第8章 有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)

第7章有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)

2023/2/52本章將介紹數(shù)字濾波器的一種主要類(lèi)型：有限脈沖響應(yīng)濾波器，或稱(chēng)FIR濾波器。本章內(nèi)容包括：在回顧非遞歸濾波器的差分方程、脈沖響應(yīng)、傳輸函數(shù)及頻率響應(yīng)的基礎(chǔ)上，·說(shuō)明FIR濾波器的特點(diǎn)、設(shè)計(jì)方法和線性相位條件。·定義FIR窗，并給出選擇窗類(lèi)型和濾波器階數(shù)的方法?！ち谐龃昂瘮?shù)法低通濾波器設(shè)計(jì)步驟，以及如何設(shè)計(jì)帶通、帶阻和高通FIR濾波器?！そo出頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理，選擇過(guò)渡點(diǎn)數(shù)和濾波器階數(shù)的方法。·最后討論等波紋FIR濾波器的設(shè)計(jì)，并對(duì)FIR和IIR濾波器作全面比較。2023/2/53目錄7.1有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)7.2線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)7.3利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.4用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.5用等波紋逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)計(jì)7.6IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較2023/2/547.1有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單。但是它也有明顯的缺點(diǎn)，就是相位的非線性；若需線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正。因?yàn)閳D像處理以及數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性。而有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器就可以做成具有嚴(yán)格的線性相位，同時(shí)又可以具有任意的幅度特性。2023/2/55FIR濾波器的特點(diǎn)FIR濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的(0≤n≤N-1)，其z變換為

是z-1的(N-1)階多項(xiàng)式，在有限z平面(0<n<∞)上有(N-1)個(gè)零點(diǎn)，而極點(diǎn)位于z平面原點(diǎn)z=0處，且有(N-1)階。FIR濾波器最突出的優(yōu)點(diǎn)有2個(gè)：一是只要對(duì)h(n)附加一定的條件，很容易獲得嚴(yán)格的線性相位特性；二是由于H(z)的極點(diǎn)位于原點(diǎn)z=0處，始終滿(mǎn)足穩(wěn)定條件，所以FIR濾波器永運(yùn)穩(wěn)定。2023/2/56另外，F(xiàn)IR濾波器由于單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因而可以用快速傅里葉變換(FFT)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)過(guò)濾信號(hào)，從而可大大提高運(yùn)算效率。但是，要取得很好的衰減特性，F(xiàn)IR濾波器H(z)的階次比IIR濾波的要高。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR濾波器設(shè)計(jì)中的各種變換法對(duì)FIR濾波器設(shè)計(jì)是不適用的，這是因?yàn)槟抢锸抢糜欣矸质降南到y(tǒng)函數(shù)，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是z-1的多項(xiàng)式。2023/2/57FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法FIR的設(shè)計(jì)任務(wù)是選擇有限長(zhǎng)度的脈沖響應(yīng)h(n)，得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使幅頻特性滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求，同時(shí)使相頻特性達(dá)到線性相位。本章主要介紹三種設(shè)計(jì)方法：(1)窗函數(shù)法(2)頻率采樣法(3)切比雪夫等波紋逼近法。人們最感興趣的是FIR濾波器具有線性相位的相頻特性。對(duì)非線性相位的FIR濾波器，一般可以用IIR濾波器來(lái)代替，因?yàn)橥瑯臃忍匦?，IIR濾波器所需階數(shù)比FIR濾波器的階數(shù)要少得多。2023/2/587.2線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)線性相位條件對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)

式中，Hg(ω)稱(chēng)為幅度特性，θ(ω)稱(chēng)為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)為ω的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即

θ(ω)=-τω，τ為常數(shù)7-17-27-3如果θ(ω)滿(mǎn)足θ(ω)=θ0-τω，θ0是起始相位7-42023/2/59嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿(mǎn)足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即也稱(chēng)這種情況為線性相位。一般稱(chēng)滿(mǎn)足(7-3)式是第一類(lèi)線性相位；滿(mǎn)足(7-4)式為第二類(lèi)線性相位。1.第一類(lèi)線性相位條件將(7-1)式用尤拉公式展開(kāi)2023/2/510因h(n)為實(shí)序列，可得相頻特性，同時(shí)考慮θ(ω)=–τω，得因而即7-52023/2/511分析(7-5)式，正弦函數(shù)應(yīng)在τ=n處奇對(duì)稱(chēng)，選序列中心，令τ=(N-1)/2，則正弦函數(shù)以(N-1)/2為中心奇對(duì)稱(chēng)。為使求和式為零，h(n)必須以(N-1)/2為中心偶對(duì)稱(chēng)，即必須滿(mǎn)足7-67-77-8式(7-7)是FIR濾波器具有線性相位的必要且充分條件，它要求脈沖響應(yīng)h(n)序列以n=(N-1)/2為偶對(duì)稱(chēng)中心，此時(shí)時(shí)間延時(shí)τ等于h(n)長(zhǎng)度N-1的一半，即為τ=(N-1)/2個(gè)抽樣周期。θ(ω)是通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的斜直線，斜率為-(N-1)/2。2023/2/5122.第二類(lèi)線性相位條件對(duì)第二類(lèi)線性相位，作同樣推導(dǎo)可知，必須要求要使(7-9)式成立，必須滿(mǎn)足7-97-107-117-127-13式(7-12)是FIR濾波器具有第二類(lèi)線性相位的充要條件2023/2/513第二類(lèi)線性相位的必要且充分條件

