第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

1牛頓第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

前言§2-1牛頓運(yùn)動(dòng)定律*§2-2非慣性系慣性力§2-3動(dòng)量動(dòng)量守恒定律

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律

§2-4功動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律

*§2-5理想流體的伯努利方程2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇2

前言運(yùn)動(dòng)和物體相互作用的關(guān)系是人類幾千年來(lái)不斷探索的課題。力的作用既有瞬時(shí)效應(yīng)，又有積累效應(yīng)：前者由牛頓定律描述，后者則由三大守恒律所描述；在深一層次上，人們還發(fā)現(xiàn)，反映力在時(shí)、空過(guò)程中積累效應(yīng)的三大守恒律是與時(shí)、空的某種對(duì)稱性相聯(lián)系的。原來(lái)物體作何種運(yùn)動(dòng)，既與物體間的相互作用有關(guān)，又與物體自身的性質(zhì)有關(guān)。當(dāng)物體內(nèi)部出現(xiàn)某種非線性因素時(shí)，在一定條件下即可能導(dǎo)致混沌。從17世紀(jì)開(kāi)始，以牛頓定律為基礎(chǔ)建立起來(lái)的經(jīng)典力學(xué)體系，一直被認(rèn)為是“確定論”的。但廿世紀(jì)80年代，人們發(fā)現(xiàn)了在“確定論”系統(tǒng)中，卻可能出現(xiàn)“隨機(jī)行為”。在力學(xué)中，物體與物體間的相互作用稱之為力。為什么？2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇3§2－1牛頓運(yùn)動(dòng)定律2.1.1慣性定律慣性參照系在運(yùn)動(dòng)的描述中，各種參考系都是等價(jià)的。但實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)力學(xué)規(guī)律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問(wèn)題。1、慣性定律“孤立質(zhì)點(diǎn)”的模型：不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠(yuǎn)的質(zhì)點(diǎn)。例如，太空中一遠(yuǎn)離所有星體的飛船。慣性定律：一孤立質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)保持其原來(lái)靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇4BA靜止時(shí)AB慣性和慣性運(yùn)動(dòng)慣性運(yùn)動(dòng)：物體不受外力作用時(shí)所作的運(yùn)動(dòng)。問(wèn)題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？慣性：任何物體都有保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特性，慣性是物質(zhì)固有的屬性。慣性和第一定律的發(fā)現(xiàn)，使人們最終把運(yùn)動(dòng)和力分離開(kāi)來(lái)。２、慣性系和非慣性系左圖中，地面觀察者和車中觀察者對(duì)于慣性定律運(yùn)用的認(rèn)知相同嗎？2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇5

什么是慣性系：孤立物體相對(duì)于某參照系為靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，該參照系為慣性系。如何確定慣性系──只有通過(guò)力學(xué)實(shí)驗(yàn)。*1地球是一個(gè)近似程度很好的慣性系但相對(duì)于已知慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參照系也是慣性系。一切相對(duì)于已知慣性系作加速運(yùn)動(dòng)的參照系為非慣性系。*2太陽(yáng)是一個(gè)精度很高的慣性系

太陽(yáng)對(duì)銀河系核心的加速度為馬赫認(rèn)為：所謂慣性系，其實(shí)質(zhì)應(yīng)是相對(duì)于整個(gè)宇宙的平均加速度為零的參照系──因此，慣性系只能無(wú)限逼近，而無(wú)最終的慣性系。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇6※牛頓第二定律：物體受到外力作用時(shí)，它所獲得加速度的大小與合外力的大小成正比；與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力F

的方向相同。比例系數(shù)k與單位制有關(guān)，在國(guó)際單位制中k=1。2.1.2牛頓第二定律慣性質(zhì)量引力質(zhì)量其數(shù)學(xué)形式為２o物體之間的四種基本相互作用；1、關(guān)于力的概念１o力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產(chǎn)生形變，也可使物體獲得加速度。力的概念是物質(zhì)的相互作用在經(jīng)典物理中的一種表述。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇73o

力的疊加原理若一個(gè)物體同時(shí)受到幾個(gè)力作用，則合力產(chǎn)生的加速度，等于這些力單獨(dú)存在時(shí)所產(chǎn)生的加速度之矢量和。力的疊加原理的成立，不能自動(dòng)地導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的疊加。2、關(guān)于質(zhì)量的概念3、牛頓第二定律給出了力、質(zhì)量、加速度三者間瞬時(shí)的定量關(guān)系１o質(zhì)量是物體慣性大小的量度：２o引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的問(wèn)題：調(diào)節(jié)引力常數(shù)Ｇ，使m引，m慣的比值為1。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價(jià)是廣義相對(duì)論的出發(fā)點(diǎn)之一。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇82.1.3牛頓第三定律1o作用力與反作用力是分別作用在兩個(gè)物體上的，不是一對(duì)平衡力。2o作用力與反作用力是同一性質(zhì)的力。3o若A給B一個(gè)作用，則A受到的反作用只能是B給予的。*：牛頓第三定律只在實(shí)物物體之間，且運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)才成立。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇92.1.4牛頓定律的應(yīng)用1、牛頓定律只適用于慣性系；在平面直角坐標(biāo)系在平面自然坐標(biāo)系2、牛頓定律只適用于質(zhì)點(diǎn)模型；3、具體應(yīng)用時(shí)，要寫(xiě)成坐標(biāo)分量式。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇10若F=常量，則若F=F(v)

，則

若F=F(r)

，則

４、要根據(jù)力函數(shù)的形式選用不同的方程形式運(yùn)用舉例：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇11※牛頓定律只適用于慣性系例2.1一細(xì)繩跨過(guò)一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為

和的物體(

＜

)，如圖2.2所示.設(shè)滑輪和繩的質(zhì)量可忽略不計(jì)，繩不能伸長(zhǎng)，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力.解分別以，定滑輪為研究對(duì)象，其隔離體受力如圖2.2所示.對(duì)

，它在繩子拉力

及重力

的作用下以加速度

向上運(yùn)動(dòng)，取向上為正向，則有對(duì)

