第一章離散時間信號與系統(tǒng)

數(shù)字信號處理課件第一章朱韻茹第一章離散的時間信號與系統(tǒng)1-1離散時間信號1-2離散時間系統(tǒng)1-3線性時不變系統(tǒng)的差分方程描述1-4連續(xù)時間信號的數(shù)字處理

1.1.1離散時間信號及其時域表示

1-1離散時間信號離散時間信號

在物理上是指定義在離散時間上的信號樣品的集合，在數(shù)學(xué)上可用時間序列{x(n)}來表示。樣品集合可以是本來就存在的，也可以是由模擬信號通過采樣得來的或者是用計算機(jī)產(chǎn)生的

x(n)代表序列的第n個樣點的數(shù)字，n代表時間的序號。離散時間信號的時域表示

*

表示離散時間信號的方法可采用枚舉的方式。例如{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，…}箭頭表示時間的零點位置*離散信號也可用公式表示例如*離散信號還可用圖形的方式表示圖中橫坐標(biāo)n表示離散的時間坐標(biāo)，且僅在n為整數(shù)時才有意義；縱坐標(biāo)代表信號樣點的值。許多時候為了方便，直接用x(n)來代表序列全體{x(n)}。本書中，離散時間信號與序列將不予區(qū)分。1-2-1012n-201mn1-1…

1.1.2一些常用序列1.單位脈沖序列2.單位階躍序列u(n)與u(n)

的關(guān)系...0123nu(n)13.矩形序列與u(n)的關(guān)系0123n14.復(fù)指數(shù)序列式中ω0為數(shù)字頻率將復(fù)指數(shù)表示成實部與虛部其示意圖如下：5.正弦序列正弦與余弦序列示意圖如下：

1.1.3序列的分類1、能量信號與功率信號序列能量E定義：

*平均功率定義：

能量為有限值，平均功率等于0的信號稱為能量信號。能量為無限值，平均功率為有限值的信號稱為功率信號。例1-1-3設(shè)離散信號x(n)的表達(dá)式為

x(n)=6(-1)nu(n)判斷信號是能量信號還是功率信號。解：信號的能量為可見信號的能量為無限的，但其功率為

若序列x(n)滿足：x(n)=x(n+N)，且N是使其成立的最小正整數(shù)，則稱序列x(n)為以N為周期的周期序列。

2、周期信號與非周期信號下圖為周期序列示意圖設(shè)x(n)=Asin(ω0n+φ)，那么

x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+φ+ω0N)如果x(n)=x(n+N)則要求N=(2π/ω0)k

，式中k,N均取整數(shù)，且k的取值保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。即：正弦序列不一定是周期序列。正弦序列有以下三種情況：當(dāng)2π／ω0為整數(shù)時，k=1,正弦序列是以2π／ω0周期的序列。當(dāng)2π／ω0不是整數(shù)時，是一個有理數(shù)時，設(shè)2π／ω0=P/Q，式中P、Q是互為素數(shù)的整數(shù)，取k=Q,那么N=P，則正弦序列是以P為周期的周期序列。2π／ω0不是有理數(shù)時，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時正弦序列不是周期序列。例1-1-2求x(n)=sin(4πn/3)的周期N。解：因為ω0n=4π/3，所以N=2kπ/ω0=

6k/4，取k=2，得到N的最小正周期數(shù)即x(n)的周期為N=3。

3、對稱信號與非對稱信號對稱信號：非對稱信號：

1.1.4序列的基本運算1.序列的加減序列的加減指將兩序列序號相同的數(shù)值相加減，即示例見下例：求z(n)=x(n)+y(n)解：…

z(2)=x(2)+y(2)

z(1)=x(1)+y(1)z(0)=x(0)+y(0)2.序列的乘積序列的乘積是指同序號的序列值對應(yīng)相乘。即示例見下

z(1)=x(1)·y(1)解：…

z(2)=x(2)·y(2)z(0)=x(0)·y(0)例：求z(n)=x(n)·y(n)

y(n)=x(n-n0)

n0<0左移，n0>0右移如圖：當(dāng)n0=3時3.序列的延時序列的延時是將序列全體在時間軸上移動。4.序列乘常數(shù)序列乘以常數(shù)指將序列的每一個值都乘以常數(shù)，即

