第9章 平面連桿機構(gòu)的動力分析與平衡

第九章平面連桿機構(gòu)的動力分析與平衡機構(gòu)的動力分析是在機構(gòu)運動分析的基礎(chǔ)上，研究機構(gòu)運動與作用力之間的關(guān)系。研究內(nèi)容主要包括運動副約束反力確定，加在輸入或輸出構(gòu)件上的平衡力矩或平衡力計算，機構(gòu)總慣性力和慣性力矩的平衡。機構(gòu)動力分析的方法，一般是按達倫伯原理將慣性力作為虛擬外力加在有加速度的構(gòu)件上，進行所謂的動態(tài)靜力分析，具體方法有圖解法和解析法兩種，這里以解析法為主，首先介紹平面連桿機構(gòu)動態(tài)靜力分析的基本思路，然后介紹機構(gòu)的慣性力和慣性力矩的平衡原理及具體措施。9-1平面連桿機構(gòu)的動態(tài)靜力分析機構(gòu)的動態(tài)靜力分析，主要是對機構(gòu)中每個構(gòu)件進行力分析，列出力平衡方程式，通過各構(gòu)件間聯(lián)立的線性方程組進行求解。以曲柄搖桿機構(gòu)為例，介紹具體的分析過程。圖示曲柄搖桿機構(gòu)，已知各構(gòu)件的長度，質(zhì)量，轉(zhuǎn)動慣量，質(zhì)心位置，加在輸入構(gòu)件上的驅(qū)動力矩，加在輸出構(gòu)件上的生產(chǎn)阻力矩。求各運動副反力及與的關(guān)系。分析過程：（1）各構(gòu)件質(zhì)心處的慣性力表示為：用沿x、y軸的分量表示為：各構(gòu)件繞質(zhì)心軸慣性力矩：（2）以各構(gòu)件為對象，進行受力分析，畫受力圖（3）列力平衡方程：構(gòu)件1：構(gòu)件2：構(gòu)件3：上述共9個方程，可解9個未知數(shù)上述9個方程都是線性的，所以可以求解。先由（2）、（3）求得：再由式（1）求得：該機構(gòu)通過固定鉸鏈A、D作用于機架上的力為：由此可知：機構(gòu)作用于機架上的力，僅與各構(gòu)件產(chǎn)生的慣性力有關(guān)，其大小為各活動構(gòu)件的慣性力總和，平衡起來相對容易。如果用于驅(qū)動機構(gòu)的電機與機構(gòu)裝在同一機架上，則機構(gòu)通過固定鉸鏈加于機架上的各力以及電機的反座力矩共同構(gòu)成了整個機構(gòu)對參考點的擺動力矩（也稱慣性力矩），若選上圖中的o點為參考點，則：由此可見：機構(gòu)作用于機架上的擺動力矩，不僅要考慮機構(gòu)的驅(qū)動力矩或生產(chǎn)阻力矩，同時它在機構(gòu)的運動過程中隨時間而不斷變化，因此想對其進行完全平衡非常困難。9-2平面連桿機構(gòu)的平衡平面連桿機構(gòu)的平衡，主要是指機構(gòu)總慣性力和總慣性力矩的平衡。我們在《機械原理》課程中詳細研究了轉(zhuǎn)子的平衡問題，知道轉(zhuǎn)子的平衡可以通過調(diào)整轉(zhuǎn)子本身的質(zhì)量分布，使轉(zhuǎn)子的中心主慣性軸與轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)軸線重合，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的慣性力和慣性力矩為零的目的。但在平面連桿機構(gòu)中，除了作定軸轉(zhuǎn)動的構(gòu)件外，還有作平面復雜運動的連桿，以及作往復運動的滑塊。這類構(gòu)件的質(zhì)心位置及其質(zhì)心加速度時刻在變化，因此，構(gòu)件的慣性力和慣性力矩也是變化的，不能靠構(gòu)件自身的平衡實現(xiàn)整個機構(gòu)的平衡。但是，可以通過構(gòu)件的質(zhì)量調(diào)節(jié)來調(diào)整機構(gòu)中各構(gòu)件的質(zhì)心位置，使機構(gòu)的總質(zhì)心位于機架上，從而實現(xiàn)把慣性力和慣性力矩調(diào)整到機架上的目的。所以，機構(gòu)平衡的實質(zhì)是：調(diào)整各構(gòu)件的質(zhì)心位置，使機構(gòu)總質(zhì)心位于機架上。機構(gòu)的慣性力和慣性力矩的完全平衡，從理論上是可以做到的，但往往會造成機構(gòu)過于復雜或體積過于龐大而影響實際的工程應(yīng)用，機構(gòu)的平衡從實用角度上常進行慣性力和慣性力矩的部分平衡。一、平面機構(gòu)的平衡原理１、平面機構(gòu)平衡的基本條件以平面曲柄滑塊機構(gòu)為例：①機構(gòu)總質(zhì)心位置為：其中為構(gòu)件ｉ的質(zhì)心坐標，為構(gòu)件ｉ的質(zhì)量，為活動構(gòu)件總質(zhì)量。②機構(gòu)總慣性力和慣性力矩總慣性力：用分量表示為：總慣性力矩：③平衡條件：（1）對于單自由度平面機構(gòu)而言。若原動件轉(zhuǎn)角參數(shù)為。則各構(gòu)件質(zhì)心位置應(yīng)為的函數(shù)，表示為：則同理可以求出形式同上代入方程（1），得：要滿足任意的和，上式成立，只有滿足下式：而滿足時，一定滿足，且同理可得：因此，機構(gòu)的平衡條件是：慣性力平衡條件，也即機構(gòu)總質(zhì)心位于一固定點忽略各構(gòu)件自身慣性力矩時的慣性力矩平衡條件二、機構(gòu)平衡方法（1）加配重法（目的是調(diào)整機構(gòu)的總質(zhì)心位置）如：（2）采用機構(gòu)的特殊布置機構(gòu)關(guān)于y軸對稱，消除x方向的慣性力，但增加了y方向的慣性力，減小慣性力矩。機構(gòu)關(guān)于坐標原點對稱，消除x、y方向的慣性力，但產(chǎn)生了慣性力矩。機構(gòu)關(guān)于坐標原點對稱，且圍繞原點均布錯位排列，可完全消除機構(gòu)的慣性力和慣性力矩。（3）加裝平衡機構(gòu)（3）組合方法平衡9-3配重法進行機構(gòu)慣性力的平衡一、機構(gòu)慣性力的完全平衡確定配重的方法有：質(zhì)量替代法、線性獨立向量法等。1、質(zhì)量替代法所謂質(zhì)量替代法，就是將構(gòu)件的質(zhì)量簡化成幾個集中質(zhì)量。簡化的條件是使簡化前后的力學效應(yīng)相同，即：（1）所有替代質(zhì)量之和與原構(gòu)件質(zhì)量相等，用公式表示：