要求脈沖響應(yīng)序列h(n)以n=(N-1)/2為奇對(duì)稱(chēng)中心，此時(shí)延時(shí)τ等于(N-1)/2個(gè)抽樣周期。h(n)在這種奇對(duì)稱(chēng)情況下，滿(mǎn)足h[(N-1)/2]=-h[(N-1)/2]，因而

h((N-1)/2)=0。這種線性相位情況和前一種不同之處是，除了產(chǎn)生線性相位外，還有±π/2的固定相移。由于h(n)有上述奇對(duì)稱(chēng)和偶對(duì)稱(chēng)兩種，而h(n)的點(diǎn)數(shù)N又有奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，因而h(n)可以有4種類(lèi)型，如圖7-5和圖7-6所示，分別對(duì)應(yīng)于4種線性相位FIR數(shù)字濾波器。2023/2/514

(a)N為奇數(shù);(b)N為偶數(shù)(a)N為奇數(shù);(b)N為偶數(shù)圖7-5h(n)偶對(duì)稱(chēng)圖7-6h(n)奇對(duì)稱(chēng)。2023/2/515線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點(diǎn)由于線性相位FIR濾波器的脈沖響應(yīng)應(yīng)該滿(mǎn)足(7-7)式和(7-12)式，即h(n)=±h(N–1–n)因而系統(tǒng)函數(shù)可表示為

即H(z)=±z-(N–1)H(z–1)7-14進(jìn)一步寫(xiě)成2023/2/5167-15在這一公式中，方括號(hào)內(nèi)有“±”號(hào)。當(dāng)取“+”號(hào)時(shí)，h(n)滿(mǎn)足h(n)=h(N–1–n)偶對(duì)稱(chēng)；當(dāng)取“-”號(hào)時(shí)，h(n)滿(mǎn)足h(n)=-h(N–1–n)奇對(duì)稱(chēng)。對(duì)應(yīng)圖7-5和圖7-6四種情況，下面分別討論它們的幅度特性。1.h(n)=h(N–1–n)，N為奇數(shù)由(7-15)式可知，頻率響應(yīng)為7-162023/2/517幅度函數(shù)Hg(ω)為式中，h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為令m=(N-1)/2-n，則有7-172023/2/518式中7-18按照(7-17)式，由于式中cosωn項(xiàng)對(duì)ω=0，π，2π皆為偶對(duì)稱(chēng)，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)ω=0，π，2π是偶對(duì)稱(chēng)的。如表7-2中情況1。2．h(n)=h(N–1–n)，N為偶數(shù)推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg(ω)中沒(méi)有單獨(dú)項(xiàng)，相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。2023/2/519令m=N/2-n，則有7-19式中7-20按照(7-19)式，ω=π時(shí)，余弦項(xiàng)變?yōu)檎翼?xiàng)，Hg(ω)以ω=π奇對(duì)稱(chēng)，且在ω=π處有一零點(diǎn),使Hg(π)=0。所以，對(duì)于高通和帶阻濾波器不適合采用這種情況。如表7-1中情況2。2023/2/5203．h(n)=-h(N–1–n)，N為奇數(shù)此時(shí)，由(7-15)式可知，頻率響應(yīng)為由于h(n)=-h(N–1–n)，n=(N-1)/2時(shí)因此h((N-1)/2)=0，即h(n)奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，中間項(xiàng)為零。7-212023/2/521在Hg(ω)中h(n)對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱(chēng)，正弦項(xiàng)也對(duì)該點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)，因此在Σ中第n項(xiàng)和第(N–1–n)項(xiàng)是相等的，將相同項(xiàng)合并，共合并為(N-1)/2項(xiàng)，即令m=(N-1)/2-n，則有7-22式中7-232023/2/522由于在ω=0，π，2π時(shí)，正弦項(xiàng)為零，因此幅度特性Hg(ω)在ω=0，π，2π處為零，且Hg(ω)對(duì)ω=0，π，2π呈奇對(duì)稱(chēng)。如表7-1中情況3。此種情況只能用于帶通濾波器的設(shè)計(jì)，其它類(lèi)型均不適用。4．h(n)=-h(N–1–n)，N=偶數(shù)類(lèi)似上面情況3，推導(dǎo)如下令m=(N-1)/2-n則有7-242023/2/523式中7-25由(7-24)式，因?yàn)檎翼?xiàng)在ω=0，2π處為零，因此Hg(ω)在ω=0，2π處為零，且對(duì)ω=0，2π奇對(duì)稱(chēng)；當(dāng)ω=π時(shí)，正弦項(xiàng)變?yōu)橛嘞翼?xiàng)，Hg(ω)對(duì)ω=π呈偶對(duì)稱(chēng)。適合高通或帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不能設(shè)計(jì)低能濾波器。以上分析了四種線性相位FIR的幅度特性，由于有些情況在ω=0或π點(diǎn)Hg(ω)=0，所以在設(shè)計(jì)時(shí)，要注意選擇合適的h(n)對(duì)稱(chēng)形式(奇或偶)和h(n)長(zhǎng)度N(奇數(shù)或偶數(shù))。如要設(shè)計(jì)高通濾波器，只能選情況1和情況4；要設(shè)計(jì)低通濾波器，只能選情況1和情況2。2023/2/524將以上四種情況的幅度特性之特點(diǎn)，h(n)需滿(mǎn)足的條件以及相位特性綜合在表7-2中。表7-2線性相位FIR濾波器的幅度特性與相位特性一覽表2023/2/525續(xù)表7-22023/2/5267.3利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器逼近理想低通濾波器