，它在繩子拉力

及重力

作用下以加速度

向下運(yùn)動(dòng)，以向下為正方向，則有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇12由于定滑輪軸承光滑，滑輪和繩的質(zhì)量可以略去，所以繩上各部分的張力都相等；又因?yàn)槔K不能伸長(zhǎng)，所以

和的加速度大小相等，即有解①和②兩式得由牛頓第三定律知：，又考慮到定滑輪質(zhì)量不計(jì)，所以有容易證明2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇13設(shè)x軸正向沿斜面向下，y軸正向垂直斜面向上，則對(duì)m應(yīng)用牛頓定律列方程如下：例2.2升降機(jī)內(nèi)有一光滑斜面，固定在底板上，斜面傾角為θ.當(dāng)升降機(jī)以勻加速度

豎直上升時(shí)，質(zhì)量為m的物體從斜面頂端沿斜面開(kāi)始下滑，如圖2.3所示.已知斜面長(zhǎng)為l，求物體對(duì)斜面的壓力，物體從斜面頂點(diǎn)滑到底部所需的時(shí)間.解以物體m為研究對(duì)象.其受到斜面的正壓力N和重力mg.以地為參考系，設(shè)物體m相對(duì)于斜面的加速度為，方向沿斜面向下，則物體相對(duì)于地的加速度為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇14解方程，得由牛頓第三定律可知，物體對(duì)斜面的壓力N′與斜面對(duì)物體的壓力N大小相等，方向相反，即物體對(duì)斜面的壓力為垂直指向斜面.因?yàn)閙相對(duì)于斜面以加速度沿斜面向下作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，所以得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇15解跳傘員的運(yùn)動(dòng)方程為改寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程為例2.3跳傘運(yùn)動(dòng)員在張傘前的俯沖階段，由于受到隨速度增加而增大的空氣阻力，其速度不會(huì)像自由落體那樣增大.當(dāng)空氣阻力增大到與重力相等時(shí)，跳傘員就達(dá)到其下落的最大速度，稱為終極速度.一般在跳離飛機(jī)大約10s，下落約300～400m左右時(shí)，就會(huì)達(dá)到此速度(約50m/s).設(shè)跳傘員以鷹展姿態(tài)下落，受到的空氣阻力為

(k為常量)，如圖2.4(a)所示.試求跳傘員在任一時(shí)刻的下落速度.顯然，在

的條件下對(duì)應(yīng)的速度即為終極速度，并用

表示：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇16因t＝0時(shí)，v＝0；并設(shè)t時(shí)，速度為v，對(duì)上式兩邊取定積分：由基本積分公式得最后解得當(dāng)時(shí)，

.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇17設(shè)運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量m＝70kg，測(cè)得終極速度

＝54m/s，則可推算出以此值代入v(t)的公式，可得到如圖2.4(b)所示的v-t函數(shù)曲線.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇181、

單位制：基本量、導(dǎo)出量

單位制的任務(wù)是：規(guī)定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的數(shù)量級(jí)。

七個(gè)基本量為

長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電流、溫度、物質(zhì)的量和發(fā)光強(qiáng)度2、SI制中三個(gè)基本量的操作型定義長(zhǎng)度時(shí)間

1秒=銫-133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷時(shí)對(duì)應(yīng)輻射的9，192，631，770個(gè)周期。從基本量導(dǎo)出的量稱為導(dǎo)出量，相應(yīng)的單位稱為導(dǎo)出單位。*

2.1.5國(guó)際單位制和量綱（自學(xué)提綱）2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇193、量綱：

因?yàn)閷?dǎo)出量是由基本量導(dǎo)出的，所以導(dǎo)出量可用基本量的某種組合(乘、除、冪等)表示。這種由基本量的組合來(lái)表示物理量的式子稱為該物理量的量綱式，例如：在SI制中通過(guò)物理定律、定理、定義等將某個(gè)物理量表示成某種單位制中基本物理量的方次。質(zhì)量

千克質(zhì)量2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇20*§2-2非慣性系慣性力

我們知道牛頓定律只在慣性系中成立，可是，在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)我們又必須在非慣性系中去觀察和處理問(wèn)題。那么物理上如何解決這個(gè)問(wèn)題的呢？

通過(guò)本節(jié)的討論，我們將會(huì)看到，如果引入一個(gè)慣性力的概念，那么我們?cè)诜菓T性系中將仍可沿用牛頓定律的形式而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇211、慣性力的提出

設(shè)有一質(zhì)量為m的小球，放在一小車光滑的水平面上，平面上除小球(小球的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小車的橫向線度）之外別無(wú)他物，即小球水平方向合外力為零。然后突然使小車向右對(duì)地作加速運(yùn)動(dòng)，這時(shí)小球?qū)⑷绾芜\(yùn)動(dòng)呢？(1)地面上的觀察者：小球?qū)㈧o止在原地，符合牛頓第一定律；(2)車上的觀察者：小球以－as

相對(duì)于小車作加速運(yùn)動(dòng)；2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇22注意：此時(shí)小車是非慣性系，那么小車上的觀察者如何解釋呢？

我們假設(shè)車上的人熟知牛頓定律，尤其對(duì)加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何場(chǎng)合下，他都強(qiáng)烈地要求保留這一認(rèn)知，于是車上的人說(shuō)：小球之所以對(duì)小車有-as的加速度，是因?yàn)槭艿搅艘粋€(gè)指向左方的作用力，且力的大小為-mas；但他同時(shí)又熟知，力是物體與物體之間的相互作用，而小球在水平方向不受其它物體的作用,因此，物理上把這個(gè)力命名為慣性力。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇23(2)慣性力的大小等于研究對(duì)象的質(zhì)量m與非慣性系的加速度as的乘積，——而方向與as相反，即

注意式中m是研究對(duì)象的質(zhì)量，即在同一非慣性系中若選取的研究對(duì)象不同，其質(zhì)量不同，則f﹡不同；2、慣性力的特點(diǎn)

(1)慣性力不是物體間的相互作用。因此，沒(méi)有反作用。

另外f﹡與as有關(guān)，非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度的形式不同，則f﹡也不同。后面將從三個(gè)方面加以說(shuō)明。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇24

3、非慣性系中的運(yùn)動(dòng)定律的形式

設(shè)有慣性系O和非慣性系O，O系以加速度as相對(duì)于O系運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)在O系中有一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m，且相對(duì)于O系以相對(duì)加速度a/運(yùn)動(dòng)，于是質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)慣性系的加速度a=as+a/

現(xiàn)在慣性系O中運(yùn)用牛頓定律得因?yàn)槲覀円岩霊T性力 ，所以上式為這就是在非慣性系中運(yùn)動(dòng)定律的形式.

