第二章 格林定理 鏡像法

2.9格林定理互易定理2.9.1格林定理在上式中，令則:即:

這就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即閉合面的外法向。該式稱(chēng)為格林第二恒等式。格林定理可用于解的唯一性證明和求解泊松方程的積分解，在電磁場(chǎng)理論中是很重要的定理之一2.9.2格林互易定理

互易定理是描述不同場(chǎng)及其場(chǎng)源成對(duì)稱(chēng)關(guān)系的公式，格林定理是不同函數(shù)間成對(duì)稱(chēng)關(guān)系的互易定理的數(shù)學(xué)表述。兩個(gè)定理的區(qū)別在于：格林定理不含具體的物理意義，而互易定理可以看為格林定理的一個(gè)直接推論和應(yīng)用它是描述在帶電體系中，空間各處的電荷分布與在其它各電荷分布處所產(chǎn)生的電位間存在互易關(guān)系。

現(xiàn)測(cè)得各帶電導(dǎo)體的電位為體電荷元處的電位為體電荷密度變?yōu)椋鄳?yīng)的電位變?yōu)?，則有

當(dāng)各導(dǎo)體的電荷變?yōu)楹瓦@是格林互易定理的普遍形式證明：現(xiàn)令：證畢（1）當(dāng)整個(gè)空間除導(dǎo)體外，沒(méi)有其它體電荷密度分布

（2）若整個(gè)空間除體電荷密度分布外，沒(méi)有其它諸導(dǎo)體

2.10

唯一性定理鏡像法

在電磁場(chǎng)問(wèn)題中，往往需要求解有限區(qū)域中給定邊界條件下的電磁場(chǎng)問(wèn)題。

如果只考察空間某—有限區(qū)域的電磁場(chǎng)，而區(qū)域內(nèi)、外常存在不同場(chǎng)源，顯然僅僅知道區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)源并不足以能完全確定有限區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)，還必須知道區(qū)域外場(chǎng)源的影響，而外域場(chǎng)源的影響可以通過(guò)用邊界面上的等效場(chǎng)來(lái)取代，故內(nèi)域場(chǎng)由其內(nèi)部場(chǎng)源和邊界場(chǎng)值唯一確定。2.10.1

唯一性定理設(shè)在區(qū)域V內(nèi)，和

滿(mǎn)足泊松方程，即:在V的邊界S上和滿(mǎn)足同樣的邊界條件，即:令φ=φ1-φ2，則在V內(nèi)，▽2φ=0，在邊界面S上，φ|S=0。在格林第一恒等式中，令Ψ=φ，則:由于▽

2φ=0，所以有:在S上φ=0，因而上式右邊為零，因而有:或者這樣來(lái)證明

設(shè)滿(mǎn)足麥克斯韋方程、初始條件和邊界條件的電磁場(chǎng)解不唯一，至少有兩組解

式中的被積函數(shù)總為正值，要使上式成立，必有

和

在有界區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足給定源的場(chǎng)方程、初始條件及不同邊界條件的場(chǎng)解是唯一的2.10

鏡像法2.10.1平面鏡像法例4-1

求置于無(wú)限大接地平面導(dǎo)體上方，距導(dǎo)體面為h處的點(diǎn)電荷q的電位。圖4-1無(wú)限大導(dǎo)體平面上點(diǎn)電荷的鏡像

當(dāng)z>0時(shí)，▽2φS=0；當(dāng)z=0時(shí)，φ=0；當(dāng)z→∞、|x|→∞、|y|→∞時(shí)，φ→0。解：由Dn=ρS可得導(dǎo)體表面的面電荷密度：導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷：圖4-2相互正交的兩個(gè)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

2.10.2球面鏡像法例4-2

如圖4-3(a)所示，一個(gè)半徑為a的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷q位于距球心d處，求球外任一點(diǎn)的電位。圖4-3球面鏡像

(a)球面鏡像原問(wèn)題；(b)等效問(wèn)題解：我們先試探用一個(gè)鏡像電荷q′等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱(chēng)性考慮，鏡像電荷q′應(yīng)置于球心與電荷q的連線上，設(shè)q′離球心距離為b(b<a)，這樣球外任一點(diǎn)的電位是由電荷q與鏡像電荷q′產(chǎn)生電位的疊加，即:當(dāng)計(jì)算球面上一點(diǎn)的電位時(shí)，有:式中r10、r20分別是從q、q′到球面上點(diǎn)P0的距離。在上式中q′和b是待求量。取球面上的點(diǎn)分別位于A、B兩點(diǎn)，可以得到確定q′、b的兩個(gè)方程：解之得:可以算出球面上總的感應(yīng)電荷qin=-qa/d=q′。如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。此時(shí)球面必須是等位面，且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。應(yīng)使用兩個(gè)等效電荷：一個(gè)是q′，其位置和大小由式(4-9)確定；另一個(gè)是q″,q″=-q′,q″位于球心。如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾蒕，即q′位置和大小同上，q″的位置也在原點(diǎn)，但q″=Q-q′,即q″=Q+qa/d。2.10.3圓柱面鏡像法圖4-5例4-3用圖(a)導(dǎo)體平面與線電荷；(b)等位線例4-4

線密度為ρl

的無(wú)限長(zhǎng)線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面前，二者相距d,如圖4-5(a)所示，求電位及等位面方程。解：同理得鏡像電荷-ρl的電位：任一點(diǎn)(x,y)的總電位：用直角坐標(biāo)表示為:等位線方程為:這個(gè)方程表示一簇圓，圓心在(x0,y0)，半徑是R0。其中：每一個(gè)給定的m(m>0)值，對(duì)應(yīng)一個(gè)等位圓，此圓的電位為:例4-5

兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a，導(dǎo)體軸線之間的距離是2d，如圖4-6，求導(dǎo)體單位長(zhǎng)的電容。圖4-6平行雙導(dǎo)體

解:設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體圓柱單位長(zhǎng)帶電分別為ρl和-ρl，利用柱面鏡像法，將導(dǎo)體柱面上的電荷用線電荷ρl和-ρl代替，線電荷相距原點(diǎn)均為d，兩個(gè)導(dǎo)體面的電位分別為φ1和φ2。解之得:當(dāng)b>>a時(shí)，2.10.4平面介質(zhì)鏡像法例4-6

設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2的介質(zhì)充填于x<0及x>0的半空間，在介質(zhì)2中點(diǎn)(d,0,0)處有一點(diǎn)電荷q,如圖4-7(a