圖7-10(a)是理想低通濾波器的幅度響應(yīng)，該理想濾波器具有截止頻率ωc，相頻特性θ(ω)=0，如圖7-10(b)所示，這個(gè)理想濾波器作為普通FIR濾波器設(shè)計(jì)的起點(diǎn)。圖7-10理想低通濾波器的頻率響應(yīng)和脈沖響應(yīng)2023/2/527該理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)為如圖7-10(c)所示。圖7-10(c)7-282023/2/528然而，設(shè)計(jì)一個(gè)理想低通濾波器并不是這么簡(jiǎn)單。

第一個(gè)問(wèn)題是由于脈沖響應(yīng)在n=0之前就存在，所以它是非因果的。并且，由于n為負(fù)值時(shí)的非零值無(wú)限多，它不能向滑動(dòng)平均濾波器一樣進(jìn)行時(shí)移。

第二，無(wú)限多項(xiàng)意味著脈沖響應(yīng)不能直接轉(zhuǎn)換為非遞歸差分方程。一個(gè)簡(jiǎn)單的解決辦法就是把圖7-10(c)脈沖響應(yīng)兩邊響應(yīng)值很小的采樣點(diǎn)截去。脈沖響應(yīng)為有限長(zhǎng)，能夠位移為因果性，使得脈沖響應(yīng)所描述的濾波器可用。將無(wú)限長(zhǎng)脈沖脈沖響應(yīng)序列截?cái)?，得到一個(gè)有限長(zhǎng)序列，并用它逼近理想低通濾波器，這就是利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本原理。2023/2/529設(shè)計(jì)時(shí)先將hd(n)右移a，且取，N為截?cái)嗪蟮男蛄虚L(zhǎng)度，如圖7-11(a)所，此理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)為7-29顯然，hd(n)是以a為中心的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，現(xiàn)在需要尋找一個(gè)有限長(zhǎng)序列h(n)來(lái)逼近hd(n)，h(n)應(yīng)滿(mǎn)足FIR濾波器的基本條件，即它是偶對(duì)稱(chēng)或奇對(duì)稱(chēng)的，以滿(mǎn)足線性相位的要求，它還應(yīng)當(dāng)是因果的。2023/2/530取可見(jiàn)，選a=(N-1)/2是為了滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)的要求，也可以把h(n)看作是hd(n)與一矩形序列wR(n)(如圖7-11(b)所示)相乘的結(jié)果，即h(n)=hd(n)wR(n)7-30其中h(n)如圖7-11(c)所示。wR(n)稱(chēng)為矩形窗函數(shù)。即FIR數(shù)字濾波器的頻譜函數(shù)是理想低通濾波器的頻譜與窗函數(shù)頻譜的卷積。采用不同的窗函數(shù)，對(duì)應(yīng)的H(ejω)有不同的形狀。2023/2/531圖7-11理想低通脈沖響應(yīng)的直接截取

脈沖響應(yīng)的截?cái)嘧匀粫?huì)對(duì)頻率響應(yīng)產(chǎn)生影響。截?cái)嗪螅瑸V波器形狀不再是理想矩形。2023/2/532圖7-12給出了N取21項(xiàng)因果脈沖響應(yīng)的幅度響應(yīng)。同時(shí)也給出了理想低通濾波器的形狀，用以說(shuō)明時(shí)域截?cái)鄬?duì)濾波器形狀的影響。當(dāng)然，保留的點(diǎn)越多，濾波器形狀就越接近理想。圖7-12非理想低通濾波器的幅度響應(yīng)