即：在非慣性系中運(yùn)用牛頓定律時(shí)，對(duì)研究對(duì)象除了分析其受到的真實(shí)力以外，還必須加上其受到的慣性力；而等式右邊則只考慮研究對(duì)象相對(duì)于非慣性系的相對(duì)加速度a/。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇25作直線加速運(yùn)動(dòng)的非慣性系中的慣性力1）此時(shí)的慣性力具有最簡(jiǎn)形式，2）若非慣性系（即牽連運(yùn)動(dòng)）是恒加速運(yùn)動(dòng)，

這時(shí)慣性力僅與牽連運(yùn)動(dòng)有關(guān)，即僅與非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度有關(guān)。慣性力將具有與重力相類似的特性，即與慣性質(zhì)量正比。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇26勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性系中的——慣性離心力*慣性離心力的引入：

如圖所示，在光滑水平圓盤(pán)上，用一輕彈簧栓一小球，圓盤(pán)以角速勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)彈簧被拉伸后而靜止。

地面觀察者：小球受到彈性力，且指向圓心，作圓周運(yùn)動(dòng)；

圓盤(pán)上觀察者：小球受到彈簧拉力，且指向圓心，但小球仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，為解釋這一現(xiàn)象引入此時(shí)即稱為慣性離心力。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇27*地球自轉(zhuǎn)對(duì)重力的影響支持力N、引力F引、慣性離性力?*c作用下處于平衡態(tài)，

而地面上的觀察者通常總是把地面上的物體作二力平衡來(lái)處理，即認(rèn)為物體在重力W和支持力N作用下達(dá)到平衡態(tài)，因此重力W實(shí)際上應(yīng)是F引和?*c的合力，即：由是得

NF引?*cW

以地球?yàn)閰⒄障担紤]地球的自轉(zhuǎn),于是地面上任何一個(gè)物體都是在三個(gè)力：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇28我們知道，在地球的兩極，地球自轉(zhuǎn)半徑為零，故物體重力不受自轉(zhuǎn)影響，該處重力=引力，設(shè)該處重力加速度為g0,則F=mgo,于是，式中是物體所在處的緯度，F(xiàn)引?*cWrRN2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇29略去高階無(wú)窮小量

得即 是一個(gè)無(wú)窮小量，利用二項(xiàng)式定理再次略去高階無(wú)窮小，得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇30可見(jiàn)地面上物體的重力大小隨緯度而變化，其方向也不嚴(yán)格指向地心，——故常說(shuō)重力方向?yàn)殂U垂方向，但由結(jié)果看出，重力隨緯度變化并不明顯，通?？梢院雎?。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇31在轉(zhuǎn)動(dòng)的非慣性系中，研究對(duì)象相對(duì)于非慣性系還有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性離心力：其與牽連運(yùn)動(dòng)有關(guān)，與對(duì)象在非慣性系中的位置有關(guān)?？评飱W利力：其與牽連運(yùn)動(dòng)有關(guān)，還與對(duì)象對(duì)非慣性系的相對(duì) 運(yùn)動(dòng)有關(guān)， 則研究對(duì)象受到的慣性力有：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇32科氏力的引入

一圓盤(pán)繞鉛直軸以角速轉(zhuǎn)動(dòng)，盤(pán)心有一光滑小孔，沿半徑方向有一光滑槽，槽中有一小球被穿過(guò)小孔的細(xì)線所控制，使其只能沿槽做勻速運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)小球沿槽以v相向外運(yùn)動(dòng)。

從圓盤(pán)上觀察，則小球僅有徑向勻速運(yùn)動(dòng)，即小球處于平衡態(tài)，徑向：慣性離心力，牽引張力平衡；橫向：必需有一力與槽的側(cè)向推力N平衡，這個(gè)力即為科里奧利力

顯然，科里奧利力不屬于相互作用的范疇，是在非慣性系中觀察到的，其既與牽連運(yùn)動(dòng)有關(guān)，又與物體對(duì)牽連參照系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇33傅科擺；fk*v

落體偏東；

江岸的沖刷（北半球）；vvfk*fk**科氏力在一些自然現(xiàn)象中的作用2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇34

信風(fēng)；

據(jù)歷史記載，第一次世界大戰(zhàn)期間，英、德在阿根廷附近馬爾維納斯島的洋面上進(jìn)行了一次大戰(zhàn)。當(dāng)?shù)聡?guó)軍艦位于英國(guó)軍艦北方大約6-7km時(shí)，英艦炮手瞄準(zhǔn)德艦開(kāi)炮，奇怪的是炮彈全都落在德艦的左側(cè)大約100多米以外的地方。怪就怪在英艦炮手都是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格訓(xùn)練的富有作戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)的好炮手，不應(yīng)發(fā)生如此大的偏差。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇35

后經(jīng)查實(shí)，人們才知道這是科里奧利力在作怪！即瞄準(zhǔn)器的設(shè)計(jì)者是按照海戰(zhàn)發(fā)生在英國(guó)本土（約北緯500）附近來(lái)考慮科氏力的作用，即當(dāng)向北發(fā)射炮彈時(shí)應(yīng)向左校正（因此時(shí)科氏力是向右的）?，F(xiàn)在海戰(zhàn)發(fā)生在南半球的馬島（約南緯500）附近，此時(shí)科氏力向左，因此應(yīng)向右校正，但瞄準(zhǔn)器依然按原設(shè)計(jì)向左校正，結(jié)果就產(chǎn)生了雙倍的向左偏差。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇362.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理１、動(dòng)量的引入在牛頓力學(xué)中，物體的質(zhì)量可視為常數(shù)故即§2-3動(dòng)量動(dòng)量守恒定律力的瞬時(shí)效應(yīng)→力的積累效應(yīng)──加速度：牛頓定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇37１）式中 叫做動(dòng)量，是物體運(yùn)動(dòng)量的量度。２）動(dòng)量 是矢量，方向與 同；動(dòng)量是相對(duì)量，與參照系的選擇有關(guān)。

