第二章 一階動態(tài)電路的暫態(tài)分析

第二章一階動態(tài)電路的暫態(tài)分析第二章一階動態(tài)電路的暫態(tài)分析2.1電容元件與電感元件2.2換路定則及其初始條件2.3一階電路零輸入響應(yīng)2.4一階電路零狀態(tài)響應(yīng)2.5一階電路完全響應(yīng)2.6三要素法求一階電路響應(yīng)1

例如：電機的起、停，溫度的升、降等不能躍變，需要經(jīng)過一定的時間，這個過程稱為過渡過程。穩(wěn)態(tài)過渡過程穩(wěn)態(tài)第二章一階動態(tài)電路的暫態(tài)分析2uc=0

uc↑uc=us充電前充電時充電完穩(wěn)態(tài)

穩(wěn)態(tài)暫態(tài)（過渡過程）原因外因：電路結(jié)構(gòu)變化（換路、切斷、短路等）內(nèi)因：動態(tài)元件L、C的存在第二章一階動態(tài)電路的暫態(tài)分析32.1.1電容元件i+q-q+-u電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向得到正比于電壓變化率2.1電容元件與電感元件4電容元件存儲的電荷量為電容元件電壓與電流的關(guān)系為電容元件存儲的能量為電容某時刻的儲能與該時刻的電壓平方成正比，電容電壓為狀態(tài)變量電容某時刻的電壓，并不是只取決于該時刻的電流值，還與t0時刻前的歷史有關(guān)系，為記憶元件“歷史”2.1電容元件與電感元件5磁通量Ψ

與電流i取右螺旋方向+-Lu+-電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向，，即電感元件的電流正比于電流變化率2.1.2電感元件6+－L+－C正比于電流平方，電流為狀態(tài)變量記憶元件對照電容元件與電感元件7解電感的VAR

KVL

電容的VAR

KCL圖2.1.4例2.1.2電路【例2.1.1】如圖所示電路2.1.2(b)，已知i1=(2-e-t)(A),

t>0。求t>0時的電流2.1.2電感元件82.2.1換路定則電路中開關(guān)的接通、斷開，元件參數(shù)的變化統(tǒng)稱為換路。換路會使電路由一個狀態(tài)過渡到另一個狀態(tài)。如果電路中有儲能元件，儲能元件狀態(tài)的變化反映出所存儲能量的變化。能量的變化需要經(jīng)過一段時間，因此電路由一個狀態(tài)過渡到另一個狀態(tài)要有一個過程，這個過程稱為過渡過程。儲能元件電壓與電流是微分關(guān)系，分析動態(tài)電路要列解微分方程。含有一個儲能元件的電路列出的是一階微分方程，因此含有一個儲能元件的電路稱為一階電路。2.2換路定則及其初始條件9由于物體所具有的能量不能躍變，因此，在換路瞬間儲能元件的能量也不能躍變．由可見電容電壓uC和電感電流iL不能躍變．換路定律：換路時電容上的電壓，電感上的電流不能躍變．即設(shè)換路的時刻為t=0，換路前的瞬間記為t=0－

，換路后的瞬間記為t=0+

，0－和0+

在數(shù)值上都等于零。2.2換路定則及其初始條件10前面我們見到如果取t0=0-，

t=0+

，可得積分項中iC

和uL為有限值，積分項為零，同樣得到2.2換路定則及其初始條件112.2.2初始條件確定用時域分析法求解電路的動態(tài)過程實質(zhì)就是求解微分方程．因此，必須要用初始條件確定積分常數(shù).在一階電路中，一般用電容電壓或者電感電流作為變量列微分方程。初始值：就是所求變量在換路結(jié)束瞬間的值。122)根據(jù)換路定律，求出獨立變量初始值uC(0+)和iL

(0+)

。3）在t=0+等效電路中求其他支路電壓、電流的初始值：可用電壓為uC(0+）的電壓源替代電容，用電流為iL(0+)

的電流源替代電感，畫出t=0+等效電路，如果換路前儲能元件沒有儲能，即uC（0+)=0，iL(0+)=0，則電容→短路，電感→開路。1)先由t=0-等效電路求出uC(0–)

、iL(0–)：在直流激勵下，換路前，電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)時，將電容→開路，電感→短路，得到t=0-等效電路。

