2021年高考數(shù)學(xué)試卷（上海）（春考）（解析卷）

第頁|共頁2021年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則21．【思路分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可直接求解．【解析】：因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．故答案為：21．【歸納總結(jié)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．2．已知，則．【思路分析】由已知求得，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【解析】：，，則．故答案為：．【歸納總結(jié)】本題考查復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．3．已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則圓柱的側(cè)面積為．【思路分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算即可．【解析】：圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的側(cè)面積為．故答案為：．【歸納總結(jié)】本題考查了圓柱的側(cè)面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4．不等式的解集為．【思路分析】由已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)行可求．【解析】：，解得，．故答案為：．【歸納總結(jié)】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．5．直線與直線的夾角為．【思路分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【解析】：直線的斜率不存在，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角為故答案為：．【歸納總結(jié)】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題．6．若方程組無解，則0．【思路分析】利用二元一次方程組的解的行列式表示進(jìn)行分析即可得到答案．【解析】：對(duì)于方程組，有，當(dāng)時(shí)，方程組的解為，根據(jù)題意，方程組無解，所以，即，故答案為：0．【歸納總結(jié)】本題考查的是二元一次方程組的解行列式表示法，這種方法可以使得方程組的解與對(duì)應(yīng)系數(shù)之間的關(guān)系表示的更為清晰，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解行列式表示法中對(duì)應(yīng)的公式．7．已知的展開式中，唯有的系數(shù)最大，則的系數(shù)和為64．【思路分析】由已知可得，令，即可求得系數(shù)和．【解析】：由題意，，且，所以，所以令，的系數(shù)和為．故答案為：64．【歸納總結(jié)】本題主要考查二項(xiàng)式定理．考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．已知函數(shù)的最小值為5，則9．【思路分析】利用基本不等式求最值需要滿足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成，然后利用基本不等式求解即可，注意等號(hào)成立的條件．【解析】：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)等號(hào)成立．故答案為：9．【歸納總結(jié)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及整體的思想，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造積為定值，屬于基礎(chǔ)題．9．在無窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是，，．【思路分析】由無窮等比數(shù)列的概念可得公比的取值范圍，再由極限的運(yùn)算知，從而得解．【解析】：無窮等比數(shù)列，公比，，，，，，，．故答案為：，，．【歸納總結(jié)】本題考查無窮等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，極限的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10．某人某天需要運(yùn)動(dòng)總時(shí)長(zhǎng)大于等于60分鐘，現(xiàn)有五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可以選擇，如表所示，問有幾種運(yùn)動(dòng)方式組合23種運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)7點(diǎn)點(diǎn)8點(diǎn)點(diǎn)9點(diǎn)點(diǎn)10點(diǎn)點(diǎn)11點(diǎn)點(diǎn)30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘【思路分析】由題意知至少要選2種運(yùn)動(dòng)，并且選2種運(yùn)動(dòng)的情況中，、、的組合不符合題意，由此求出結(jié)果．【解析】：由題意知，至少要選2種運(yùn)動(dòng)，并且選2種運(yùn)動(dòng)的情況中，、、的組合不符合題意；所以滿足條件的運(yùn)動(dòng)組合方式為：（種．故答案為：23種．【歸納總結(jié)】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了統(tǒng)籌問題的思想應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)作拋物線交橢圓于，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是．【思路分析】先設(shè)出橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得，進(jìn)而可以求出，的長(zhǎng)度，再由橢圓的定義即可求解．【解析】：設(shè)，，則拋物線，直線，聯(lián)立方程組，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又所以，所以，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，故答案為：．【歸納總結(jié)】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．12．已知，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，，則的最小值是．【思路分析】在單位圓中分析可得，由，即，，即可求得的最小值．【解析】：在單位圓中分析，由題意可得的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中，所以，因?yàn)閷?duì)任意都成立，所以，即，，同時(shí)，所以的最小值為．故答案為：．【歸納總結(jié)】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分)13．下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是A． B． C． D．【思路分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及映射的定義即可判斷選項(xiàng)是否正確．【解析】：選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)是二次函數(shù)，屬于二對(duì)一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，錯(cuò)誤，選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)是三角函數(shù)，有周期性和對(duì)稱性，屬于多對(duì)一的映射，根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，錯(cuò)誤，選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一一映射，所以函數(shù)存在反函數(shù)，正確，選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對(duì)一的映射，所以函數(shù)不存在反函數(shù)，錯(cuò)誤，故選：．【歸納總結(jié)】本題考查了函數(shù)的定義以及映射的定義，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)以及映射概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．