畫法幾何 點(diǎn)線面的相對(duì)位置

2.4線面相對(duì)位置

一般面與投影面垂直面互交aa′bb′cc′d′dee′ff′nn′m0m0′m′m求交線：可見性判別：【例2.30】如圖所示，作△ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，并表明可見性。aa′bb′cc′d′d(e)e′g(f)f′g′ikik求交線：可見性判別：【例2.31】如圖所示，作平行于側(cè)面的△ABC和垂直于正面的△DEF的交線，并表明可見性。e”f”e’

f’a”b”c”a’

b’

c’d’d”O(jiān)Z

k’(l’)l”k”求交線：可見性判別：【例2.32】如圖所示，分別作出正垂面P與△ABC，水平面Q的交線，并表明可見性。a′abf’(g’)cb′c′PVQVfgXOd′e′d′e′求交線：可見性判別：2.4.2.2、兩相交元素的投影都無積聚性時(shí)求交

由于相交的兩元素均無積聚性，故不能直接利用積聚性進(jìn)行求解。解決這類問題，通?？山柚O(shè)置特殊輔助平面進(jìn)行求解。＊一般直線與一般平面相交；＊兩一般位置平面相交?；咀鲌DMBCAFKNLEABCF可以利用輔助平面和輔助投影的方法使相交一方具有積聚性。ABCQⅡⅠNM（3）求交線與已知直線的交點(diǎn)，此即所求。（2）求輔助平面與已知平面（ABC）的交線（ⅠⅡ）；求交點(diǎn)的步驟:（1）包含直線（MN）作輔助平面（Q）；K輔助平面法：通過已知直線做投影面垂直面，求出兩平面的交線，此直線與原直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。(一)一般線與一般面相交(一)一般線與一般面相交m′n′QV解題步驟：1、過EF作正垂面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線MN。3、求交線MN與EF的交點(diǎn)K。4、可見性判別f′e′efba′acb′c′mnFECABQMNKk′kHVa′b′c′ceaABbCFEf′fk′Kke′可見性判別方法ⅠⅡ1′

(2′)判別可見性的原理是利用重影點(diǎn)。ⅢⅣ3(4)利用重影點(diǎn)判別可見性f′e′efba′acb′c′kk′12

1′2′4′3′43()()

線面交點(diǎn)法

三面共點(diǎn)法求兩平面的交線，只要求出兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)和交線的方向。(二)兩一般位置平面相交

求交線步驟：

1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的共有點(diǎn)；

n′bacc′b′a′hh′nmm′QV1′2′21PVkk′ee′2、判別可見性。MBCAKENH線面交點(diǎn)法判別兩平面的可見性n′bacc′b′a′hh′nmm′（）1′2′1

2()3

4

3′

4′判別可見性的原理是利用重影點(diǎn)。通過第三面找到三個(gè)平面的共有點(diǎn)，找到兩個(gè)這樣的共有點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，即為兩平面的交線。P2P1(三)三面共點(diǎn)法（兩平面輪廓部分不直接相交）rrssPVQVlkklbccdadeabeffghgh1、直線與平面垂直2、平面與平面垂直ABCDL1L2EFPHPV2.4.3、直線與平面以及兩平面垂直2.4.3.1、直線與平面以及兩平面垂直垂直的幾何條件與投影特性幾何條件:直線必須垂直于該平面上的任意兩相交直線基本作圖：①判別直線是否與平面垂直ABCDL1L2EFPHPV②過空間一點(diǎn)作已知平面的垂線③過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面一、直線與平面垂直P判別直線是否與平面垂直1、幾何條件MNKL1L2如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對(duì)相交直線，則此直線垂直于該平面PMNL1L2K如果一直線垂直于某平面，則此直線垂直于該平面內(nèi)的任意直線PMNL1L2PPHPVHV2、投影特性DABCMNbccaabmmnndd

如果一直線垂直于一平面，則該直線的正面投影垂直于該平面內(nèi)正平線的正面投影，該直線的水平投影垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影。(直線垂直于一平面)【基本作圖一】判別直線是否與平面垂直1′122′e′ef′fa′abb′cc′KK′PHg′h′ghEF⊥△ABCGH⊥P平面【基本作圖二】過空間一點(diǎn)作已知平面的垂線1′122′f′fe′ea′abb′cc′【基本作圖三】過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面bb′cc′faa′ef′e′【例2.34】如圖所示，過點(diǎn)A作一平面，平行于直線BC，垂直于△DEFbb′cc′faa′df′e′ed′h′g′hg212′1′二、平面與平面垂直幾何條件：