（2）所有替代質(zhì)量的總質(zhì)心與原構(gòu)件的質(zhì)心重合：（3）所有替代質(zhì)量對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量與原構(gòu)件對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量相同。同時滿足上述三個條件的質(zhì)量替代，稱質(zhì)量動替代。此時替代質(zhì)量產(chǎn)生的總慣性力和慣性力矩都與原構(gòu)件相同。只滿足前兩個替代條件的，稱質(zhì)量靜替代。此時替代質(zhì)量產(chǎn)生的總慣性力與原構(gòu)件相同，但慣性力矩不同。

質(zhì)量替代到底選用幾個替代質(zhì)量，又放置何處？工程實際中常選用2-3個，且替代點選在運動簡單且運動容易確定的點上（如構(gòu)件的運動副處）。兩點替代的兩種結(jié)果：設(shè)構(gòu)件AB長度為l，質(zhì)量為m，質(zhì)心位于S點。若選A點為其中之一替代點，則另一替代點K必位于AS的連線上。由三個替代條件得：解得由上式可知：兩點動替代時，當選定一個替代點A后，另一個替代點K也隨之確定，不能自由選擇。①兩點動替代②兩點靜替代由于靜替代條件比動替代條件少一個方程，即：上述方程中含有三個待定量，所以可以預(yù)先選定一個，通常選定另一個替代點K的位置（如桿的另一端點B）這時可求得：上述兩種替代的區(qū)別不言而喻。在平面機構(gòu)的慣性力平衡設(shè)計中，兩點靜替代更為實用和方便。下面以平面鉸鏈四桿機構(gòu)為例，介紹其具體應(yīng)用。設(shè)活動構(gòu)件1、2、3的質(zhì)量分別為m1、m2、m3，其質(zhì)心分別位于S1、S2、S3點。為了完全平衡該機構(gòu)的慣性力，將各活動構(gòu)件的質(zhì)量用質(zhì)量靜替代的方法代換到各桿兩端的轉(zhuǎn)動副處。于是有：由此可得：A、B、C、D四點的替代質(zhì)量分別為：其中，A、D兩點的替代質(zhì)量在機構(gòu)運動的過程中不會產(chǎn)生慣性力（因為A、D在機架上），只有B、C兩點的替代質(zhì)量會產(chǎn)生慣性力。慣性力的平衡方法：分別在AB、CD的反向延長線上加配重mE1、mE3，使mE1與mB合成后的質(zhì)量位于A點，mE3與mC合成后的質(zhì)量位于D點。機構(gòu)平衡后的總質(zhì)量可用位于A、D兩點的集中質(zhì)量來代替，其中：機構(gòu)的總質(zhì)心位于AD連線上的S點，且由于S點在機架AD上