由圖7-12可看出，截?cái)嗟挠绊懼饕w現(xiàn)在通帶和阻帶內(nèi)有波動(dòng)，過(guò)渡帶加寬。要使設(shè)計(jì)的濾波器逼近理想低通濾波器，必須從降低通帶和阻帶波動(dòng)，減小過(guò)渡帶上去考慮。2023/2/533從降低通帶和阻帶波動(dòng)，減小過(guò)渡帶上考慮。其中起關(guān)鍵作用的就是窗函數(shù)，窗函數(shù)不一定是矩形，也可以是其它形狀。窗函數(shù)設(shè)w(n)為某一窗函數(shù)，一般將h(n)表示為

h(n)=hd(n)wR(n)根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)，h(n)的頻譜函數(shù)可表示為7-317-32即FIR數(shù)字濾波器的頻譜函數(shù)是理想低通濾波器的頻譜與窗函數(shù)頻譜的卷積。采用不同的窗函數(shù)，對(duì)應(yīng)的H(ejω)有不同的形狀。2023/2/534幾種常用的窗函數(shù)

1．矩形窗(RectangleWindow)長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)定義為矩形窗wR(n)的頻譜為其中7-337-342023/2/535矩形窗幅度函數(shù)wR(ω)的圖形如圖7-13(b)所。ω從~之間的wR(ω)稱(chēng)為窗函數(shù)頻譜的主瓣，主瓣兩則呈衰減振蕩的部分稱(chēng)為旁瓣。圖7-13矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響2023/2/536理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可表示為Hd(ejω)=Hd(ω)e-jαω其幅度響應(yīng)Hd(ω)為由式(7-32)知，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)表示為

因此FIR數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)為7-352023/2/537圖7-13矩形窗對(duì)理想低通幅度特性的影響2023/2/538通過(guò)以上分析可知，對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點(diǎn)：⑴在理想特性不連續(xù)點(diǎn)ω=ωc附近形過(guò)渡帶。過(guò)濾帶的寬度，近似等于WR(ω)主瓣寬度，即4π/N。⑵通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在ω=ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中波動(dòng)的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)。WR(ω)波動(dòng)愈快(N加大時(shí))，通帶、阻帶內(nèi)波動(dòng)愈快，WR(ω)旁瓣的大小直接影響H(ω)波動(dòng)的大小。以上兩點(diǎn)就是對(duì)hd(n)用矩形窗截?cái)嗪螅陬l域的反映,稱(chēng)為吉布斯效應(yīng)。這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能。2023/2/539直觀上，增加矩形窗口的寬度，即加大N，可以減少吉布斯效應(yīng)的影響。下面分析一N加大時(shí)，WR(ω)的變化。在主瓣附近，按照(7-34)式WR(ω)可近似為該函數(shù)的性質(zhì)是隨x加大(N加大)，主瓣幅度加高，同時(shí)旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變；另一方面，波動(dòng)的頻率加快，當(dāng)x→∞(N→∞)時(shí)，sinx/x趨近于δ函數(shù)，因此，當(dāng)N加大時(shí)，H(ω)的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，帶內(nèi)最大肩峰比H(0)高8.95％，阻帶最大負(fù)峰比零值超過(guò)8.95％，使阻帶最小衰減只有21dB。N加大帶來(lái)的最大好處就是H(ω)過(guò)濾帶變窄(過(guò)濾帶近似為4π/N)。2023/2/540因此加大N并不是減少吉布斯效應(yīng)的有效方法。圖7-14給出了矩形窗的幅度響應(yīng)，最大旁瓣比直流幅值低13dB，由矩形窗得到的低通濾波器，其通帶和阻帶增益之差約為21dB，如圖7-15。

圖7-14矩形窗幅度響應(yīng)圖7-15矩形窗得到的濾波器形狀2023/2/541以上分析說(shuō)明，調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可以有效地控制過(guò)濾帶的寬度。而減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決方法。如果能找到窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度就變小了；旁瓣的減少可使通帶、阻帶波動(dòng)減少，從而加大阻帶衰減。

但這樣總是以加寬過(guò)濾帶為代價(jià)的。下面介紹其他的窗函數(shù)。其包絡(luò)形狀如圖7-16。2023/2/542圖7-16幾種窗函數(shù)的包絡(luò)形狀2．巴特利特窗(BartlettWindow)(三角形窗)7-362023/2/5437-37其主瓣寬度為8π/N，第一副瓣比主瓣低26dB。3.漢寧窗(HanningWindow)(升余弦窗)0≤n≤N-1