y(n)=ax(n)序列的反褶指將序列以n=0為對稱軸進(jìn)行對褶。5.序列的反褶

y(n)=x(-n)如下圖所示：問題：已知x(n):畫出x(n-2),x(2-n)的圖形。6.序列的差分運算序列的差分運算指同一序列相鄰的兩個樣點之差，分為前向差分和后向差分。前向差分：后向差分：比較上面兩式，顯然有當(dāng)對序列進(jìn)行多次差分時，就變成高次差分。如二次差分7.序列的抽取與插值y(-1)=

x(-1·3)y(0)=

x(0·3)y(1)=

x(1·3)解：…

*序列的抽?。褐笇⒃瓉淼男蛄忻扛鬗個樣點保留一個樣點，去掉其中的M-1個樣點形成的新序列。

y(n)=x(nM)如圖所示，取M=3,則y(n)=

？其分解過程見下例*序列的插值：指在原來序列的每兩個樣點之間等間隔的插入L個新的樣點，從而變成一個具有更多樣點的新序列。分解過程如下：例1-1-1任意序列x(n)都可用單位脈沖序列表示成加權(quán)和的形式，即

1.1.5用單位脈沖序列表示任意序列如:可表示為例：思考：P25,習(xí)題1離散時間系統(tǒng)，是指將輸入序列變換成輸出序列的一種運算。用T[]表示變換關(guān)系，示意圖如下。

y(n)=T[x(n)]

1-2離散時間系統(tǒng)

1.2.1線性時不變系統(tǒng)則有若系統(tǒng)滿足疊加原理

*線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.線性性那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)。若系統(tǒng)變換關(guān)系不隨時間變化，亦即系統(tǒng)的輸出隨輸入的移位而相應(yīng)移位但形狀不變，稱作時不變系統(tǒng)。

2.時不變特性（或移不變特性）設(shè)y(n)=T[x(n)]

則有T[x(n-n0)]=y(n-n0)，n0為常數(shù)用公式表示例1-2-1證明以下系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng).證明：

線性性

設(shè)有序列x1(n)和x2(n)及常數(shù)a1和a2則有故知該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。時不變特性：由于在上式中令i=m-k，則上式右邊變?yōu)榭梢娤到y(tǒng)為時不變系統(tǒng)。討論的線性是不變性？

1.2.2線性時不變系統(tǒng)的基本元件線性時不變系統(tǒng)的由以下3個元件組成加法器，用于實現(xiàn)序列的加法運算，其圖形表示如圖a所示。2)系數(shù)乘法器，用于實現(xiàn)序列的乘以常數(shù)的運算，其圖形表示如圖b所示。3)延時器，用于實現(xiàn)序列的延時操作，其圖形表示如圖c所示。

*如下圖就是利用這些元件實現(xiàn)的一個簡單的線性時不變系統(tǒng)的框圖其數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(n)=x(n)+ay(n-1)若給線性移不變系統(tǒng)輸入單位脈沖δ(n)，則其輸出y(n)稱為單位抽樣響應(yīng)，常用h(n)表示，即

1.2.3單位脈沖響應(yīng)與線性時不變系統(tǒng)的卷積表示若已知系統(tǒng)的h(n)，對于任意的輸入x(n)，對于線性是不變系統(tǒng)而言，如何求其輸出y(n)？上式為x(n)與h(n)的線性卷積，它說明線性時不變系統(tǒng)的響應(yīng)等于輸入序列與單位脈沖響應(yīng)序列的卷積。一般用h(n)代表系統(tǒng)，示意圖如下*可交換性*結(jié)合性

1.卷積的性質(zhì)若有兩個級聯(lián)系統(tǒng)h1(n)和h2(n)，如圖所示，則有*分配性

若有兩個并聯(lián)系統(tǒng)h1(n)和h2(n)，如圖所示，則有以上兩圖中的系統(tǒng)分別等效

卷積的計算過程包括以下四個步驟：反褶,移位,相乘,求和2.卷積的運算反褶，先將x(n)和h(n)的變量n換成m，變成

x(m)和h(m)，再將h(m)以m=0為軸反褶成h(-m)。移位，將h(-m)移位n，變成h(n-m)，n為正數(shù)，右移n位，n為負(fù)數(shù)，左移n位。3)相乘，將h(n-m)與x(m)在相同的對應(yīng)點相乘。4)求和，將所有對應(yīng)點乘積累加起來，就得到n時刻的卷積值，對所有的n重復(fù)以上步驟，就可得到所有的卷積值y(n)。例1-2-2設(shè)求：下面舉例說明x(m)01231/213/2m012m1h(m)解：先給出x(m)和h(m)的圖形反褶