，所以aS=0，機構(gòu)的慣性力得到了完全平衡。AD對于曲柄滑塊機構(gòu)，也可用同樣的方法進行平衡?；瑝K3的質(zhì)量m3看成集中作用于C點，則機構(gòu)的總質(zhì)量可看成位于A、B、C三點的替代質(zhì)量mA、mB、mC組成，且：A點的質(zhì)量mA不產(chǎn)生慣性力，機構(gòu)的慣性力由mB

、mC

產(chǎn)生，為了平衡慣性力，先在BC的反向延長線上加一配重mE2，使mE2與mC的合成結(jié)果位于B點，則有：這樣，B點的集中替代質(zhì)量為：mB總=mB+mC+mE2。再在在AB的反向延長線上加一配重mE1，使mE1與mB總的合成結(jié)果位于A點，且最后機構(gòu)的總質(zhì)心位于A點?？傊?，上述平衡方法，雖然從理論上可以使機構(gòu)的慣性力得到完全的平衡，但是也存在明顯的缺陷：需要在機構(gòu)的適當位置添加配重，且不止一個，從而使機構(gòu)的總質(zhì)量大大增加，尤其對曲柄滑塊機構(gòu)而言，有一配重需加在作平面運動的連桿上，這對機構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計非常不利。因此，工程實際中，設(shè)計者寧愿采用慣性力的部分平衡來減小慣性力的不良影響，而不采用慣性力的完全平衡來犧牲產(chǎn)品結(jié)構(gòu)。二、機構(gòu)慣性力的部分平衡以曲柄滑塊機構(gòu)為例：用質(zhì)量替代法將m1、m2、m3代換到A、B、C三點，得質(zhì)量mB產(chǎn)生的慣性力可在AB的反向延長線上加配重mE1加以完全平衡，且質(zhì)量mC作往復直線移動，由機構(gòu)運動學分析可知：C點的加速度aC的表達式為：將上式用傅里葉級數(shù)展開，并取前兩項，得aC的簡單表達式為：故mC所產(chǎn)生的往復慣性力為：稱“一階慣性力”稱“二階慣性力”若舍去較小的二階慣性力，只考慮一階慣性力，則：為了平衡FC，可在E處再加一配重mE2，將mE2所產(chǎn)生的慣性力分解，得兩分力為：（1）（2）比較式（1）和（2），可知：若，則Fx=-FC，即Fx可將mC所產(chǎn)生的一階水平慣性力完全平衡，但新增了豎直方向的慣性力Fy，它對機構(gòu)也會產(chǎn)生不利影響，因此，為了減小這種影響，通常?。悍Q“平衡系數(shù)”即這樣只平衡一部分水平慣性力，又不至于使豎直慣性力過大，且結(jié)構(gòu)緊湊。9-4線性獨立向量法簡介*質(zhì)量替代法適用于構(gòu)件質(zhì)心位于構(gòu)件運動副連線上的機構(gòu)平衡。如果構(gòu)件質(zhì)心位于構(gòu)件上的一般位置，那么兩點替代會很麻煩，而采用線性獨立向量法則更為方便易行。線性獨立向量的基本思想：把所有構(gòu)件的質(zhì)心位置和機構(gòu)的總質(zhì)心位置用矢量進行表示，列出機構(gòu)慣性力完全平衡的矢量方程，求解各構(gòu)件應(yīng)加配重的大小及方位。一、鉸鏈四桿機構(gòu)的慣性力完全平衡設(shè)活動構(gòu)件1、2、3的質(zhì)心分別位于S1、S2、S3點，對應(yīng)向量用R1、R2、R3表示，它們與x軸正向的夾角用1、2、3表示。機構(gòu)慣性力完全平衡的矢量方程為：（1）用復數(shù)矢量表示上式為：其中：將上述三式代入式（1），得：式中1、2、3非線性獨立，必須滿足方程（2）（3）聯(lián)立求解式（2）、（3），得：（4）將代入式（4），得：滿足上式的條件為：上式對機構(gòu)的活動構(gòu)件1、2、3的質(zhì)量及質(zhì)心位置提出了嚴格要求。如果機構(gòu)不滿足上述要求，可以其中一個構(gòu)件的質(zhì)量及質(zhì)心位置為基礎(chǔ)（通常選連桿），在另外兩構(gòu)件上加合適配重，配重的大小和方位可根據(jù)下面的分析進行求解。設(shè)構(gòu)件2的質(zhì)量和質(zhì)心位置已知，即m2、r2、2、2′已知。構(gòu)件1、3的原始參數(shù)為m10、r10、10、m30、r30、30，應(yīng)加配重的大小和方位分別為