或?qū)㈩l率響應(yīng)寫(xiě)成W(ejω)=W(ω)e-jωα，利用序列的傅里葉變換的調(diào)制性質(zhì)，由式(7-39)可得出漢寧窗的頻譜幅度函數(shù)為7-387-397-402023/2/544因此可以認(rèn)為漢寧窗的頻譜由圖7-17所示的3部分組成，3部分頻譜相加的結(jié)果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣內(nèi)，代價(jià)是使主瓣的寬度加大了一倍，為8π/N。

(a)(b)圖7-17漢寧窗的頻譜漢寧窗的旁瓣比直流幅度小31dB，濾波器的設(shè)計(jì)具有較好的阻帶衰減。用漢寧窗設(shè)計(jì)的低通FIR濾波器幅度響應(yīng)，最大旁瓣的阻帶增益比通帶增益低44dB，而用矩形窗時(shí)僅為21dB。2023/2/5454.哈明窗(HammingWindow)(改進(jìn)的升余弦窗)

對(duì)升余弦加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為(當(dāng)N>>1)

7-417-42結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8π/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗設(shè)計(jì)的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益低55dB。如圖7-19所示。2023/2/5465.布萊克曼窗(BlackmanWindow)(二階升余弦窗)為了更進(jìn)一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到布萊克曼窗其頻譜的幅度函數(shù)為7-437-44其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的WR(ω)函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。2023/2/547圖7-18給出了當(dāng)N=51時(shí)五種窗函數(shù)的幅度譜?？梢钥闯?，隨著旁瓣的減小，主瓣寬度相應(yīng)增加了。圖7-19則是利用這五種窗函數(shù)對(duì)同一技術(shù)指標(biāo)(N=51，截止頻率ωc=0.5π)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度響應(yīng)。

(a)矩形窗(a)矩形窗圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)2023/2/548圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)(b)巴特列特窗(b)巴特列特窗(c)漢寧窗(c)漢寧窗

2023/2/549圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)(d)哈明窗(d)哈明窗(e)布萊克曼窗(e)布萊克曼窗

2023/2/550用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通FIR濾波器現(xiàn)在把用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟歸納如下⑴給出希望設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)；若所給指標(biāo)為邊界頻率和通帶、阻帶衰減，可選理想濾波器作逼近函數(shù)。⑵計(jì)算以下積分，求出hd(n)7-47為保證線性相位，取α=(N-1)/2⑶根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)，選擇窗函數(shù)的形狀，可查表7-42023/2/551根據(jù)允許的過(guò)渡帶寬度Δω，選定N值。由Δω=A/N可得7-48式中，A取決于所選定的窗函數(shù)，也可查表7-4得到。⑷將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)h(n)=hd(n)w(n)7-49⑸計(jì)算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗(yàn)證是否達(dá)到所要求的指標(biāo)由H(ejω)計(jì)算幅度響應(yīng)H(ω)和相位響應(yīng)θ(ω)。7-502023/2/552在實(shí)際設(shè)計(jì)中，有許多具體問(wèn)題要處理。盡管窗函數(shù)法由于有明顯的優(yōu)點(diǎn)而受到重視，但是，以下兩個(gè)原因使它的應(yīng)用受到限制。其一，很難準(zhǔn)確控制濾波器的通帶邊緣；其二，若Hd(ejω)不能用簡(jiǎn)單函數(shù)表示，則計(jì)算式(7-47)的積分非常困難。第一個(gè)問(wèn)題只有通過(guò)多次設(shè)計(jì)來(lái)解決。理想低通濾波器的截止頻率ωc，由于窗函數(shù)主瓣的作用而產(chǎn)生過(guò)濾帶。出現(xiàn)了通帶截止頻率ω1和阻帶截止頻率ω2。在ω1和ω2處的衰減是否滿(mǎn)足通帶和阻帶的要求，也就是ω1和ω2是否就是所需要的通帶和阻帶的截止頻率，這是不一定的。為了得到滿(mǎn)意的結(jié)果，不得不假設(shè)不同的ωc進(jìn)行多次設(shè)計(jì)。2023/2/553第二個(gè)問(wèn)題的解決辦法是用求和來(lái)代替積分。由式(7-47)知若以Hd(ejω)ejωn在的M個(gè)點(diǎn)上的值之和代替上式中的積分，則有上式表明實(shí)際上等效于序列的M點(diǎn)IDFT。根據(jù)頻率取樣的討論可知，與hd(n)有如下的關(guān)系7-517-52因此，當(dāng)M>>N時(shí)，在窗口范圍內(nèi)能很好地逼近hd(n)。2023/2/554例7-3

