成,則每個物體一般可列出3個獨立的平衡方程,整個物體系則可列出3n個平衡方程。若物體系的未知量個數(shù)為3n個，問題可解，物體系為靜定系統(tǒng)。討論物體系統(tǒng)平衡時，不僅要考慮系統(tǒng)的外力，還要考慮系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的相互作用力（內(nèi)力）。若物體系的未知量多于3n個,問題不可解，則為靜不定系統(tǒng)。本部分不討論靜不定系統(tǒng)。2.5靜定與靜不定的概念物體系統(tǒng)的平衡2.5.2物體系統(tǒng)的平衡52F例2-12

曲軸沖床由輪I、連桿AB和沖頭B組成。OA＝R，AB＝l。當(dāng)OA水平、沖壓力為F時系統(tǒng)處于平衡。求：(1)m；(2)O點約束力；(3)AB受的力；(4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。mFθABF’BF’AFNmFOxFOyFA解：θFNFOyFOxFBθ（方案2）沖頭B和整體（方案1）沖頭B和輪全面進行受力分析，確定解題方案。

二力桿相連的物體受力等值、反向，性質(zhì)與桿的受力一致。為簡便起見，二力桿的受力圖可以不畫。53Fxy例2-12

曲軸沖床由輪I、連桿AB和沖頭B組成。OA＝R，AB＝l。當(dāng)OA水平、沖壓力為F時系統(tǒng)處于平衡。求：(1)m；(2)O點約束力；(3)AB受的力；(4)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力。mFθFNyxmFOxFOyFA解：（1）研究對象：沖頭θFBθ方案1:沖頭B和輪（2）研究對象：輪FOyFOxm5430mFDCBqllll60A例2-13組合梁由AC、CD鉸接而成。已知F＝20kN，q＝10k