２、沖量的概念

１）恒力的沖量

２）變力的沖量

此時(shí)沖量的方向不能由某瞬時(shí)力的方向來(lái)決定。

指兩個(gè)物體相互作用持續(xù)一段時(shí)間的過(guò)程中，在物體間傳遞著的物理量。力在某一段時(shí)間間隔內(nèi)的沖量沖量的方向與力的方向相同。

作用力F＝恒量，作用時(shí)間t1t2，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量，2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇38即其表示：物體所受外力的沖量等于物體動(dòng)量的增量。3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理在直角坐標(biāo)系中的分量式2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇39平均沖力概念１）峰值沖力的估算ff0tt+△tt

３）當(dāng)相互作用時(shí)間極短，相互間沖力極大，此時(shí)某些有限主動(dòng)外力（如重力等）可忽略不計(jì)。

４、動(dòng)量定理的應(yīng)用２）當(dāng)動(dòng)量的變化是常量時(shí)，有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇402.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1、內(nèi)力與外力

i質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力i質(zhì)點(diǎn)所受合力2、i質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇413、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理（對(duì)i求和）因?yàn)閮?nèi)力成對(duì)出現(xiàn)這說(shuō)明內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)的總動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)，但對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增減是有影響的。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇42質(zhì)點(diǎn)系合外力的沖量=質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量。于是有或2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇432.3.3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律若系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)總動(dòng)量守恒

一個(gè)孤立的力學(xué)系統(tǒng)（即無(wú)外力作用的系統(tǒng)）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量可以交換，但系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變。這就是動(dòng)量守恒定律。

注意：動(dòng)量守恒式是矢量式(1)守恒條件是而不是2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇44

若，但若某一方向的合外力零，則該方向上 動(dòng)量守恒；

(3)必須把系統(tǒng)內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中；

(4)若作用時(shí)間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力，運(yùn)用動(dòng)量守恒。(2)若

表示系統(tǒng)與外界無(wú)動(dòng)量交換，表示系統(tǒng)與外界的動(dòng)量交換為零。則系統(tǒng)無(wú)論沿那個(gè)方向的動(dòng)量都守恒；2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇45例2.5一彈性球，質(zhì)量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，與墻碰撞后彈回.設(shè)彈回時(shí)速度大小不變，碰撞前后的運(yùn)動(dòng)方向和墻的法線所夾的角都是α(圖2.12)，設(shè)球和墻碰撞的時(shí)間Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞時(shí)間內(nèi)，球和墻的平均相互作用力.解以球?yàn)檠芯繉?duì)象.設(shè)墻對(duì)球的平均作用力為f，球在碰撞前后的速度為和，由動(dòng)量定理可得將沖量和動(dòng)量分別沿圖中N和x兩方向分解得：解方程得按牛頓第三定律，球?qū)Φ钠骄饔昧偷姆较蛳喾炊戎担创怪庇趬γ嫦蚶?2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇46例2.6如圖2.13所示，一輛裝礦砂的車廂以v＝4m/s的速率從漏斗下通過(guò)，每秒落入車廂的礦砂為k＝200kg/s，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多大的牽引力(忽略車廂與地面的摩擦).解設(shè)t時(shí)刻已落入車廂的礦砂質(zhì)量為m，經(jīng)過(guò)dt后又有dm＝kdt的礦砂落入車廂.取m和dm為研究對(duì)象，則系統(tǒng)沿x方向的動(dòng)量定理為Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm·0)＝vdm＝kdt

v則2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇47例2.7如圖2.14所示，一質(zhì)量為m的球在質(zhì)量為M的1/4圓弧形滑槽中從靜止滑下.設(shè)圓弧形槽的半徑為R，如所有摩擦都可忽略，求當(dāng)小球m滑到槽底時(shí)，M滑槽在水平上移動(dòng)的距離.解以m和M為研究系統(tǒng)，其在水平方向不受外力(圖中所畫(huà)是m和M所受的豎直方向的外力)，故水平方向動(dòng)量守恒.設(shè)在下滑過(guò)程中，m相對(duì)于M的滑動(dòng)速度為v，M對(duì)地速度為V，并以水平向右為x軸正向，則在水平方向上有解得設(shè)m在弧形槽上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，而m相對(duì)于M在水平方向移動(dòng)距離為R，故有于是滑槽在水平面上移動(dòng)的距離2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇48*

2.3.4

質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1.問(wèn)題的提出2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理3.質(zhì)心的含義及其計(jì)算2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇492.4.1功功率1、恒力的功

即某力的功等于力與質(zhì)點(diǎn)在該力作用下位移的標(biāo)積。

(中學(xué)）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積。

由矢量標(biāo)積定義式，有§2-４功動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇50功值的圖示法2、

變力的功１）力的元功

XYZObaL設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿X軸運(yùn)動(dòng)，則力Ｆ在區(qū)間x1,x2內(nèi)做的功，即為圖中有陰影部分的面積。

物體在變力的作用下從a運(yùn)動(dòng)到b

b2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇512)

dA

在F-S圖上的幾何意義0absF(s)dA3）變力在一段有限位移上的功功的直角坐標(biāo)系表示式因?yàn)楣κ菢?biāo)量，所以總功等于各方向上的分量之代數(shù)和。

dA=F（s）ds

，其在F－s圖上即為有陰影的小方塊的面積。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇52★一對(duì)作用力與反作用力的功只與相對(duì)位移有關(guān)0所以一般情況下

式中drij為相對(duì)位移2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇53３、功率

單位時(shí)間內(nèi)所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇54

重力的功力函數(shù)

元位移

4、保守力的功12y2y12023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇55彈簧彈性力的功力函數(shù)元位移oXo2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇56萬(wàn)有引力的功

由圖知元位移

力函數(shù)

Mm2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇571)保守力

如重力、彈簧彈性力、萬(wàn)有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力。即保守力沿任一閉合路徑的功為零。abcc/

