萬有引力定律 人造衛(wèi)星

考

綱

要

求三

年

考

情熱

點(diǎn)

考

向考點(diǎn)要求2007年2008年2009年萬有引力定律Ⅱ江蘇物理(T10·選擇)重慶理綜(T19·選擇)北京理綜(T9·選擇)寧夏理綜(T14·選擇)廣東理科(T11·選擇)寧夏理綜(T23·計算)全國綜理Ⅱ(T25·計算)四川理綜(T20·選擇)山東理綜(T18·選擇)廣東物理(T12·選擇)全國卷Ⅰ(T19·選擇)天津卷(T12·計算)四川卷(T15·選擇)江蘇卷(T3·選擇)福建卷(T14·選擇)山東卷(T18·選擇)重慶卷(T17·選擇)浙江卷(T19·選擇)北京卷(T22·計算)上海卷(T8·選擇)天體運(yùn)動的考查頻率很高，

主要綜合考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動．經(jīng)常結(jié)合航天技術(shù)、人造地球衛(wèi)星等現(xiàn)代科技的重要領(lǐng)域．2007年我國“嫦娥一號”，2008年“神舟七號”相繼成功發(fā)射．這些世人矚目的成就使得本章內(nèi)容在高考命題中的熱點(diǎn)地位將會進(jìn)一步增強(qiáng).萬有引力定律的應(yīng)用Ⅱ人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(限于圓軌道)Ⅱ宇宙速度Ⅰ航天技術(shù)的發(fā)展和宇宙航行Ⅰ第4課時萬有引力定律人造衛(wèi)星1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量m1

和m2的乘積成

，與它們之間的距離r的

成反比．2．公式：F＝

，其中G＝

N·m2/kg2叫引力常量．3．適用條件：公式適用于

間的相互作用．也適用于兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，但此時r是

間的距離，一個均勻球體與球外一個質(zhì)點(diǎn)的萬有引力也適用，其中r為球心到

間的距離．6.67×10－11平方正比質(zhì)點(diǎn)兩球心質(zhì)點(diǎn)1．對萬有引力定律的理解

(1)普遍性：任何客觀存在的物體間都存在著相互作用的吸引力，即“萬有引力”．

(2)相互性：兩物體間的萬有引力是一對作用力和反作用力，它們的大小相等、方向相反，分別作用在兩個物體上．

(3)宏觀性：在通常情況下，萬有引力非常小，只有在質(zhì)量巨大的星體間或天體與天體附近的物體間，它的存在才有實(shí)際的物理意義，故在分析地球表面的物體受力時，不考慮地面物體間的萬有引力，只考慮地球?qū)Φ孛嫖矬w的萬有引力．2．萬有引力和重力的關(guān)系

萬有引力對物體的作用效果可以等效為兩個力的作用，一個是重力mg， 另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)需要的向心力F向，如圖4－4－1所示，可知：

(1)地面上的物體的重力隨緯度的增大而增大．故重力加速度g從赤道到 兩極逐漸增加．

(2)在兩極：重力等于萬有引力，重力加速度最大．(3)在赤道：F萬＝F向＋mg故mg＝

－mRω2(4)由于地球的自轉(zhuǎn)角速度很小，地球的自轉(zhuǎn)帶來的影響很小，一般情況下認(rèn)為：

＝mg，故GM＝gR2，這是萬有引力定律應(yīng)用中經(jīng)常用到的“黃金代換”．(5)距地面越高，物體的重力加速度越小，距地面高度為h處的重力加速度為

g′＝

，其中R為地球半徑，g為地球表面的重力加速度．1．假如一做圓周運(yùn)動的人造地球衛(wèi)星的軌道半徑增加到原來的2倍， 仍做圓周運(yùn)動，則(

) A．根據(jù)公式v＝ωr可知衛(wèi)星運(yùn)動的線速度將增大到原來的2倍

B．根據(jù)公式F＝可知衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的1/2 C．根據(jù)公式F＝

可知地球提供的向心力將減小到原來的1/4 D．根據(jù)上述B和C中給出的公式可知，衛(wèi)星運(yùn)行的線速度將減小到原來的解析：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供，有

，得v＝

，所以當(dāng)軌道半徑加倍時，引力變?yōu)樵瓉淼?，速度變?yōu)樵瓉淼谋?，故選項C、D正確．答案：CD1．應(yīng)用萬有引力定律分析天體運(yùn)動的方法