初始值的計算過程13

[例]圖（a)所示電路，t<0時電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時將開關(guān)K閉合。試求各元件電流、電壓初始值。解：

t<0時電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路．2.2換路定則及其初始條件(a)

uCu2CKiCi1u110V10μF3kΩ2kΩi2+－14t=0+的等效電路如下圖(b)所示．2.2換路定則及其初始條件15[例]

圖(a)中電路換路前已經(jīng)穩(wěn)態(tài)，t=0時閉合開關(guān)，試求開關(guān)閉合前和閉合后瞬間的電感電流和電感電壓。(a)解：開關(guān)閉合前電路穩(wěn)態(tài)，電感相當(dāng)于短路．2.2換路定則及其初始條件16

t=0時閉合開關(guān)，0+時刻等效電路如下圖(b)所示(a)(b)0+時刻等效電路2.2換路定則及其初始條件17

t=0時開關(guān)閉合，0+時刻等效電路如圖(b)所示．換路過程中，電容電壓與電感電流不發(fā)生躍變，其它響應(yīng)都有可能發(fā)生躍變。圖(a)10V3ΩK2Ω2Ω1H2FiCuCt=0iiL

圖(b)t=0+時刻等效電路+－2.2換路定則及其初始條件18解圖2.2.2例2.2.2電路圖

由于換路前動態(tài)元件均未儲能，所以t=0時uC(0–)=c(0+)=0，iL(0–)=

iL(0+)=0，相當(dāng)于電容短路、電感開路，則0+時刻等效電路如圖2.2.2(b)所示，得【例2.2.2】如圖2.2.2(a)所示電路，開關(guān)S在t=0時打開，開關(guān)打開前電感電容均未儲能。求uc、ic、uL、iL及u的初始值。2.2換路定則及其初始條件192.3一階電路的零輸入響應(yīng)如果電路中只含有一個儲能元件，所列寫電路的微分方程是一階微分方程，故含一個儲能元件的電路稱為一階電路．零輸入響應(yīng)：電路的輸入為零，響應(yīng)是由儲能元件所儲存的能量產(chǎn)生的，這種響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)本節(jié)討論RC電路和RL電路的零輸入響應(yīng)．20圖(a)所示電路中的開關(guān)原來連接在1端，電壓源U0通過電阻Ro對電容充電，假設(shè)在開關(guān)轉(zhuǎn)換以前，電容電壓已經(jīng)達(dá)到U0。在t=0時開關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到2端。已經(jīng)充電的電容脫離電壓源而與電阻R聯(lián)接，如圖(b)所示,由于t>0時，無信號源作用，因而稱為零輸入響應(yīng)。

RC電路的零輸入響應(yīng)(a)(b)1.RC電路的零輸入響應(yīng)21我們先定性分析t>0后電容電壓的變化過程。當(dāng)開關(guān)倒向2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即由于電容與電阻并聯(lián)，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即電阻的電流為(a)(b)1.RC電路的零輸入響應(yīng)22該電流使得電容元件中的電荷量不斷減少，電壓不斷降低，直到電荷量為零，電容電壓為零。這個過程一般稱為電容放電。電阻消耗的能量需要電容來提供，這造成電容電壓的下降。也就是電容電壓從初始值uC(0+)=U0逐漸減小到零的變化過程。這一過程變化的快慢與電阻元件參數(shù)的大小和電容元件參數(shù)的大小有關(guān)。1.RC電路的零輸入響應(yīng)23為建立圖(b)所示電路的一階微分方程，由KVL得到由KCL和電阻、電容的VCR方程得到代入上式得到以下方程(a)(b)1.RC電路的零輸入響應(yīng)24這是一個常系數(shù)線性一階齊次微分方程。其通解為代入式中，得到特征方程其解為1.RC電路的零輸入響應(yīng)(a)(b)25于是電容電壓變?yōu)槭街蠥是一個常量，由初始條件確定。當(dāng)t=0+時上式變?yōu)楦鶕?jù)初始條件求得1.RC電路的零輸入響應(yīng)26得到圖(b)電路的零輸入響應(yīng)為RC電路的零輸入響應(yīng)曲線按指數(shù)規(guī)律單調(diào)下降（2.3.3）

1.RC電路的零輸入響應(yīng)27當(dāng)時由曲線可見，各電壓電流的變化快慢取決于R和C的乘積。令

=RC，由于

具有時間的量綱，故稱它為RC電路的時間常數(shù)。的物理意義時間常數(shù)等于電壓衰減到初始值U0

的時所需的時間。2>1，越大衰減越慢1.RC電路的零輸入響應(yīng)RCteU)t(uC-=028當(dāng)

t=5

時，uC(5)=0.007U0

，基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。只有t→∞時電路才能真正達(dá)到穩(wěn)態(tài)，uC=0