設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為Ωs=2π×1.5×104(rad/sec)，模擬低通通帶截止頻率為Ωp=2π×1.5×103(rad/sec)，阻帶起始頻率為Ωst=2π×3×103(rad/sec)，阻帶衰減不小于-50dB。幅度特性如圖7-20所示。圖7-20要求的模擬低通濾波器的特性2023/2/555解：本題要求設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字的FIR低通濾波器,來(lái)模仿模擬濾波器，達(dá)到模擬濾波器的指標(biāo)。所以在設(shè)計(jì)前要先將模擬的邊界頻率轉(zhuǎn)為數(shù)字邊界頻率，轉(zhuǎn)換公式為⑴計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率通帶截止頻率為阻帶起始頻率為阻帶衰減相當(dāng)于δ2=50dB⑵設(shè)Hd(ejω)為理想線性相位低通濾波器2023/2/556首先由所需低通濾波器的過(guò)渡帶求理想低通濾波器的截止頻率Ωc

其對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為由此可得其中，τ為線性相位所必須的移位，根據(jù)7-1節(jié)的討論知道應(yīng)滿(mǎn)足τ=(N-1)/2。2023/2/557⑶由阻帶衰減δ2來(lái)確定窗形狀，由過(guò)渡帶寬確定N

由于δ2=50dB，查表7-3可選哈明窗，其阻帶最小衰減-50dB滿(mǎn)足要求。所要求的過(guò)渡帶寬(數(shù)字頻域)Δω=ωst-ωp=0.2π,因哈明窗過(guò)渡帶寬滿(mǎn)足Δω=6.6π/N，所以取N=41，則⑷由哈明窗表達(dá)式w(n)確定FIR濾波器的h(n)。哈明窗為2023/2/558所以⑸由h(n)求H(ejω)檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿(mǎn)足要求，如不滿(mǎn)足要求要改變N，或改變窗形狀(或兩者都改變)來(lái)重新計(jì)算H(ejω)的圖形已畫(huà)在圖7-21上，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。2023/2/559圖7-21例7-3設(shè)計(jì)出的線性相位FIR低通濾波器幅頻特性2023/2/560線性相位FIR高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的定義參看第六章圖6-2。利用奇對(duì)稱(chēng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)(見(jiàn)表7-2)還可以設(shè)計(jì)90°移相位(或稱(chēng)離散希爾伯特變換器)以及幅度響應(yīng)與ω成線性關(guān)系的線性差分器。1.線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì)按指標(biāo)要求的理想線性相位高通濾波器的頻率響應(yīng)為7-53其中τ=(N-1)/2，它的單位脈沖響應(yīng)為2023/2/5617-54選定窗w(n)即可得所需線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)選用哪一種窗函數(shù)和阻帶衰減有關(guān)，而時(shí)域窗的點(diǎn)數(shù)N則和過(guò)渡帶寬有關(guān)h(n)=hd(n)w(n)2023/2/562但是由表7-2看出，無(wú)固定相移時(shí)只能采用偶對(duì)稱(chēng)單位脈沖響應(yīng)，另外，對(duì)高通濾波器來(lái)說(shuō)N只能取奇數(shù)，因?yàn)镹為偶數(shù)H(ω)在ω=π處為0，不能做為高通濾波器。求出h(n)后，可求H(ejω)，以此檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足指標(biāo)要求，否則要重新設(shè)計(jì)，這和低通濾波器的討論一樣。2．線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì)理想線性相位帶通濾波器的頻率響應(yīng)為7-55其中τ=(N-1)/2。此濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為2023/2/5637-56這里，當(dāng)ω1=0，ω2=ωc時(shí)，即為理想線性相位低通濾波器。當(dāng)ω2=π，ω1=ωc時(shí)，即為理想線性相位高通濾波器。后續(xù)設(shè)計(jì)步驟與FIR低通濾波器相同。3.線性相位FIR數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)2023/2/564帶阻濾波器的設(shè)計(jì)與帶通濾波器的設(shè)計(jì)步驟完全相同，只是理想頻率特性有所不同。7-57其中τ=(N-1)/2。同樣可得7-582023/2/565線性相位FIR帶阻濾波器只能采用偶對(duì)稱(chēng)單位脈沖響應(yīng)，N等于奇數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)，道理與討論高通濾波器是一樣的。由理想濾波器的低通公式、高通公式、帶通公式以及帶阻公式可以看出⑴一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器⑵一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減，其中一個(gè)截止頻率為ω2，另一個(gè)截止頻率為ω1，即7-592023/2/566⑶一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器(截止頻率為ω1)加上一個(gè)高通濾波器(截止頻率為ω2)，即7-60上述關(guān)系也可作為高通、帶通和阻帶濾波器的設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)法的特點(diǎn)

采用窗函數(shù)法，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，方便，也實(shí)用，但要求用計(jì)算機(jī)；且邊界頻率不易控制。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。但一般技術(shù)指標(biāo)是在頻域給出的。因此，下面介紹的頻率采樣法更為直接，尤其對(duì)于Hd(ejω)公式比較復(fù)雜，或Hd(ejω)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時(shí)，頻率采樣設(shè)計(jì)法更為方便、有效。2023/2/5677.4利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理

