第七章 位移法龍馭球結構力學

第七章位移法熟練掌握位移法基本未知量和基本結構的確定、位移法典型方程的建立及其物力意義、位移法方程中的系數(shù)和自由項的物理意義及其計算、最終彎矩圖的繪制。熟記一些常用的形常數(shù)和載常數(shù)。熟練掌握由彎矩圖繪制剪力圖和軸力圖的方法。掌握利用對稱性簡化計算。重點掌握荷載荷載作用下的計算，了解其它因素下的計算。位移法方程有兩種建立方法，寫典型方程法和寫平衡方程法。要求熟練掌握一種，另一種了解即可。7.1基本概念欲求超靜定結構先取一個基本體系,然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結構完全一樣。位移法的特點：基本未知量——獨立結點位移；基本體系——一組單跨超靜定梁；基本方程——平衡條件。力法的特點：基本未知量——多余未知力；基本體系——靜定結構；基本方程——位移條件（變形協(xié)調(diào)條件）。力法思路：轉(zhuǎn)換超靜定結構靜定結構超靜定結構位移法思路：先化整為零，再集零為整結構桿件結構兩種方法：平衡方程法和典型方程法基本思路ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常數(shù)ABCθAθAθA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48qB↓↓↓↓↓↓↓↓ACA位移法分析中應解決的問題是：

①用力法確定單跨超靜定梁在桿端發(fā)生各種位移時以及荷載等因素作用下的內(nèi)力。

②確定以結構上的哪些位移作為基本未知量。

③如何求出這些位移。桿端力和桿端位移的正負規(guī)定：桿端轉(zhuǎn)角，弦轉(zhuǎn)角＝Δ/l都以順時針為正。桿端彎矩對桿端以順時針為正，剪力使分離體有順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正，否則為負。1.由桿端位移求桿端彎矩7.2桿件單元的形常數(shù)和載常數(shù)i=EI/l----線剛度單位荷載法可得出：解聯(lián)立方程可得：彎曲桿件的剛度方程剛度系數(shù)又稱形常數(shù)ABEIMABMBAABEI1).兩端固定梁ABEIMABMBAABEIAiBAiBABiMABMBA2).一端固定、一端滾軸支座的梁

BAiBAiBAEI3).一端固定、一端滑動支座的梁BAEIMABMBA4).

等截面直桿只要兩端的桿端位移對應相同，則相應的桿端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA荷載引起的桿端內(nèi)力稱為載常數(shù).2.由荷載求固端內(nèi)力（載常數(shù)教材表7-1）位移法基本未知量個數(shù)的確定一、角位移個數(shù)的確定二、線位移個數(shù)的確定結點線位移是位移法計算中的一個基本未知量，為了減少基本未知量的個數(shù)，使計算得到簡化，常作以下假設：(1)忽略由軸力引起的軸向變形；(2)結點位移都很?。?3)直桿變形后，曲線兩端的連線長度等于原直線長度。線位移數(shù)也可以用幾何方法確定。140將結構中所有剛結點和固定支座，代之以鉸結點和鉸支座，分析新體系的幾何構造性質(zhì)，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結構位移法計算時的線位移數(shù)。角位移數(shù)5線位移數(shù)2角位移數(shù)2線位移數(shù)1§7.3無側移剛架的計算如果除支座以外，剛架的各結點只有角位移而沒有線位移，這種剛架稱為無側移剛架。ABC3m3m6mEIEIFP=20kNq=2kN/mBqBEIFPBEIMBAMABMBC1、基本未知量B2、固端彎矩3、列桿端轉(zhuǎn)角位移方程設4、位移法基本方程（平衡條件）16.7215.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列桿端轉(zhuǎn)角位移方程4、位移法基本方程（平衡條件）5、各桿端彎矩及彎矩圖M圖(1)變形連續(xù)條件:在確定基本未知量時得到滿足；(2)物理條件:即剛度方程；(3)平衡條件:即位移法基本方程。超靜定結構必須滿足的三個條件:例1、試用位移法分析圖示剛架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量

B、C（2）桿端彎矩Mi

j計算線性剛度i，設EI0=1，則梁柱(3)位移法方程4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。梁(4)解方程(相對值)(5)桿端彎矩及彎矩圖梁柱ABCDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M圖小結1、有幾個未知結點位移就應建立幾個平衡方程；2、單元分析、建立單元剛度方程是基礎；3、當結點作用有集中外力矩時，結點平衡方程式中應包括外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDCABCDE8kN/miii7.4有側移剛架的計算↓↓↓↓↓↓↓3kN/m8m4m2iiiΔΔθB位移法計算有側移剛架一般說來，在位移法的基本未知量中，每一個轉(zhuǎn)角有一個相應的結點力矩平衡方程，每一個獨立結點線位移有一個相應的截面平衡方程，平衡方程的個數(shù)與基本未知量的個數(shù)相等，正好全部求解基本未知量。13.624.425.69M圖(kN.m)MABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDC例1.用位移法分析圖示剛架。[解]（1）基本未知量B、（2）單元分析BC8m4mii2iABCD3kN/mMABFQABMBAFQBAMBCFQCDFQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程FQBA+FQCD=0…………...(2a)FQBAFQCD（4）解位移法方程（4）解位移法方程（5）彎矩圖MAB=-13.896kN·mMBA=-4.422kN·mMBC=4.422kN·mMDC=-5.685kN·mFQBA=-1.42kNFQCD=-1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M圖（kN·m）ABCDEFmq例2.用位移法分析圖示剛架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCFQBEFQCF基本未知量為：PABCDEFpFQCEFQCAFQCB基本未知量為：MCEMCAMCDFQCAFQCEMCAMCDMCE用位移法計算并作圖示結構M圖，橫梁為無窮剛梁EI→∞，兩柱剛度均為EI7.5位移法典型方程----剛臂,限制轉(zhuǎn)動的約束基本體系與原結構的區(qū)別：增加了人為約束，把基本未知量由被動的位移變成為人工控制的主動位移。ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常數(shù)ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCθAF1F1=0典型方程法基本體系轉(zhuǎn)化為原結構的條件：基本結構在給定荷載以及結點位移?1作用下，附加約束反力應等于零。ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常數(shù)ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCθAF1F1=0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCF1Pql2/12ql2/12ABCθAF11θAθAql2/12F1P4iF11↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48Δ1Δ1Δ2Δ1Δ1Δ2F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21Δ1=1Δ1×