把天體運(yùn)動看成是

運(yùn)動，其所需的向心力由天體間的萬有引力提供．

應(yīng)用時可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析和計算．勻速圓周2．關(guān)于同步衛(wèi)星的五個“一定”

(1)軌道平面一定：軌道平面與

共面．

(2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期

，即T＝24h. (3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度．

(4)高度一定：由

(R＋h)得同步衛(wèi)星離地面的高度

h＝

≈3.6×107m. (5)速度一定：v＝

＝3.1×103

m/s.赤道平面相同相同1．三個近似

近地衛(wèi)星貼近地球表面運(yùn)行，可近似認(rèn)為做勻速圓周運(yùn)動的半徑等于地球半徑；在地球表面隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體可近似認(rèn)為其重力等于地球?qū)λ娜f有引力；天體的運(yùn)動軌道可近似看作圓軌道．2．兩種加速度——衛(wèi)星的向心加速度和隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度的比較衛(wèi)星的向心加速度物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度產(chǎn)生萬有引力萬有引力的一個分力(另一分力為重力)方向指向地心垂直指向地軸大小

a＝g′＝(地面附近a近似為g)a＝

，其中r為地面上某點(diǎn)到地軸的距離變化隨物體到地心距離r的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小3.兩個半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的比較

衛(wèi)星的軌道半徑是天體的衛(wèi)星繞天體做圓周運(yùn)動的圓的半徑， 所以r＝R＋h.當(dāng)衛(wèi)星貼近天體表面運(yùn)動時，h≈0， 可近似認(rèn)為軌道半徑等于天體半徑．4．兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的比較

自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線運(yùn)動一周的時間，公轉(zhuǎn)周期是衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動一周的時間．一般情況下天體的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期是不等的，如：地球自轉(zhuǎn)周期為24小時，公轉(zhuǎn)周期為365天．但也有相等的，如月球，自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)周期都約為27天，所以地球上看到的都是月球固定的一面，在應(yīng)用中要注意區(qū)別．2．(2009·安徽，15)2009年2月11日，俄羅斯的“宇宙-2251”衛(wèi)星和美國的

“銥-33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805km處發(fā)生碰撞．這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片，繞地球運(yùn)動的軌道都是圓，甲的運(yùn)動速率比乙的大，則下列說法中正確的是(

) A．甲的運(yùn)動周期一定比乙的長

B．甲距地面的高度一定比乙的高

C．甲的向心力一定比乙的小

D．甲的加速度一定比乙的大解析：根據(jù)公式T＝2π可知：A選項不對；再根據(jù)公式v＝

可知：B不對；由于甲離地球較近，故向心加速度較大，所以C不對，D對．答案：D宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度7.9這是發(fā)射繞地球做圓周運(yùn)動衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若7.9km/s≤v＜11.2km/s，物體繞

運(yùn)行(環(huán)繞速度)第二宇宙速度11.2這是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，若11.2km/s≤v＜16.7km/s，物體繞

運(yùn)行(脫離速度)第三宇宙速度16.7這是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，若v≥16.7km/s，物體將脫離

在宇宙空間運(yùn)行(逃逸速度)地球太陽太陽系(1)三種宇宙速度均指的是發(fā)射速度，不能理解為環(huán)繞速度．(2)第一宇宙速度既是最小發(fā)射速度，又是衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的最大速度．1．第一宇宙速度的理解和推導(dǎo)

由于在人造衛(wèi)星的發(fā)射過程中，火箭要克服地球的引力做功，所以將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠(yuǎn)的軌道，在地面上所需的發(fā)射速度就越大，故人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度對應(yīng)將衛(wèi)星發(fā)射到近地表面運(yùn)行，此時發(fā)射時的動能全部轉(zhuǎn)化為繞行的動能而不需要轉(zhuǎn)化為重力勢能．

根據(jù)論述可推導(dǎo)如下：

，v1＝

＝7.9km/s

或mg＝

，v1＝＝7.9km/s.2．其他天體的第一宇宙速度可參照此方法推導(dǎo)，v1＝

，

g′為該天體表面的重力加速度，R′為該天體的半徑．3．(2009·北京，22)已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．

(1)推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式；

(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h， 求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T.解析：(1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M在地球表面附近滿足

＝mg得GM＝R2g①衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力等于它受到的萬有引力

②①式代入②式，得到v1＝

(2)考慮①式，衛(wèi)星受到的萬有引力為F＝

③由牛頓第二定律F＝

(R＋h)④③④式聯(lián)立解得T＝

答案：(1)