一個(gè)平面上有一條直線垂直于另一平面或一平面通過另一平面的法線。基本作圖：①

判別兩平面是否垂直②

過空間一直線作已知平面的垂面QPL1L2NM【基本作圖一】判別兩平面是否垂直e′ea′abb′cc′ff′gg′11′22′△ABC⊥△EFGd′d【基本作圖二】過空間一直線作已知平面的垂面1′122′f′fe′ea′abb′cc′gg′2.4.3.2兩元素中至少有一個(gè)處于特殊位置時(shí)，直線與平面以及兩平面垂直n（1）特殊位置的直線與平面相互垂直當(dāng)直線垂直于某投影面垂直面時(shí)，則此直線必為該投影面平行線。VHOXPmnmMN特殊位置的線面垂直問題ppmnmnPVPHmnmnppmnm(n)【例2.36】如圖所示，過點(diǎn)A作正垂面△CDE的垂線AB和垂足B，并確定點(diǎn)A與△CDE平面的真實(shí)距離。bb′cc′aedd′e′a′真實(shí)距離P如果一直線垂直于一平面，則包含此直線的一切平面都與該平面垂直。(2)平面與平面垂直幾何條件ABPQK如果兩平面互相垂直，則從一平面上任一點(diǎn)向另一平面所作的垂線必在前一平面上。幾何條件LPQKL【例2.37】如圖所示，過直線AB作一般位置平面垂直于正垂面P，過點(diǎn)C作正垂面P的正垂面Q和正平面R。bb′cc′aa′PVXOd′d【例】過點(diǎn)K作一平面垂直平面ABCD。kkbaabdccd1212ee例包含直線MN作平面垂直于平面ABC。baabccmnnmll面面相交為直線的性質(zhì)投影面平行面相交：水平面與正平面相交為側(cè)垂線水平面與側(cè)平面相交為正垂線側(cè)平面與正平面相交為鉛垂線不同投影面的兩平行平面相交為投影面垂直線投影面平行面與投影面垂直面相交：投影面平行面與另兩投影面的垂直面的交線為投影面垂直線投影面平行面與該面的垂直面的交線為投影面平行線投影面平行面與一般位置平面相交：交線為投影面平行線投影面垂直面與一般位置平面相交：交線為一般位置直線四、綜合作圖題示例

1、審題

明確題意、已知條件和作圖要求。

2、空間分析

逆推分析法：假設(shè)滿足題目要求的幾何元素已經(jīng)給出，將它和題目所給的幾何元素一起，按題目要求的幾何條件逐一分析，綜合研究它們之間的相對(duì)位置和從屬關(guān)系，進(jìn)而探求由給定的幾何元素確定所求的幾何元素的途徑，進(jìn)而得出解題方法。

軌跡分析法：根據(jù)題目要滿足的若干幾何條件逐個(gè)地運(yùn)用空間幾何元素軌跡的概念，分析所求的幾何元素在該條件下的空間幾何軌跡，然后綜合這些空間幾何軌跡取公共元素，進(jìn)而得出解題方案。

3、確定作圖步驟，運(yùn)用基本作圖完成投影圖

解題方案選定后，就要決定作圖步驟，先做什么，后做什么。并熟練運(yùn)用各種基本作圖方法，完成投影圖。c【例1】求點(diǎn)C到直線AB的距離。baabkck2211距離實(shí)長(zhǎng)2【例2】求點(diǎn)K到平面ABC的距離。cbaabkck211ll求實(shí)長(zhǎng)距離實(shí)長(zhǎng)kkabcabcll【例題3】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角邊AB的V投影，試完成其正面投影。b′cbaa′c′1′12′2作圖步驟1、過點(diǎn)Ａ作直線AB的垂直面AⅠⅡ；2、在垂直面AⅠⅡ上，運(yùn)用平面定線方法確定AC邊；3、連線完成直角三角形ABC的投影?！纠}4】作一直線與兩交叉直線AB和CD相交，同時(shí)與直線EF平行。f2′211′nmm′n′abb′a′e′f′c′d′c′deABCDEF1MN【例題5】過點(diǎn)N作直線，使其與△ABC平行，且與直線EF相交。eff′e′m′ma′b′bacc′2′21′1nn′作圖步驟1、過點(diǎn)M作平面MⅠⅡ平行于已知平面ABC；2、求平面MⅠⅡ與已知直線EF的交點(diǎn)N；3、連接MN【例題6】過點(diǎn)K作直線KL與直線MN垂直，并與△ABC平行。gg′l′laa′bcc′b′k′kmnn′m′作圖步驟1、過MN作平面MNG垂直于平面ABC；2、過點(diǎn)K作直線KL垂直于平面MNG。【例題7】已知直線AB與△EFG平面的夾角為60°，AB在△EFG上的正投影為AC，求作AB的兩投影。e′f′g′gfea′c′ca60°ACB=A0c

b′bB0cB0=BCA0△ZAC△ZAC△ZC11′△ZC11【例題8】已知等邊△ABC與H面的傾角α=30°，試完成該等邊△ABC的兩面投影。caa′c′bb′B0等邊△ABC高BD的實(shí)長(zhǎng)d′dα△ZBD△ZBD作圖步驟1、求作等邊△Ａ