如果某力的功只與始末位置有關(guān)而與具體路徑無(wú)關(guān)，則該力謂之保守力。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇58LmS+保守力的共同特征：a、力函數(shù)或?yàn)槌?shù)，或者僅為位置的函數(shù)；

b、保守力的功總是“原函數(shù)”增量的負(fù)值。

2)非保守力若力的功值與具體路徑有關(guān),則為非保守力，如摩擦力、爆炸力等。

如在一水平面上2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇59解由題知，雖然力的大小不變，但其方向在不斷變化，故仍然是變力做功.如題圖所示，以岸邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，向左為x軸正向，則力F在坐標(biāo)為x處的任一小段元位移dx上所做元功為即

例2.8在離水面高為H的岸上，有人用大小不變的力F拉繩使船靠岸，如圖2.21所示，求船從離岸

處移到

處的過(guò)程中，力F對(duì)船所做的功.由于，所以F做正功.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇60解(1)由點(diǎn)(0,0)沿x軸到(2,0)，此時(shí)y＝0，dy＝0，所以例2.9質(zhì)點(diǎn)所受外力，求質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,4)的過(guò)程中力F所做的功：(1)先沿x軸由點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0)，再平行y軸由點(diǎn)(2,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,4)；(2)沿連接(0,0)，(2,4)兩點(diǎn)的直線；(3)沿拋物線由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,4)(單位為國(guó)際單位制).由點(diǎn)(2,0)平行y軸到點(diǎn)(2,4)，此時(shí)x＝2，dx＝0，故2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇61(2)因?yàn)橛稍c(diǎn)到點(diǎn)(2,4)的直線方程為y＝2x，所以(3)因?yàn)?，所以可?jiàn)題中所示力是非保守力.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇622.4.2動(dòng)能定理1、動(dòng)能是一個(gè)獨(dú)立的物理量，與力在空間上的積累效應(yīng)對(duì)應(yīng)?！镞@說(shuō)明又，m為常數(shù)2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇63★是質(zhì)點(diǎn)作機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)所具有的運(yùn)動(dòng)量的量度，稱之為動(dòng)能；★是狀態(tài)量，相對(duì)量，與參照系的選取有關(guān)。

2、動(dòng)能定理或即，作用于物體上合外力的功等于物體動(dòng)能的增量。

合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用一段距離所產(chǎn)生的積累作用，從而導(dǎo)致動(dòng)能的有限變化。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇64動(dòng)能與動(dòng)量的區(qū)別引入兩種度量作用2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇65例2.10一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無(wú)摩擦地滑動(dòng)，t＝0時(shí)物體靜止于原點(diǎn)，(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運(yùn)動(dòng)了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動(dòng)了3m，它的速度增為多大？解(1)由動(dòng)量定理

，得(2)由動(dòng)能定理，得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇662.4.3勢(shì)能描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)參量是

對(duì)應(yīng)于：

彈簧彈性力的功

萬(wàn)有引力的功重力的功

1、勢(shì)函數(shù)為此我們回顧一下保守力的功2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇67

由上所列保守力的功的特點(diǎn)可知，其功值僅取決于物體初、終態(tài)的相對(duì)位置，故可引入一個(gè)由相對(duì)位置決定的函數(shù)；由定積分轉(zhuǎn)換成不定積分，則是

式中c為積分常數(shù)，在此處是一個(gè)與勢(shì)能零點(diǎn)的選取相關(guān)的量。

又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個(gè)函數(shù)必定具有能量的性質(zhì)；而這個(gè)具有能量性質(zhì)的函數(shù)又是由物體相對(duì)位置所決定，故把這種能量稱之為勢(shì)能（或曰位能），用ＥＰ表示。則有：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇682、已知保守力求勢(shì)能函數(shù)

彈性勢(shì)能：

保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點(diǎn)，即彈簧原長(zhǎng)處，為勢(shì)能零點(diǎn)，則c=0于是

重力勢(shì)能保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則c=0

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇69引力勢(shì)能保守力的力函數(shù)

若取無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能零點(diǎn)，則

勢(shì)能函數(shù)的一般特點(diǎn)rij1)對(duì)應(yīng)于每一種保守力都可引進(jìn)一種相關(guān)的勢(shì)能；2)勢(shì)能大小是相對(duì)量，與所選取的勢(shì)能零點(diǎn)有關(guān)；3)一對(duì)保守力的功等于相關(guān)勢(shì)能增量的負(fù)值；4)勢(shì)能是彼此以保守力作用的系統(tǒng)所共有。

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇70３、已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)求保守力若保持y，z不變，則dy＝dz＝0同理則2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇71例：求保守力函數(shù)2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇722.4.4勢(shì)能曲線

將勢(shì)能隨相對(duì)位置變化的函數(shù)關(guān)系用一條曲線描繪出來(lái)，就是勢(shì)能曲線。Ep(h)0(a)h重力勢(shì)能曲線Ep(r)r0(c）引力勢(shì)能曲線0(b)lEp(l)彈性勢(shì)能曲線2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇731、勢(shì)能曲線能說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)在軌道上任一位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系所具有的勢(shì)能值。2、勢(shì)能曲線上任一位置處的鈄率（dEP/dl

）的負(fù)值，表示質(zhì)點(diǎn)在該處所受的保守力。

設(shè)有一保守系統(tǒng)，其中一質(zhì)點(diǎn)沿x方向作一維運(yùn)動(dòng)，則有

由教材中之圖可知，凡勢(shì)能曲線有極值時(shí)，即曲線鈄率為零處，其受力為零。這些位置點(diǎn)稱為平衡位置。

勢(shì)能曲線有極大值的位置點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡位置，勢(shì)能曲線有極小值的位置點(diǎn)是穩(wěn)定平衡位置。

由勢(shì)能曲線所獲得的信息2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇742.4.5質(zhì)點(diǎn)系的功能定理與功能原理1、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力

對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇75

對(duì)i

求和—質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量等于外力的功與質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部保守力的功、非保守力的功三者之和。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇76若引入(機(jī)械能）則可得

系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力功之和。2、功能原理由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，而對(duì)每一對(duì)內(nèi)部保守力均有