。工程上認(rèn)為t=(3~5)τ，uC→0電容放電基本結(jié)束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U隨時間而衰減1.RC電路的零輸入響應(yīng)29

[例]

電路如圖（a)所示，換路前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。t=0時刻開關(guān)斷開，求t>0的電容電壓和電容電流。解：換路前開關(guān)閉合，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容電流為零，電容電壓等于200Ω電阻的電壓，由此得到圖（a)1.RC電路的零輸入響應(yīng)30時間常數(shù)：按式（2.3.3）

寫出電容電壓的零輸入響應(yīng)1.RC電路的零輸入響應(yīng)31計算電容電流方法一：方法二：1.RC電路的零輸入響應(yīng)32電感電流原來等于電流I0，電感中儲存一定的磁場能量，在t=0時開關(guān)由1端倒向2端，換路后的電路如圖(b)所示。

RL電路的零輸入響應(yīng)我們以圖(a)電路為例來說明RL電路零輸入響應(yīng)的計算過程。(a)(b)2.RL電路的零輸入響應(yīng)33在開關(guān)轉(zhuǎn)換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)=iL(0-)=I0

，這個電感電流通過電阻R時引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變?yōu)榱銥橹埂?/p>

綜上所述，圖(b)所示RL電路是電感中的初始儲能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。與能量變化過程相應(yīng)的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。(b)2.RL電路的零輸入響應(yīng)34換路后，由KVL得代入電感VCR方程

得到以下微分方程

(b)這個微分方程與式(2.3.1)相似，其通解為

2.RL電路的零輸入響應(yīng)35代入初始條件iL(0+)=I0求得最后得到電感電流和電感電壓的表達(dá)式為令，則上式改寫為2.RL電路的零輸入響應(yīng)36其波形如圖所示。RL電路零輸入響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢取決于時間常數(shù)。且時間常數(shù)

=L/R．

RL電路零輸入響應(yīng)的波形2.RL電路的零輸入響應(yīng)37

[例]

電路如圖所示，換路前K合于①，電路處于穩(wěn)態(tài)。t=0時Ｋ由①合向②，求換路后的解:換路前電路已穩(wěn)定2.RL電路的零輸入響應(yīng)38由換路定律可得換路后電路為零輸入響應(yīng)．從Ｌ兩端視入的等效電阻為時間常數(shù)為2.RL電路的零輸入響應(yīng)39電感電流的零輸入響應(yīng)為電感電壓為或者2.RL電路的零輸入響應(yīng)40【例2.3.1】如圖2.3.5(a)所示電路，t<0時開關(guān)位于“1”處并已達(dá)到穩(wěn)定，t=0時開關(guān)轉(zhuǎn)到“2”的位置。求t>0時各支路電流的變化規(guī)律并畫出波形圖。t<0時，電感相當(dāng)于短路，求得解圖2.3.5例2.3.1電路圖2.RL電路的零輸入響應(yīng)41根據(jù)換路定則得由圖2.3.5(b)求得電感兩端的等效電阻為圖2.3.5例2.3.1電路圖時間常數(shù)為2.RL電路的零輸入響應(yīng)42由此可得，時各電流和電壓為波形如圖2.3.6所示。圖2.3.6例2.3.1各支路電流的波形圖2.RL電路的零輸入響應(yīng)43解圖2.3.7例2.3.2電路圖2.RL電路的零輸入響應(yīng)【例2.3.2】如圖2.3.7所示電路原已穩(wěn)定，t=0時，開關(guān)S打開，試求零輸入響應(yīng)uC(t)及iC(t)。44電路的初始狀態(tài)為零，即uC(0+)=0，iL(0+)=0，由外加激勵引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。圖2.4.1所示電路中的電容原來未充電，uC(0-)=0。t=0時開關(guān)Ｋ閉合，電壓源US被接入RC電路。

圖2.4.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)uC(0+)=uC(0－)=

0根據(jù)KCL定律，有

由于

2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)45所以這是一個常系數(shù)線性一階非齊次微分方程。其解包括兩部分，即式中的u'C(t)是與式（2.4.1）相應(yīng)的齊次微分方程的通解，其形式與零輸入響應(yīng)相同，即2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)46式中的u"C(t)是式(2.4.1)所示非齊次微分方程的一個特解，應(yīng)滿足非齊次微分方程．對于直流電源激勵的電路，它是一個常數(shù)，令求得因而代入（2.4.1）2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)47式中的常數(shù)A由初始條件確定。在t=0+時由此求得代入式uc(t)中得到電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)48t0uCUSuC-US0iCUs/RtiCiR電容電流可以由電容電壓求得圖2.4.2

