第一章 電磁場(chǎng)理論基礎(chǔ)

電磁理論（I）內(nèi)容概要《電磁理論（I）》是在本科《電磁場(chǎng)理論》或《電磁場(chǎng)與電磁波》的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)介紹電磁場(chǎng)的基本理論、電磁定理與原理、常用的幾種輔助函數(shù)、電磁波的傳輸、輻射、散射的基本規(guī)律和分析方法，以及一些典型的計(jì)算電磁學(xué)理論等。內(nèi)容僅限于經(jīng)典電磁理論，靜止介質(zhì)。參考書(shū)目1、張克謙，李德杰微波與光電子學(xué)中的電磁理論,清華大學(xué)出版社，20052、楊儒貴高等電磁理論，高教出版社，20073、張善杰工程電磁理論，科學(xué)出版社，20094、龔中麟近代電磁理論（第二版），北京大學(xué)出版社，2010全書(shū)內(nèi)容第一章電磁理論基礎(chǔ)第二章電磁場(chǎng)基本定理和原理第三章電磁場(chǎng)的基本分析方法第四章電磁波的傳輸?shù)谖逭聦?dǎo)行電磁波與諧振腔理論第六章電磁輻射第七章電磁散射考核形式

分為三個(gè)部分：一、平時(shí)作業(yè)；二、專(zhuān)題講座；三、期末考試。電磁理論中的基本符號(hào)A——磁矢勢(shì)B——磁感應(yīng)強(qiáng)度c——真空中的光速D——電位移矢量E——電場(chǎng)強(qiáng)度F——電矢勢(shì)G——格林函數(shù)H——磁場(chǎng)強(qiáng)度I——電流強(qiáng)度J——電流密度k——波矢量L——矢量波函數(shù)M——矢量波函數(shù)、磁化強(qiáng)度N——矢量波函數(shù)P——電極化強(qiáng)度R——距離r——位矢S——波印廷矢量、并矢散射矩陣U、V——標(biāo)量波函數(shù)W——電磁場(chǎng)能量——介電常數(shù)——磁導(dǎo)率——狄拉克函數(shù)——赫茲矢量位——電荷體密度——標(biāo)量勢(shì)——電導(dǎo)率——電極化率——磁極化率——角頻率第一章電磁理論基礎(chǔ)本章內(nèi)容1-1Maxwell方程組1-2介質(zhì)的電磁特性1-3磁荷及磁流，電磁場(chǎng)方程的對(duì)偶性1-4電磁邊界條件1-5輻射條件1-6電磁能量和能流1-7電磁場(chǎng)微分方程1-1Maxwell方程組宏觀(guān)電磁理論的基礎(chǔ)是Maxwell方程。該方程理論正確，并被實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Maxwell當(dāng)初建立的方程，其數(shù)學(xué)描述非常繁雜，矢量分析和場(chǎng)論建立后，Maxwell方程的表達(dá)變得非常簡(jiǎn)潔，Maxwell方程具有積分形式和微分形式。（1）真空中的Maxwell方程變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)穩(wěn)恒電流及變化電場(chǎng)產(chǎn)生渦旋磁場(chǎng)電場(chǎng)為有源場(chǎng)磁場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)積分形式微分形式輔助方程電荷守恒定律：（2）介質(zhì)中的Maxwell方程積分形式微分形式輔助方程積分形式普遍成立；微分形式只在場(chǎng)量連續(xù)區(qū)域使用。電荷守恒定律：（3)正弦電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程對(duì)于隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化的電磁場(chǎng)使用復(fù)數(shù)形式是方便的。即使用對(duì)于工程問(wèn)題方便的表示物理量隨時(shí)間的簡(jiǎn)諧變化。電荷守恒定律:Maxwell方程的意義麥克斯韋方程反映了電荷與電流激發(fā)電磁場(chǎng)以及電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在無(wú)場(chǎng)源的區(qū)域，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激發(fā)而運(yùn)動(dòng)傳播。它激發(fā)了電磁場(chǎng)內(nèi)在的矛盾和運(yùn)動(dòng)，由此預(yù)言了電磁波的存在，且以光速傳播。光也是電磁波。麥?zhǔn)戏匠淌菍?duì)電磁規(guī)律的全面高度的概括和總結(jié)，它是一組線(xiàn)性偏微分方程組。它和洛倫茲力一起構(gòu)成了經(jīng)典電磁理論的基石。（4）獨(dú)立方程和非獨(dú)立方程（5）限定形式和非限定形式獨(dú)立方程非獨(dú)立方程劃分方法不唯一。獨(dú)立方程中，共5個(gè)矢量和1個(gè)標(biāo)量，7個(gè)標(biāo)量方程，16個(gè)標(biāo)量方程，因此稱(chēng)為非限定形式。