Δ1×

Δ2k11Δ2=1k22k12位移法基本體系F1=0F2=0F11、F21(k11、k21)──基本體系在Δ1(=1)單獨作用時，附加約束1、2中產(chǎn)生的約束力矩和約束力；F12、F22(k12、k22)──基本體系在Δ2(=1)單獨作用時，附加約束1、2中產(chǎn)生的約束力矩和約束力；F1P、F2P──基本體系在荷載單獨作用時，附加約束1、2中產(chǎn)生的約束力矩和約束力；位移法方程的含義：基本體系在結點位移和荷載共同作用下，產(chǎn)生的附加約束中的總約束力(矩)等于零。實質(zhì)上是平衡條件。位移法典型方程n個結點位移的位移法典型方程

主系數(shù)kii──基本體系在Δi=1單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩和約束力，恒為正；

付系數(shù)kij=kji──基本體系在Δj=1單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩和約束力，可正、可負、可為零；

自由項FiP──基本體系在荷載單獨作用時，在第i個附加約束中產(chǎn)生的約束力矩和約束力，可正、可負、可為零；；再由結點矩平衡求附加剛臂中的約束力矩，由截面投影平衡求附加支桿中的約束力。①確定位移法基本未知量，加入附加約束，取位移法基本體系。②令附加約束發(fā)生與原結構相同的結點位移，根據(jù)基本結構在荷載等外因和結點位移共同作用下產(chǎn)生的附加約束中的總反力（矩）=0，列位移法典型方程。③繪出單位彎矩圖、荷載彎矩圖，利用平衡條件求系數(shù)和自由項。④解方程，求出結點位移。⑤用公式疊加最后彎矩圖。并校核平衡條件。⑥根據(jù)M圖由桿件平衡求FQ，繪FQ圖，再根據(jù)FQ圖由結點投影平衡求FN，繪FN圖?！?kN/m8m4m2iiiΔ2Δ2Δ1↓↓↓↓↓↓↓3kN/mΔ2Δ1F1F2F1=0F2=0↓↓↓↓↓↓↓3kN/mF1PF2Pk12k22乘Δ2k11k21乘Δ1Δ1=1Δ2=1F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21

44MPF1P0

F1P=4F2P=－60F2P4i2i6i6ik11

k11=10ik21=－1.5iM1k12

01.5ik21

k22

M2

k12=－1.5ik21=15i/161.5i1.5i0.75i解之:Δ1=0.737/i，Δ2=7.58/i利用疊加彎矩圖

13.624.425.69M圖(kN.m)位移法計算有側移剛架與線位移相應的位移法方程是沿線位移方向的截面投影方程。方程中的系數(shù)和自由項是基本體系附加支桿中的反力，由截面投影方程來求。7.6對稱性的利用結構對稱是指結構的幾何形狀、支座條件、材料性質(zhì)及各桿剛度EA、EI、GA均對稱。利用結構對稱性簡化計算，基本思路是減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架分析與對稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對稱性取半邊結構時，該截面應加上與位移條件相應的支座。1.對稱荷載對稱結構在對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均對稱。在取半邊結構時，B截面加上滑動支座，但橫梁線剛度應加倍。與對稱軸相交截面B的位移條件為:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP

Bii1i2ii1i2i

FP

FP未知量ii1i22iBCA

FP2．反對稱荷載對稱結構在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均反對稱。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i2未知量B

2i2i1C

FP

FPBi2i1i1

FPC二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在與對稱軸相交的截面。1.對稱荷載

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i2.反對稱荷載FPBII1/2I2

將中柱分成慣性矩各為I1/2的兩個柱，兩柱間跨度為dl

，則原結構變?yōu)槠鏀?shù)跨。利用奇數(shù)跨結構在反對稱荷載作用下的結論就可以得到圖示簡化結果。FPFPBIII1I2

I2

dlFPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓4m4m4m4m4m4m30kN30kN10kN/mEI=C用位移法計算圖示結構,并繪彎矩圖.4m4m30kN10kN/m↓↓↓↓↓↓4080kN.m1iiABC=25=－5=－25=－20=－1080252051025M(kN.m)三、舉例↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓12kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m↓↓↓↓↓↓↓12kN/mi=1i=1ACBACAM2q=AACMq=4ABAMq+=162Aq-=164AABMq×-=12412420=+=?ACABAMMM20168==-AAqqMABMACA=－8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M圖(