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)492.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)計算圖2.4.1可以不用列解微分方程，直接按式（2.4.2）寫出零狀態(tài)響應(yīng)。對于比較復(fù)雜一點的電路，可以利用戴維南定理將電路變換為圖（2.4.1）的形式，再按式（2.4.2）寫出零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)一般稱為放電，零狀態(tài)響應(yīng)一般則稱為電容器充電。與放電過程類似，經(jīng)過3τ～5τ的時間，電容電壓接近電源電壓，即認(rèn)為過程結(jié)束。50在開關(guān)閉合瞬間，由換路定律解:[例]電路如圖所示，已知電容電壓uC(0－)=0，t=0開關(guān)閉合，求t0的電容電壓uC(t)和電容電流iC(t)。

2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)51由電容兩端得到的等效電阻電路的時間常數(shù)按式（2.4.2）寫出電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時52按式(2.4.3)可以得到電容電流2.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)53

RL一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與RC一階電路相似。圖2.4.3所示電路在開關(guān)閉合前，電感電流為零，即iL(0-)=0。當(dāng)t=0時開關(guān)K閉合。根據(jù)KVL,有由于所以圖2.4.3

RL電路零狀態(tài)響應(yīng)2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)54這是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解答為式中

=L/R是該電路的時間常數(shù)。常數(shù)A由初始條件確定，即由此求得2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)55最后得到一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)為其響應(yīng)曲線如圖所示。圖2.4.2RL電路零狀態(tài)響應(yīng)曲線2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)56

[例]

電路如圖(a)所示，已知電感電流iL(0-)=0。t=0閉合開關(guān)，求t0的電感電流iL(t)和電感電壓uL(t)。解：開關(guān)閉合后的電路如圖(b)所示，由于開關(guān)閉合瞬間電感電流不能躍變，即2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)57將圖(b)中電路等效變換為圖(c)所示電路。由此電路求得時間常數(shù)為電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為電感電壓為2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)58電路中儲能元件的狀態(tài)不為零，激勵電源也不為零，由儲能元件的初始儲能和激勵電源共同引起的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)。本節(jié)只討論在直流電源激勵下的全響應(yīng)。以RC電路為例

RC電路的完全響應(yīng)2.5一階電路的全響應(yīng)59

RC電路的完全響應(yīng)電路如圖所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓不為零，uC(0－)=U0。t=0時開關(guān)由“1”置于“2”處。為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以電容電壓uC(t)為變量，列出換路后電路的微分方程2.5一階電路的全響應(yīng)60這是一個常系數(shù)線性一階非齊次微分方程。其解為：

由初始條件得求得于是全響應(yīng)＝穩(wěn)態(tài)分量＋暫態(tài)分量暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量2.5一階電路的全響應(yīng)61零輸入響應(yīng)又

全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)所以也可以表示零狀態(tài)響應(yīng)式中第一項為初始狀態(tài)單獨作用引起的零輸入響應(yīng)，第二項為激勵源單獨作用引起的零狀態(tài)響應(yīng)。也就是說電路的全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。這是線性動態(tài)電路的一個基本性質(zhì)，是疊加原理的一種體現(xiàn)。2.5一階電路的全響應(yīng)62以上兩種疊加的關(guān)系，可以用曲線來表示。利用全響應(yīng)的這兩種分解方法，可以簡化電路的分析計算，實際電路存在的是電壓的全響應(yīng)。(a)全響應(yīng)分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與暫態(tài)響應(yīng)之和。(b)全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)

RC電路的完全響應(yīng)2.5一階電路的全響應(yīng)632.6三要素法求一階電路響應(yīng)初始值f(0+)，穩(wěn)態(tài)值f(∞)

和時間常數(shù)τ稱為電路的三要素。由三要素按式（2.6.1）直接寫出全響應(yīng)的方法稱為三要素法。（2.6.1）

利用三要素法求解電路響應(yīng)的步驟：求初始值求穩(wěn)態(tài)值求時間常數(shù)求一階電路響應(yīng)注意，三要素法適用范圍：①直流電源激勵下；②一階線性動態(tài)電路；③電路中任何電壓和電流。64具體求解