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇77２）功能原理只適用于慣性系（從牛頓定律導(dǎo)出；3)具體應(yīng)用時(shí)，一是要指明系統(tǒng)，二是要交待相關(guān)的勢(shì)能零點(diǎn)；注意的問(wèn)題：１）功能原理是屬于質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律（因涉及ＥP），與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理不同；質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)功能原理4）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，注意將各量統(tǒng)一到同一慣性系中。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇78例2.12一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面傾角為θ，今將物塊由彈簧的自然長(zhǎng)度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？(如圖2.25)解以彈簧、物體、地球?yàn)橄到y(tǒng)，取彈簧自然伸長(zhǎng)處為原點(diǎn)，沿斜面向下為x軸正向，且以原點(diǎn)為彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能零點(diǎn)，則由功能原理式(2.46)，在物塊向上滑至x處時(shí)，有物塊靜止位置與v＝0對(duì)應(yīng)，故有解此二次方程，得另一根x＝l，即初始位置，舍去.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇792.4.6機(jī)械能守恒定律由功能原理可知機(jī)械能守恒的條件：系統(tǒng)與外界無(wú)機(jī)械能的交換；系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)機(jī)械能與其他能量形式的轉(zhuǎn)換。

當(dāng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)，應(yīng)有

即系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能的增量＝勢(shì)能增量的負(fù)值若和,則系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇802.4.7能量轉(zhuǎn)換與守恒定律

在一個(gè)孤立的系統(tǒng)內(nèi)，各種形態(tài)的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無(wú)能怎樣轉(zhuǎn)換，這個(gè)系統(tǒng)的總能量將始終保持不變。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇81解如圖2.26所示，設(shè)子彈對(duì)沙箱作用力為f′，沙箱位移為s；沙箱對(duì)子彈作用力為f，子彈的位移為s＋l，f＝－f′.A＝－f(s＋l)＋f′s＝－fl≠0說(shuō)明沙箱對(duì)子彈做功－f(s＋l)與子彈對(duì)沙箱做的功f′s＝－f

s兩者不相等；而這一對(duì)內(nèi)力做功之和不為零，它等于子彈與沙箱組成的系統(tǒng)的機(jī)械能的損失.損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能.則這一對(duì)內(nèi)力的功例2.13在光滑的水平臺(tái)面上放有質(zhì)量為M的沙箱，一顆從左方飛來(lái)質(zhì)量為m的彈丸從箱左側(cè)擊入，在沙箱中前進(jìn)一段距離l后停止.在這段時(shí)間內(nèi)沙箱向右運(yùn)動(dòng)的距離為s，此后沙箱帶著彈丸以勻速運(yùn)動(dòng).求此過(guò)程中內(nèi)力所做的功.(假定子彈所受阻力為一恒力)2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇82例2.14如圖2.28所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，在光滑的水平軌道上以速度v作直線運(yùn)動(dòng).今在車頂前緣放上一質(zhì)量為m的物體，物體相對(duì)于地面的初速度為零.設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為μ，為使物體不致從車頂上跌下去，問(wèn)車頂?shù)拈L(zhǎng)度l最短應(yīng)為多少？解由于摩擦力做功的結(jié)果，最后使得物體與小車具有相同的速度，這時(shí)物體相對(duì)于小車為靜止而不會(huì)跌下.在這一過(guò)程中，以物體和小球?yàn)橐幌到y(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒，有而m相對(duì)于M的位移為l，如圖2.28所示，則一對(duì)摩擦力的功為聯(lián)立以上兩式即可解得車頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇83例2.15試分析航天器的三種宇宙速度.解(1)第一宇宙速度.航天器繞地球運(yùn)動(dòng)所需的最小速度稱為第一宇宙速度.以地心為原點(diǎn)，航天器在距地心為r處繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的速度為

，則有式中為地球表面處的重力加速度.若r＝R時(shí)，則這就是第一宇宙速度.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇84這就是第二宇宙速度.(2)第二宇宙速度.在地球表面處的航天器要脫離地球引力范圍而必須具有的最小速度，稱為第二宇宙速度.以地球和航天器為一系統(tǒng)，航天器在地球表面處的引力勢(shì)能為，動(dòng)能為，航天器能脫離地球時(shí)，地球的引力可忽略不計(jì)，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能的最小量為零，由機(jī)械能守恒定律，有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇85(3)第三宇宙速度.在地球表面發(fā)射的航天器，能逃逸出太陽(yáng)系所必須的最小速度，稱為第三宇宙速度.作為近似處理可分兩步進(jìn)行：第一步，從地球表面把航天器送出地球引力圈，在此過(guò)程中略去太陽(yáng)引力，這一步的計(jì)算方法與分析第二宇宙速度類似，所不同的是航天器還必須有剩余動(dòng)能

，因此有由前討論知：，代入上式有第二步，航天器由脫離地球引力圈的地點(diǎn)(近似為地球相對(duì)于太陽(yáng)的軌道上)出發(fā)，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，逃離太陽(yáng)系，在此過(guò)程中，忽略地球的引力.以太陽(yáng)為參考系，地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)速度(相當(dāng)于計(jì)算地球相對(duì)于太陽(yáng)的第一宇宙速度)為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇86為了充分利用地球的公轉(zhuǎn)速度，使航天器在第二步開(kāi)始時(shí)的速度沿公轉(zhuǎn)方向，這樣，在第二步開(kāi)始時(shí)，航天器所需的相對(duì)地球速度為這就是第一步航天器所需的剩余動(dòng)能所對(duì)應(yīng)的速度.因此式中

為太陽(yáng)的質(zhì)量，為太陽(yáng)中心到地球中心的距離.以太陽(yáng)參考系計(jì)算，逃離太陽(yáng)引力范圍所需的速度(相當(dāng)于計(jì)算地球相對(duì)于太陽(yáng)的第二宇宙速度)，即這就是第三宇宙速度.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇87力矩1、力對(duì)固定點(diǎn)的力矩

1）定義：作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)慣性系中某參考點(diǎn)的力矩，等于力的作用點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、牛·米(N·m)om§2-５角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇883）力矩的計(jì)算：

M的大小、方向均與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)※在直角坐標(biāo)系中，其表示式為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇89

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對(duì)軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對(duì)Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對(duì)軸的矩：