待設(shè)計(jì)的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ejω)表示，可按下列思路進(jìn)行設(shè)計(jì)：⑴對(duì)它在ω=0到2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到Hd(k)⑵對(duì)N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)式中，h(n)作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣響應(yīng)。7-627-612023/2/568⑶由h(n)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)7-63以上是用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。另外在第三章3.4節(jié)學(xué)習(xí)了頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號(hào)的z變換公式(3-60~61)式,式中X(k)和X(z)在這里應(yīng)改為Hd(k)和H(z)，將插值公式重寫(xiě)如下7-64此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，式(7-63)和(7-64)都屬于用頻率采樣法設(shè)計(jì)的濾波器，(7-63)式適合FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，(7-64)式適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。2023/2/569實(shí)際濾波器的傳輸函數(shù)，與理想的傳輸函數(shù)Hd(ejω)間存在誤差，如圖7-28，需要討論逼近誤差問(wèn)題及其改進(jìn)措施。圖7-28頻率采樣的響應(yīng)2023/2/570用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件這里只討論第一類(lèi)線性相位問(wèn)題，第二類(lèi)線性相位問(wèn)題可按類(lèi)似方法處理。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿(mǎn)足h(n)=h(N–1–n)，參看表7-2中情況1和情況2，已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是且Hg(π)=0

7-657-667-677-68對(duì)Hd(ejω)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣得到Hd(k)，則Hd(k)也必須具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)經(jīng)過(guò)IDFT得到的h(n)具有偶對(duì)稱(chēng)性，達(dá)到線性相位的要求2023/2/571在ω=0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)將ω=ωk代入(7-65)~(7-68)式中，并寫(xiě)成k的函數(shù)N=奇數(shù)

N=奇數(shù)，且

(7-69)~(7-72)就是頻率采樣值滿(mǎn)足線性相位的條件,說(shuō)明N等于奇數(shù)時(shí)Hg(k)對(duì)(N–1)/2偶對(duì)稱(chēng)，N等于偶數(shù)時(shí),Hg(k)對(duì)N/2奇對(duì)稱(chēng)，且Hg(N/2)=0。7-697-707-717-722023/2/572設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點(diǎn)數(shù)N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計(jì)算N=奇數(shù)時(shí)N=偶數(shù)時(shí)7-737-742023/2/573上面公式中的kc是小于等于ωcN/(2π)的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。逼近誤差及其改進(jìn)措施1.產(chǎn)生誤差的原因從圖7-28可看出，實(shí)際的H(ejω)與理想的Hd(ejω)相比，誤差主要體現(xiàn)在一是通帶和阻帶出現(xiàn)波動(dòng)，二是過(guò)渡帶加寬，與窗函數(shù)設(shè)計(jì)法情況類(lèi)似，產(chǎn)生誤差的原因可從時(shí)域和頻域兩方面進(jìn)行分析。從時(shí)域分析：如果Hd(ejω)有間斷點(diǎn)，那么相應(yīng)單位取樣響應(yīng)hd(n)應(yīng)是無(wú)限長(zhǎng)的。這樣，由于時(shí)域混疊，引起所設(shè)計(jì)的h(n)和hd(n)有偏差。為此，希望在頻域的采樣點(diǎn)數(shù)N加大。N愈大，設(shè)計(jì)出的濾波器愈逼近待設(shè)計(jì)的濾波器Hd(ejω)。2023/2/574從頻域分析

在采樣點(diǎn)ω=2πk，k=0,1,2,…,N-1,Ф(ω-2πk/N)=1，因此，采樣點(diǎn)處H(ejωk)

(ωk=2πk/N)與H(k)相等，逼近誤差為0。在采樣點(diǎn)之間，H(ejω)由有限項(xiàng)的H(k)Ф(ω-2πk/N)之和形成。其誤差和Hd(ejω)特性的平滑程度有關(guān)，特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈??；特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差最大。表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)用傾斜線取代，且間斷點(diǎn)附近形成振蕩特性，使阻衰減減小，往往不能滿(mǎn)足技術(shù)要求。2023/2/5752.減小誤差的方法