(2)

【例1】

“嫦娥一號”于2009年3月1日下午4時13分成功撞月，從發(fā)射到撞月歷時433天，標(biāo)志我國一期探月工程圓滿結(jié)束．其中，衛(wèi)星發(fā)射過程先在近地圓軌道繞行3周，再長途跋涉進(jìn)入近月圓軌道繞月飛行．若月球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的1/6，月球半徑為地球半徑的1/4，根據(jù)以上信息得(

)A．繞月與繞地飛行周期之比為

B．繞月與繞地飛行周期之比為

C．繞月與繞地飛行向心加速度之比為1∶6D．月球與地球質(zhì)量之比為1∶96解析：由

＝mg可得月球與地球質(zhì)量之比：D正確．由于在近地及近月軌道中，“嫦娥一號”運(yùn)行的半徑分別可近似為地球的半徑與月球的半徑，由

，可得： A正確．由

可得： C正確．答案：ACD利用萬有引力定律解決天體運(yùn)動的一般思路1．兩條線索

(1)萬有引力提供向心力F引＝F向．

(2)重力近似等于萬有引力提供向心力．2．兩組公式

(gr為軌道所在處重力加速度)1－1

近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動，并測得該運(yùn)動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個常數(shù))(

) A．ρ＝

B．ρ＝kT C．ρ＝kT2 D．ρ＝解析：本題考查天體密度的計算問題．火星的近地衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，即

，則火星的密度為

，則ρ＝，故D選項正確．答案：D【例2】

火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g， 則火星表面的重力加速度約為(

) A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g

解析：在星球表面有

，故火星表面的重力加速度 ＝0.4，故B正確． 答案：B星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法設(shè)天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則mg＝

即g＝(或GM＝gR2)若物體距星體表面高度為h，則重力mg′＝

，即g′＝2－1

(2009·江蘇，3)英國《新科學(xué)家(NewScientist)》雜志評選出了2008年度世界8項科學(xué)之最，在XTEJ1650-500雙星系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的最小黑洞位列其中．若某黑洞的半徑R約45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足

(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數(shù)量級為(

) A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2D．1014m/s2解析：星球表面的物體滿足mg＝

，即GM＝R2g，由題中所給條件推出GM＝Rc2，則GM＝R2g＝Rc2，代入數(shù)據(jù)解得g＝1012m/s2，C正確．答案：C【例3】

我國成功發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”．設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面．已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，月球的 半徑約為地球半徑的，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi) 星繞月運(yùn)行的速率約為(

) A．0.4km/s B．1.8km/s C．11km/sD．36km/s 解析：設(shè)地球質(zhì)量、半徑分別為M、R，月球質(zhì)量、半徑分別為M′、r，則M′＝，r＝R.在地球表面，物體的重力近似等于萬有引力，若物體質(zhì)量為m0，則： ，即GM＝gR2；在月球表面，滿足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝

，地球表面的第一宇宙速度

v1＝＝7.9km/s，在月球表面，有

v′＝ ≈1.8km/s.

答案：B1．解決此類題的關(guān)鍵：要明確衛(wèi)星的第一宇宙速度等于最大環(huán)繞速度．2．解決萬有引力定律的應(yīng)用問題，盡管題目很多，但其基本方法是不變的，即把天體的運(yùn)動看成圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力．3－1

北京時間2007年11月7號上午8點(diǎn)24分，在北京航天飛行控制中心的控制下，嫦娥一號衛(wèi)星主發(fā)動機(jī)點(diǎn)火成功，工作10分鐘后，發(fā)動機(jī)正常關(guān)機(jī)，嫦娥一號進(jìn)入距月球表面約200公里的圓軌道．設(shè)月球半徑約為地球半徑的1/4，月球質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/81，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，據(jù)此完成下列問題．(地球表面處的重力加速度g取10m/s2)，地球半徑R＝6400km， ＝1.4計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(1)在月球上要發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，則最小發(fā)射速度多大？(2)嫦娥一號衛(wèi)星在距月球表面約200公里繞月做勻速圓周運(yùn)動的速度大小約為多少？解析：(1)設(shè)地球、月球質(zhì)量分別為M、M1,半徑分別為R、R1；衛(wèi)星質(zhì)量為m，在地球、月球上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度分別為v、v1；在地球附近由mg＝，得v＝＝8km/s①對地球近地衛(wèi)星

②對月球近地衛(wèi)星

③由①②③得v1＝

×8km/s＝1.8