設(shè)力Ｆ的作用線就在Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作用點(diǎn)到Ｚ軸的位矢為r，則力對(duì)Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉(zhuǎn)動(dòng)在平面內(nèi)，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個(gè)分力即可。rF2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇90力對(duì)固定點(diǎn)的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過(guò)0點(diǎn),即，有心 力對(duì)力心的力矩恒為零）。力對(duì)固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A）2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇91質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)一對(duì)內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的力矩之矢量和為零2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇922.5.1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

在質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，動(dòng)量mv

不守恒，但角動(dòng)量的引入：開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的面積定律

許多實(shí)例都說(shuō)明是一個(gè)獨(dú)立的物理量，再考慮到行星的質(zhì)量m為恒量，2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇93

在描述行星的軌道運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)及微觀粒子的運(yùn)動(dòng)中都具有獨(dú)特作用。因此必須引入一個(gè)新的物理量－－角動(dòng)量L，來(lái)描述這一現(xiàn)象。

衛(wèi)星地球+2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇94１、質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量

動(dòng)量為mv

的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)慣性系內(nèi)某參考點(diǎn)0的角動(dòng)量，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的位矢r與其動(dòng)量mv

的矢積。

角動(dòng)量是矢量，角動(dòng)量L

的方向垂直于r和mv

所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定?！镌谥苯亲鴺?biāo)系中注意：為表示是對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量，通常將角動(dòng)量L畫(huà)在參考點(diǎn)上。L的大小為·L2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇95★角動(dòng)量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),有v=r,且r與v互相垂直，故有★是相對(duì)量：與參照系的選擇有關(guān)，與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)L＝rmv=mr2★角動(dòng)量的定義并沒(méi)有限定質(zhì)點(diǎn)只能作曲線運(yùn)動(dòng)而不能作直線運(yùn)動(dòng)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇962、質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量☆假定質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量就在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，且質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的矢徑為r，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)z軸的角動(dòng)量為，方向沿z軸，可正、可負(fù)☆質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，則只需考慮動(dòng)量在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分量；或運(yùn)用坐標(biāo)分量式求得：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇972.5.2質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理１、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)o的位矢。

又于是有或

即：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。此即質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇98２、角動(dòng)量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對(duì)同一點(diǎn)而言a、對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒律若，則

質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某參考點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。

外力距對(duì)某固定點(diǎn)的沖量距等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的增量。＊若質(zhì)點(diǎn)受有心力作用，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量一定守恒。2.5.3質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇99b、對(duì)軸的角動(dòng)量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數(shù)，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對(duì)某軸的力矩為零），則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇100在由A→B的過(guò)程中，子彈、木塊系統(tǒng)機(jī)械能守恒例2.16在光滑的水平桌面上，放有質(zhì)量為M的木塊，木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在O點(diǎn)，彈簧的勁度系數(shù)為k，設(shè)有一質(zhì)量為m的子彈以初速垂直于OA射向M并嵌在木塊內(nèi)，如圖2.31所示.彈簧原長(zhǎng)，子彈擊中木塊后，木塊M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)刻，彈簧長(zhǎng)度變?yōu)閘，此時(shí)OB垂直于OA，求在B點(diǎn)時(shí)，木塊的運(yùn)動(dòng)速度.解擊中瞬間，在水平面內(nèi)，子彈與木塊組成的系統(tǒng)沿

方向動(dòng)量守恒，即有在由A→B的過(guò)程中木塊在水平面內(nèi)只受指向O點(diǎn)的彈性有心力，故木塊對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，設(shè)

與OB方向成θ角，則有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇101由①、②式聯(lián)立求得

的大小為由③式求得

與OB的夾角為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇102例2.17一質(zhì)點(diǎn)m被一長(zhǎng)為l的輕線懸于天花板上的B點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)m在水平面內(nèi)作勻角速ω的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓軌道半徑為

.試計(jì)算(1)質(zhì)點(diǎn)m對(duì)圓心O和懸點(diǎn)B的角動(dòng)量

和

；(2)作用在質(zhì)點(diǎn)m上的重力mg和張力T對(duì)圓心O和懸點(diǎn)B的力矩

和

；(3)試討論m對(duì)O點(diǎn)或B點(diǎn)的角動(dòng)量是否守恒(如圖2.32所示).解(1)在圖(a)中由圓心O點(diǎn)向質(zhì)量m引矢量

，則其方向垂直于軌道平面沿OB方向向上，因?yàn)?/p>

⊥mv，故即圓錐擺對(duì)圓心O點(diǎn)的角動(dòng)量

是個(gè)沿OB向上的大小和方向都不變的恒矢量.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇103在圖(b)中，由懸點(diǎn)B向在某位置P處的質(zhì)點(diǎn)m引矢徑

，則(2)如圖(c)，質(zhì)點(diǎn)m所在位置對(duì)于圓心O，張力T的力矩為因在豎直方向有Tcosθ＝mg，所以即的方向垂直于與mv所組成的平面.顯然，質(zhì)點(diǎn)m在不同的位置處，例如在p′點(diǎn)處，其矢徑和動(dòng)量mv′各不相同，因此，其矢積也不相同.即的方向是不斷地變化著的.這時(shí)的大小為其方向垂直于紙面向外，大小為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇104此時(shí)重力對(duì)圓心O的力矩為由上面計(jì)算可以得出，作用在質(zhì)點(diǎn)m上的張力T，重力mg對(duì)圓心O的合力矩為其方向垂直于紙面向里.因mg始終垂直于軌道平面，所以

⊥mg，故

的大小為同樣，如圖(c)質(zhì)點(diǎn)所在位置，對(duì)于懸點(diǎn)B，張力T因與

始終共線，故T對(duì)B點(diǎn)的力矩為零.而重力mg對(duì)B點(diǎn)的力矩為其方向始終垂直于

與重力作用線mg所組成的平面.由于

的方向在不斷地變化，所以的方向也在不斷地變化，如圖(c)所在位置，的方向垂直于紙面向里.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇105(3)由(2)中的討論可知，重力mg和張力T對(duì)O點(diǎn)的合力矩為零(實(shí)際上mg與T的合力構(gòu)成了m作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，為有心力，其對(duì)O點(diǎn)合力矩必定為零)，所以質(zhì)點(diǎn)m對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，這與(1)中討論一致.同樣，由(2)中討論知，因mg對(duì)B點(diǎn)的力矩方向始終變化，即對(duì)B點(diǎn)的力矩不為零，故質(zhì)點(diǎn)m對(duì)B點(diǎn)的角動(dòng)量不守恒.這與前面結(jié)果也是一致的.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇106