補(bǔ)充3個(gè)輔助矢量方程后，成為限定形式。1-2介質(zhì)的電磁特性均勻介質(zhì)：靜止介質(zhì)：一、概述介質(zhì)的電磁參數(shù)分別反映了介質(zhì)中的電通量密度D與電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場(chǎng)強(qiáng)度H、傳導(dǎo)電流密度Jc與電場(chǎng)強(qiáng)度E之間的關(guān)系。與時(shí)間無(wú)關(guān)；反之，運(yùn)動(dòng)介質(zhì)。與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)；反之，非均勻介質(zhì)。線(xiàn)性介質(zhì)：色散介質(zhì)：各向同性介質(zhì)：與場(chǎng)強(qiáng)大小無(wú)關(guān)；反之，非線(xiàn)性介質(zhì)。與頻率有關(guān)；反之，非色散介質(zhì)。與外加場(chǎng)的方向無(wú)關(guān)；反之，各向異性介質(zhì)。二、各種本構(gòu)關(guān)系（1）各向同性媒質(zhì)頻率足夠高時(shí)，存在電損耗和磁化損耗。虛部代表?yè)p耗。另外，通過(guò)電損耗角、磁損耗角的正切值反映虛部和實(shí)部的相對(duì)大小。復(fù)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率：理論模型——電子等離子頻率頻率足夠高時(shí)，主要表現(xiàn)為電損耗。另外，彈性恢復(fù)力可視為零。導(dǎo)電媒質(zhì)理論模型（1）微波及以下頻率的電磁波，介電常數(shù)的虛部是主要的，金屬呈現(xiàn)導(dǎo)電性，電磁波在金屬中受到強(qiáng)烈的衰減。導(dǎo)電媒質(zhì)（2）金屬呈現(xiàn)電介質(zhì)性，對(duì)于電磁波近乎是透明的。對(duì)應(yīng)于紫外或更短波長(zhǎng)的電磁波。（3）對(duì)應(yīng)于紅外波段的電磁波。金屬表面對(duì)于電磁波有較強(qiáng)的反射，趨膚深度很小。（為什么？）均勻、各向異性介質(zhì)非均勻、各向異性介質(zhì)（2）各向異性媒質(zhì)電各向異性介質(zhì)：僅具有張量介電常數(shù)的介質(zhì)。例如處于恒定磁場(chǎng)中的等離子體。一旦恒定磁場(chǎng)消失，為各向同性介質(zhì)。晶體是一種典型的電各向異性介質(zhì)。理論模型磁各向異性介質(zhì)：僅具有張量磁導(dǎo)率的介質(zhì)。例如處于恒定磁場(chǎng)中的鐵氧體。一旦恒定磁場(chǎng)消失，為各向同性介質(zhì)。雙軸晶體：?jiǎn)屋S晶體：若矩陣中的2個(gè)對(duì)角線(xiàn)元素相同的晶體。理論模型（3）雙各向異性介質(zhì)介質(zhì)的極化特性和磁化特性具有一定的耦合關(guān)系，電場(chǎng)不但可使介質(zhì)極化，也可使其磁化，同理，磁場(chǎng)也可使介質(zhì)同時(shí)發(fā)生磁化和極化。并且介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均為張量，即雙各向同性介質(zhì)：上述情況下，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均為標(biāo)量。例如手征介質(zhì)，自然界中大量存在于有機(jī)體和生物體中，特別是生命的基本組成中，如L-氨基酸、D-糖、DNA。最早研究起源于1920年左右。20世紀(jì)90年代前后，人工制作的手征介質(zhì)的特性及工程應(yīng)用前景引起微波工程的的研究興趣。（1）人工手征介質(zhì)：一種人工可合成的電磁功能材料，當(dāng)在某種基體材料中人工滲入螺旋狀導(dǎo)體結(jié)構(gòu)后，且螺旋體的幾何線(xiàn)度與電磁波波長(zhǎng)相比擬，復(fù)合而成的介質(zhì)具有手征性。三、一些新型電磁材料的電磁參數(shù)手征性：一種純粹的幾何概念，是指當(dāng)一個(gè)物體經(jīng)過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)的空間操作后，都不能與其鏡像相重合。人手都具有這樣的特性，因此稱(chēng)為手征性。手征介質(zhì)是一種雙各向同性介質(zhì)，其電磁特性方程具有很多形式，分別用于描述不同的手征介質(zhì)。一種比較流行的電磁特性方程為由于手征介質(zhì)可以改變電磁波的傳播、散射特性，因此在軍事、民用上有很大的潛在應(yīng)用價(jià)值。自八十年代以來(lái)，許多學(xué)者對(duì)手征介質(zhì)中電磁波的傳輸特性、手征微波器件及手征特性的物理機(jī)制等做了大量工作。隨著隱身技術(shù)的不斷發(fā)展，手征介質(zhì)的電磁散射特性越來(lái)越受到重視。