.以m=0為對稱軸，折疊h(m)得到h(0-m)x(m)01231/213/2m012m1h(m)-1012345y(n)n可見，當(dāng)n<1時，x(m)與h(n-m)無交疊，相乘處處為零，即y(n)=0，n<10mh(0-m)-2-1n=0反褶10mh(-1-m)-2-1n=-1左移-31可見當(dāng)1≤n≤2時，x(m)與h(n-m)有交疊，從m=1到m=n，即x(m)01231/213/2m移位得0mh(1-m)-1n=1右移0mh(2-m)2n=2右移111當(dāng)3≤n≤5時，x(m)與h(n-m)有交疊，上限為3，下限為n-2，即得x(m)01231/213/2m0mh(3-m)2n=3右移1310mh(4-m)2n=4右移13410mh(5-m)2n=5右移13451當(dāng)n>5時，x(m)與h(n-m)無交疊，相乘處處為零，即y(n)=0，n>5x(m)01231/213/2m012m1h(m)3456n>5右移綜上可得y(n)如下012345y(n)n1/23/235/23/2n<1,n>5時y(n)=0 若有限長序列x(n),y(n)長度分別為N1，N2，序列z(n)為x(n),y(n)的線性卷積序列，則z(n)的長度為N1＋N2－1若x(n)序列區(qū)間為：N1～N2若y(n)序列區(qū)間為：N3～N4問：z(n)序列區(qū)間為：？思考：P26，7

因果性是指系統(tǒng)在n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入，而與n時刻以后的輸入無關(guān)。

1.2.5系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性1.系統(tǒng)的因果性線性時不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=h(n)u(n)因果性說明了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。如果系統(tǒng)的輸出與將來的輸入有關(guān)，該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)，是不可實現(xiàn)的。

證明：充分性若n<0,h(n)=0，則利用卷積公式，對于任何輸入x(n)，其輸出為對某個時刻n0，其輸出y(n0)為

上式表明n0時刻的輸出y(n0)只與m≤n0的所有x(m)有關(guān)，而與m>n0的x(m)無關(guān)。因此，該系統(tǒng)為因果性系統(tǒng)。下面證明線性時不變因果系統(tǒng)的充要條件

必要性

：采用反證法。假定系統(tǒng)為因果性系統(tǒng)，但在n<0時h(n)≠0，按卷積公式，對于任何輸入x(n)，n0時刻的其輸出y(n0)為這樣，由于n<0時h(n)≠0，上式中右邊的第二項和式中至少有一項不為零，也就是說，n0時刻的輸出y(n0)與一個m>n0的x(m)有關(guān)，與系統(tǒng)是因果性系統(tǒng)的假設(shè)矛盾。因此必須有n<0時h(n)=0。證畢。2.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對于任何有界輸入，輸出也應(yīng)是有界的。通常稱這種穩(wěn)定性為有界輸入—有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為下面證明系統(tǒng)的穩(wěn)定條件證明：充分性

可見，輸入是有界時，輸出亦有界，因此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。必要性

采用反證法。

即對有界的輸入，輸出為無界，與系統(tǒng)穩(wěn)定性的假設(shè)矛盾。因此必須要有條件式。

例1-2-3

若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

h(n)=-anu(-n-1)，討論系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。解：因果性因在n<0時，h(n)≠0，故系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)穩(wěn)定性

思考：P26，6-3例：證明：1.若T1,T2是線性系統(tǒng)，則系統(tǒng)T也是線性系統(tǒng)；2.若T1,T2是時不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)也是時不變的；3.若T1,T2是因果系統(tǒng)，則系統(tǒng)也是因果系統(tǒng)；4.若T1,T2是穩(wěn)定系統(tǒng)，則系統(tǒng)也是穩(wěn)定系統(tǒng)