§2-6剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體是指在任何情況下，都沒(méi)有形變的物體。

當(dāng)物體自身線度l與所研究的物體運(yùn)動(dòng)的空間范圍r相比不可以忽略；物體又不作平動(dòng)而作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，即必須考慮物體的空間方位時(shí)，我們可以引入剛體模型。

剛體也是一個(gè)各質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)模型基本上只能表征物體的平動(dòng)特征。平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體的兩種基本運(yùn)動(dòng)形式。剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都可以看成平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。本節(jié)討論轉(zhuǎn)動(dòng)中最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)－定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1072.6.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述

若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其所有的質(zhì)元都繞某一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)。該直線稱為轉(zhuǎn)軸。

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇108

若轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)，即既不能改變方向又不能平移，這個(gè)轉(zhuǎn)軸為固定軸，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

我們只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。OZ１、轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

若轉(zhuǎn)軸的方向或位置在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變化，這個(gè)軸在某個(gè)時(shí)刻的位置稱為該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸。

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇109垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的平面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時(shí)組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)，因此前面關(guān)于質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的全套描述方法，此處全部可用。

以轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，任引一射線為極軸，原點(diǎn)引向考察點(diǎn)的矢徑與極軸的夾角為角位置，并引入0x2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇110２)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)所有質(zhì)點(diǎn)的角量都相同

；質(zhì)點(diǎn)的線量與該質(zhì)點(diǎn)的軸矢徑大小成正比

。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1112.6.2質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系，共有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力為則i質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)o的角動(dòng)量定理為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇112對(duì)i求和——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)O的角動(dòng)量定理由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)，每對(duì)內(nèi)力對(duì)O的力矩之和為零，因此內(nèi)力矩之總和為零，于是有（i)內(nèi)力矩對(duì)系統(tǒng)的總角動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)，（與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理相似）2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇113(iii)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理的物理意義：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于外力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。(ii)在質(zhì)點(diǎn)系的情況下，求外力對(duì)固定點(diǎn)的力矩之和時(shí)，不能先求合力，再求合力矩。只能說(shuō)外力矩之和不能說(shuō)合外力之矩。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1142、質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理如果將作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力矩之矢量和及質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量分別向給定軸投影，即可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理。

式中ri

為i質(zhì)點(diǎn)到z軸的距離，i

是vi與ri

間的夾角。若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí)則有

為簡(jiǎn)單記只討論沿z軸的角動(dòng)量定理——這時(shí)組成質(zhì)點(diǎn)系的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)位于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，于是有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇115將其與線動(dòng)量 相比若令

m

表示物體的平動(dòng)慣性，則I表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性，故將命名為對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，（式中ri

為mi

到軸的距離）3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的引入即：若質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運(yùn)動(dòng)，則這時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸的角動(dòng)量定理為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇116

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系若物體質(zhì)量連續(xù)分布，2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇117解(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直例2.18如圖2.35所示，求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質(zhì)元，其長(zhǎng)度為dx，距軸O的距離為x，設(shè)棒的線密度(即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量)為

，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm＝λdx.該質(zhì)元對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為整個(gè)棒對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇118(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直時(shí)，整個(gè)棒對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇119解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為例2.19設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤(pán)分別繞通過(guò)各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓環(huán)和圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇120則整個(gè)圓盤(pán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤(pán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.整個(gè)圓盤(pán)可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成.為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設(shè)圓盤(pán)的面密度(單位面積上的質(zhì)量)

，則小圓環(huán)的質(zhì)量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為以上計(jì)算表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剛體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇121(2)質(zhì)量元的選取：線分布面分布

體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

以上各例說(shuō)明：線分布體分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇122(3)由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無(wú)相對(duì)位移，對(duì)于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時(shí)間變化，故對(duì)于

定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一個(gè)常數(shù)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1232.6.3剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)點(diǎn)均在各自的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)以相同角速度繞軸作圓周運(yùn)動(dòng)，故有即剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)軸的角動(dòng)量為剛體對(duì)軸的角動(dòng)量故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1242、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理

由于剛體是一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系，即剛體對(duì)給定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是常數(shù)，故有

即：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與外力對(duì)該軸的力矩之和成正比，與剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。其在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中地位相當(dāng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)定律說(shuō)明了I

是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。因?yàn)椋?023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇125即I越大的物體，保持原來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)就越強(qiáng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性就越大；反之，I

越小，越容易改變其轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性越小。

如一個(gè)外徑和質(zhì)量相同的實(shí)心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰(shuí)轉(zhuǎn)動(dòng)得快些呢？MM2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇126例2.20如圖2.37(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過(guò)定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤(pán)，其質(zhì)量也為m.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng).求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見(jiàn)圖2.37(b).對(duì)于作平動(dòng)的物體A，B，分別由牛頓定律得對(duì)定滑輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇127由于繩不可伸長(zhǎng)，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇128例2.21轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，在t＝0時(shí)角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過(guò)程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)ω＝

時(shí)，飛輪的角加速度是多少？從開(kāi)始制動(dòng)到現(xiàn)在經(jīng)歷的時(shí)間是多少？解(1)由題知，故由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有即將代入，求得這時(shí)飛輪的角加速度為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇129(2)為求經(jīng)歷的時(shí)間t，將轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時(shí)，

，兩邊積分故當(dāng)時(shí)，制動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1301、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

可見(jiàn)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能i質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

整個(gè)剛體的動(dòng)能—對(duì)i求和2.6.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1312、力矩的功對(duì)于i質(zhì)點(diǎn)其受外力為Fi，對(duì)i求和，當(dāng)整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內(nèi)力矩之和為零）

∴當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過(guò)有限角時(shí)，力矩的功為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1323、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：力矩對(duì)剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1334、剛體的勢(shì)能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。

質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇134例2.22如圖2.39所示，一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點(diǎn)O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).今使棒從水平位置開(kāi)始自由