14．已知集合，，，，則下列關(guān)系中，正確的是A． B． C． D．【思路分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算對(duì)每一選項(xiàng)判斷即可．【解析】：已知集合，，，，解得或，，，，；則，，故選：．【歸納總結(jié)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．15．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，下列是無最大值的充分條件是A．為偶函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．為偶函數(shù)且關(guān)于直線對(duì)稱 C．為奇函數(shù)且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．為奇函數(shù)且關(guān)于直線對(duì)稱【思路分析】根據(jù)題意，依次判斷選項(xiàng)：對(duì)于，舉出反例可得三個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于，利用反證法可得其正確．【解析】：根據(jù)題意，依次判斷選項(xiàng)：對(duì)于，，為偶函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，存在最大值，錯(cuò)誤，對(duì)于，，為偶函數(shù)且關(guān)于直線對(duì)稱，存在最大值，錯(cuò)誤，對(duì)于，假設(shè)有最大值，設(shè)其最大值為，其最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象存在最低點(diǎn)，又由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，與最大值為相矛盾，則此時(shí)無最大值，正確，對(duì)于，，為奇函數(shù)且關(guān)于直線對(duì)稱，錯(cuò)誤，故選：．【歸納總結(jié)】本題考查了充分條件和反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在三角形，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【思路分析】設(shè)，，，，，由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷①；為中點(diǎn)，可得，由為中點(diǎn)，可得與的交點(diǎn)即為重心，從而可判斷②【解析】：不妨設(shè)，，，，，①，，若，則，即，滿足條件的存在，例如，滿足上式，所以①成立；②為中點(diǎn)，，與的交點(diǎn)即為重心，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以與不共線，即②不成立．故選：．【歸納總結(jié)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，平面．（1）若為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為，求與所成角的大小．【思路分析】（1）由，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)，進(jìn)行運(yùn)算，即可；（2）由平面，知，進(jìn)而有，，由，知或其補(bǔ)角即為所求，可證平面，從而有，最后在中，由，得解．【解析】：（1）為等邊三角形，且為中點(diǎn)，，，又平面，四棱錐的體積．（2）平面，為與平面所成角為，即，為等腰直角三角形，，分別為，的中點(diǎn)，，，，或其補(bǔ)角即為與所成角，平面，，又，，、平面，平面，，在中，，故與所成角的大小為．【歸納總結(jié)】本題考查棱錐的體積、線面角和異面直線夾角的求法，理解線面角的定義，以及利用平移法找到異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，、、是其三條邊，，．（1）若，求、；（2）若，求．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（2）根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，，的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【解析】：（1）因?yàn)?，可得，又，可得，由于，可得．?）因?yàn)?，可得，又，可解得，，或，，因?yàn)椋傻?，，若，，可得，可得，可得為鈍角，這與為鈍角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．【歸納總結(jié)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（14分）（1）團(tuán)隊(duì)在點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有、兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)滿足千米，可知在、為焦點(diǎn)的雙曲線上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為軸正半軸，北側(cè)為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在北偏東處，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)坐標(biāo)．（2）團(tuán)隊(duì)又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有、兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)千米，千米，求（精確到1米）和點(diǎn)位置（精確到1米，【思路分析】（1）求出，，的值即可求得雙曲線方程，求出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別求出以、為焦點(diǎn)，以，為焦點(diǎn)的雙曲線方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得，及點(diǎn)位置．【解析】：（1）由題意可得，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線，聯(lián)立雙曲線方程，可得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（2）①，則，，所以，雙曲線方程為；②，則，，所以，所以雙曲線方程為，兩雙曲線方程聯(lián)立，得，，所以米，點(diǎn)位置北偏東．【歸納總結(jié)】本題主要考查雙曲線方程在實(shí)際中的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（16分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍．【思路分析】（1）把代入函數(shù)解析式，由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0求解絕對(duì)值的不等式得答案；（2），設(shè)，得，，求得等式右邊關(guān)于的函數(shù)的值域可得的取值范圍；（3）分與兩類變形，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的范圍．【解析】：（1）當(dāng)時(shí)，，由，得，解得或．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，；?），，設(shè)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，整理得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，又，的取值范圍是；（3）當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，此時(shí)需要滿足，即，函數(shù)在，上遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上遞減，，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上遞減．綜上，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減．【歸納總結(jié)】本題考查函數(shù)定義域的求法，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)單調(diào)性的判定及其應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．21．（18分）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值．【思路分析】（1）根據(jù)和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)建立等式，然后將，，的值代