1-3時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法－－－－線性常系數(shù)差分方程

1.3.1差分方程描述其中ai、bi都是常數(shù)。離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途：①由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：例：用途一，由一階差分方程畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

y（n）=ay（n-1）+x（n）由此得到它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖Da網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)用途二在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的方法求系統(tǒng)瞬態(tài)解例，一階差分方程系統(tǒng)：其輸入為解：①初始條件為y（n）=0，n〈0n=0以的前的輸出已由初始條件給定，瞬態(tài)解從n=0求起，由差分方程、初始條件和輸入，得：

依次遞推

┆

，穩(wěn)定、因果系統(tǒng)②輸入相同，但初始條件改為n〉0，y（n）=0將上述差分方程改寫成y（n-1）=2[y（n）-1.5x（n）]

此時y（0）=2[y（1）-1.5x(1)]=0

依此類推，得到②非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)①、②兩式所表示的兩個不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程描述系統(tǒng)時，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。為了利用數(shù)字系統(tǒng)來處理模擬信號，必須先將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，在數(shù)字系統(tǒng)中進(jìn)行處理后在轉(zhuǎn)換成模擬信號。其典型框圖如下：本節(jié)主要介紹模擬信號與數(shù)字信號之間相互轉(zhuǎn)換的基本數(shù)學(xué)原理。

1-4連續(xù)時間信號的數(shù)字處理1.4.1抽樣定理與A/D轉(zhuǎn)換器

抽樣是將連續(xù)時間信號離散化的過程，它僅抽取信號波形某些時刻的樣值。抽樣分為均勻抽樣和非均勻抽樣，當(dāng)抽樣是取均勻等間隔點時為均勻抽樣，否則為非均勻抽樣。1.理想抽樣及其頻譜

理想抽樣：當(dāng)τ趨于零的極限情況時，脈沖序列p(t)變成了沖擊函數(shù)串，稱為理想抽樣。

抽樣過程：均勻抽樣可以看作為一個脈沖調(diào)制過程，數(shù)學(xué)表示為。

xa(t)為調(diào)制信號即輸入的模擬信號，p(t)為載波信號是一串周期為T，脈寬為τ的矩形脈沖串，調(diào)制后輸出的信號就是抽樣信號。理想抽樣過程示意圖用p(t)表示沖擊函數(shù)串p(t)=則因此實際上是xa(t)在離散時刻nT的取值xa(nT)的集合。(2)抽樣信號的頻譜設(shè)模擬信號xa(t),沖擊函數(shù)串p(t),抽樣脈沖串以及抽樣信號的傅里葉變換分別為由頻域卷積定理得其中將Xa(jΩ)和P(jΩ)帶入式中，得

可見,一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想抽樣后,其頻譜為周期性信號，且以抽樣頻率Ωs=2π/T為間隔周期重復(fù)。即如圖所示（圖中僅為其幅度譜）：也就是說，理想抽樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，周期為Ωs

，其頻譜的幅度與原信號的譜相差一個常數(shù)因子1/T。如果xa(t)的頻譜Xa(jΩ)為被限制在某一最高頻率Ωh范圍內(nèi)，其頻譜如圖a所示，則稱其為帶限信號。0對帶限信號的抽樣滿足Ωh≤

Ωs/2時,原來頻譜和各次延拓分量的頻譜不重疊,如圖b所示，如采用一個截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器對抽樣信號進(jìn)行濾波，就可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號。但如果信號的最高頻率Ωh超過

Ωs/2,則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交集,將無法不是真的還原出原來的連續(xù)信號，即產(chǎn)生了“混疊失真”，如圖c所示。

*

Ωs/2通常稱為折疊頻率或奈奎斯特頻率。0稱為基帶譜。**

重要結(jié)論：要想連續(xù)信號抽樣后能夠不失真的還原出原信號，則抽樣頻率必須大于或等于兩倍原信號頻譜的最高頻率(Ωh≤

Ωs/2)，這就是奈奎斯特抽樣定理.說明：實際工作中，考慮到有噪聲，為避免頻譜混淆，采樣頻率總是選得比兩倍信號最高頻率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同時，為避免高于折疊頻率的噪聲信號進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個保護(hù)性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于S/2頻率分