最直觀的想法是增加采樣點(diǎn)數(shù)，即加大N值，由于過(guò)渡帶就等于采樣間隔(參看圖7-28)，即7-76所以加大N，可使過(guò)渡帶變窄，但增加要適當(dāng)，否則會(huì)增加濾波器體積與成本。但是，增加N并不會(huì)改善濾波器的阻帶衰減特性，因?yàn)镠d(ejω)是理想矩形,無(wú)論怎樣增多頻率采樣的點(diǎn)數(shù)，在通、阻帶交界處，幅值總是從1突變到0，會(huì)引起較大的起伏振蕩。為使逼近誤差更小，和窗口法的平滑截?cái)嘁粯?，通過(guò)在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)的邊緣上加一些過(guò)渡的抽樣點(diǎn)，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。2023/2/576一般過(guò)渡帶取一、二、三點(diǎn)抽樣值即可得到滿(mǎn)意結(jié)果。如在低通設(shè)計(jì)中，不加過(guò)渡點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為-20dB，加三個(gè)過(guò)渡點(diǎn)(最優(yōu)設(shè)計(jì))則可達(dá)-80dB到-95dB左右。加過(guò)渡點(diǎn)的示意如圖7-29所示。

(a)(b)(c)增加過(guò)度點(diǎn)，可使阻帶衰減明顯提高，但付出的代價(jià)是過(guò)渡帶加寬，可通過(guò)下式加大N來(lái)調(diào)整。圖7-29理想低通濾波器增加過(guò)渡點(diǎn)m=0，1，2，3…

7-772023/2/577頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟可參閱7.4.1的基本原理，此外，設(shè)計(jì)關(guān)鍵是(1)根據(jù)阻帶衰減要求，確定過(guò)渡點(diǎn)數(shù)，并優(yōu)化過(guò)渡點(diǎn)值;(2)根據(jù)過(guò)渡帶要求，確定采樣點(diǎn)數(shù)N，由式(7-77)7-78頻率采樣法的特點(diǎn)

頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器最大的優(yōu)點(diǎn)是直接從頻率域進(jìn)行設(shè)計(jì)，比較直觀，也適合于設(shè)計(jì)具有任意幅度特性的濾波器。但邊界頻率不易控制。如果增加采樣點(diǎn)數(shù)N，對(duì)確定邊界頻率有好處，但會(huì)增加濾波器的成本。因此，它適合于窄帶濾波器的設(shè)計(jì)。2023/2/578例7-6利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器，要求截止頻率ωc=π/2rad，采樣點(diǎn)數(shù)N=33，選用h(n)=h(N–1–n)情況。解用理想低通作為逼近濾波器。因N為奇數(shù)，按照(7-73)式Hg(k)=Hg(33-k)=1，k=0，1，2，…，8

Hg(k)=0，k=9，10，…，23，24

θ(k)=-

32πk/33，k=0，1，2，…，32

其中，取kc=8。理想低通幅度特性采樣情況如圖7-31所示2023/2/579圖7-31例7-6對(duì)理想低通進(jìn)行采樣將采樣得到的H(k)=Hg(k)ejθ(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)，計(jì)算其頻響，其幅度特性如圖7-32(a)所示。為加大阻帶衰減，可增加一個(gè)過(guò)渡點(diǎn)，在k=9處，令Hg(9)=0.5，結(jié)果得到的濾波器幅度特性如圖7-32(b)所示如果改變Hg(9)=0.3904,其幅度特性如圖7-32(c)所示，阻帶最小衰減可達(dá)40dB。因此，這種用加寬過(guò)渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。2023/2/580圖7-32例7-6的幅度特性

(c)

(b)(a)2023/2/5817.5用等波紋逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)計(jì)

加權(quán)切比雪夫等波紋逼近

1.切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)所要求的濾波器的幅度函數(shù)為Hd(ω)，用線性相位四種FIR濾波器之一的幅度函數(shù)Hg(ω)做逼近函數(shù)，設(shè)逼近誤差的加權(quán)函數(shù)為W(ω)，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為E(ω)=W(ω)[Hd(ω)-Hg(ω)]7-79由于不同頻帶中誤差函數(shù)[Hd(ω)-Hg(ω)]的最大值不一樣，故不同頻帶中W(ω)值可以不同，使得在各頻帶上的加權(quán)誤差E(ω)要求一致(即最大值一樣)。設(shè)計(jì)過(guò)程中W(ω)為已知函數(shù)。2023/2/582為設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿(mǎn)足一定條件。假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(N–1–n)，N=奇數(shù)情況，由表7-2情況1可知將Hg(ω)代入(7-79)式，則7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問(wèn)題是選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E(ω)的最大值為最小，即式中A表示所研究的頻帶，這里指通帶或阻帶。2023/2/583式(7-80)，是一個(gè)由M次多項(xiàng)式，根據(jù)上面提出的準(zhǔn)則逼近一連續(xù)函數(shù)的問(wèn)題。切比雪夫理論指出這個(gè)多項(xiàng)式存在且唯一，并指出構(gòu)造該多項(xiàng)式的方法是“交錯(cuò)點(diǎn)組定理”。該定理提出最佳一致逼近的充要條件是E(ω)在A上至少呈現(xiàn)M+2個(gè)“交錯(cuò)”，使得按照該準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的濾波器通帶或組帶具有等波動(dòng)性質(zhì)2.利用最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器

2023/2/