大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)第7章 參數(shù)估計(jì)

第7章參數(shù)估計(jì)第7章參數(shù)估計(jì)7.1

參數(shù)估計(jì)的一般問題7.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.4樣本容量的確定7.1參數(shù)估計(jì)的一般問題7.1.1估計(jì)量與估計(jì)值7.1.2點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)7.1.3評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值x

=80，則80就是的估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值

(estimator&estimatedvalue)參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)(pointestimate)用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值

無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點(diǎn)估計(jì)的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性有效性一致性無偏性(unbiasedness)

無偏性估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏有效性(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB

的抽樣分布

的抽樣分布P(

)一致性(consistency)一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)區(qū)間估計(jì)(intervalestimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在60～80之間，置信水平是95%

區(qū)間估計(jì)的基本要素包括：樣本點(diǎn)估計(jì)值、抽樣極限誤差、估計(jì)的可靠程度樣本點(diǎn)估計(jì)值抽樣極限誤差：也稱邊際誤差，可允許的誤差范圍。抽樣估計(jì)的可靠程度（置信度、置信水平）區(qū)間估計(jì)(intervalestimate)參數(shù)區(qū)間估計(jì)的含義：估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。其中：1-α(0<α<1)稱為置信度；α是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平，其取值大小由實(shí)際問題確定，經(jīng)常取1%、5%和10%。注間對(duì)上式的理解：例如抽取了1000組樣本，根據(jù)每一組樣本均構(gòu)造了一個(gè)置信區(qū)間，，這樣，由1000組樣本構(gòu)造的總體參數(shù)的1000個(gè)置信區(qū)間中，有95%的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而5%的置信區(qū)間則沒有包含。這里，95%這個(gè)值被稱為置信水平（或置信度）。一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平。區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x置信區(qū)間與置信水平

均值的抽樣分布(1-)區(qū)間包含了1–a

a/2a/2比例為1-α的樣本均值會(huì)落在總體均值μ兩側(cè)的范圍內(nèi)。也就是,比例為1-α的樣本均值構(gòu)造的置信區(qū)間，會(huì)包含總體均值μ。常用置信水平的值置信水平αα/290%0.10.051.6595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58影響區(qū)間寬度的因素

中，是點(diǎn)估計(jì)值，是邊際誤差1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來測(cè)度樣本容量置信水平(1-)，影響z的大小7.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)7.2.2總體比例的區(qū)間估計(jì)7.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比例方差總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)

(大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

已知總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知，大樣本如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為小結(jié)總體正態(tài)？n≥30？σ2已知？否是是否否是根據(jù)中心極限定理得到的近似結(jié)果。

σ未知時(shí)用s來估計(jì)。增大n？數(shù)學(xué)變換?總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)1.

假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)

(圖示)221-2總體方差1-的置信區(qū)間自由度為n-1的2總體方差的區(qū)間估計(jì)1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差2

的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4.

總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量（單位：g）如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：。由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為在95%的置信度下，該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為在90%的置信度下，投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16只燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h～1503.2h總體比例的置信區(qū)間：例子解：顯然有因此可以用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)。Ｚ/2=1.645結(jié)論：我們有90％的把握認(rèn)為悉尼青少年中每天都抽煙的青少年比例在19.55%~23.85%之間。1986年對(duì)悉尼995名青少年的隨機(jī)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有216人每天都抽煙。試估計(jì)悉尼青少年中每天都抽煙的青少年比例的90%的置信區(qū)間。

p(1-p)總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量單位：g112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))待估參數(shù)均值比例方差大樣本小樣本大樣本2分布2已知2已知Z分布2未知Z分布Z分布Z分布2未知t分布7.3兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.3.1兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)7.3.2兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)7.3.3兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(獨(dú)立大樣本)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(大樣本)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，1２，

2２已知若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(大樣本)1. 1２，2２已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為1２，2２未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(獨(dú)立小樣本，總體方差未知)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:

12=22

)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知但相等：1２=2２兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n1<30和n2<30)總體方差的合并估計(jì)量2.估計(jì)量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:12=22

)兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:1222

)1. 假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知且不相等：1２2２兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n1<30和n2<30)使用統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差的估計(jì)

(小樣本:1222

)兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為自由度兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

(匹配樣本)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(例題分析)【例】為估計(jì)兩種方法組裝產(chǎn)品所需時(shí)間的差異，分別對(duì)兩種不同的組裝方法各隨機(jī)安排12名工人，每個(gè)工人組裝一件產(chǎn)品所需的時(shí)間(單位：min)如下表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(匹配小樣本)假定條件兩個(gè)匹配的小樣本(n1<30和n2<30)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布

兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比例之差區(qū)間的估計(jì)1. 假定條件兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似兩個(gè)樣本是獨(dú)立的2. 兩個(gè)總體比例之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

(例題分析)【例】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間12兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

(例題分析)解:

已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%~19.32%兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

(圖示)FF1-F總體方差比1-的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)1. 比較兩個(gè)總體的方差比用兩個(gè)樣本的方差比來判斷如果S12/S22接近于1,說明兩個(gè)總體方差很接近如果S12/S22遠(yuǎn)離1,說明兩個(gè)總體方差之間存在差異總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】為了研究男女學(xué)生在生活費(fèi)支出(單位：元)上的差異，在某大學(xué)各隨機(jī)抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果

男學(xué)生：女學(xué)生：

試以90%置信水平估計(jì)男女學(xué)生生活費(fèi)支出方差比的置信區(qū)間兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解:根據(jù)自由度

n1=25-1=24，n2