手征介質(zhì)具有廣闊的應(yīng)用前景。例如，利用手征介質(zhì)可以開(kāi)發(fā)新型的吸波材料，用于隱形體表面的涂覆材料。對(duì)于手征平板波導(dǎo)、圓波導(dǎo)、橢圓波導(dǎo)、手征光纖的研究表明，手征波導(dǎo)具有許多新穎獨(dú)特的性質(zhì)，如模式分叉、模式耦合等。利用這些特性，手征波導(dǎo)有望在集成光學(xué)元件及毫米波元件等領(lǐng)域得到應(yīng)用。例如，使用介質(zhì)微結(jié)構(gòu)，對(duì)浸沒(méi)于背景介質(zhì)中的稀疏球形介質(zhì)微結(jié)構(gòu)，可以在經(jīng)典近似下求出它的介電常數(shù)。設(shè)球形介質(zhì)微結(jié)構(gòu)的半徑為a，介電常數(shù)為，分布于介電常數(shù)為的背景介質(zhì)中，微結(jié)構(gòu)之間的距離b遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，a遠(yuǎn)小于b，通過(guò)靜電場(chǎng)問(wèn)題的解可近似求出所構(gòu)造的人工介質(zhì)的介電常數(shù)。（2）人工仿真電介質(zhì)人工仿真電介質(zhì)用大量相同的導(dǎo)體結(jié)構(gòu)與晶格類(lèi)似的等間距三維規(guī)則點(diǎn)陣排放構(gòu)成。點(diǎn)陣由輕質(zhì)介質(zhì)支撐，或在其間填充泡沫塑料形成支撐。上圖為金屬帶構(gòu)成的具有漸變折射率的仿真電介質(zhì)。（3）人工等離子體在實(shí)驗(yàn)室中對(duì)等離子體的模擬是用人工仿真媒質(zhì)實(shí)現(xiàn)的。一種早期的方案使用細(xì)圓柱形導(dǎo)體線(xiàn)柵構(gòu)成二維或三維晶格。

20世紀(jì)末，英國(guó)J.D.Pendry研究小組成功地將降到10GHz左右，較金屬的降低了6個(gè)數(shù)量級(jí)。他們使用半徑為1的鋁絲制作間距為5mm的立方晶格線(xiàn)柵，如圖所示。等離子體的磁導(dǎo)率，但它的介電常數(shù)具有特殊性一般介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率都是非負(fù)數(shù)，電磁波在其內(nèi)傳播時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度與傳播方向成右手關(guān)系，因此這樣的介質(zhì)稱(chēng)為右手介質(zhì)。（4）左手介質(zhì)左手介質(zhì)的起源于1967年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家Veselago在前蘇聯(lián)一個(gè)學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表了一篇論文，首次報(bào)道了他在理論研究中對(duì)物質(zhì)電磁學(xué)性質(zhì)的新發(fā)現(xiàn)，即：當(dāng)ε和μ都為負(fù)值時(shí)，電場(chǎng)、磁場(chǎng)和波矢之間構(gòu)成左手關(guān)系。他稱(chēng)這種假想的物質(zhì)為左手材料(left-handedmaterials,LHM)，同時(shí)指出，電磁波在左手材料中的行為與在右手材料中相反，比如光的負(fù)折射、負(fù)的切連科夫效應(yīng)、反多普勒效應(yīng)等等。這篇論文引起了一位英國(guó)人的關(guān)注，1968年被譯成英文重新發(fā)表在另一個(gè)前蘇聯(lián)物理類(lèi)學(xué)術(shù)刊物上。但幾乎無(wú)人意識(shí)到，材料世界從此翻開(kāi)新的一頁(yè)。

但由于只是停留在理論上，而在自然界中并未發(fā)現(xiàn)實(shí)際的左手材料，所以，這一怪誕的假設(shè)并沒(méi)有立刻被人接受，而是處于幾乎無(wú)人理睬的境地，直到時(shí)光將近本世紀(jì)時(shí)才開(kāi)始出現(xiàn)轉(zhuǎn)機(jī)。21世紀(jì)以來(lái)，左手材料的研究倍受關(guān)注。

目前，左手材料的研究倍受關(guān)注。主要表現(xiàn)在：左手材料的完美成像效應(yīng)除了用作光學(xué)成像外，還可以用來(lái)擴(kuò)充存儲(chǔ)容量、天線(xiàn)隱形等。利用左手材料存在折射率接近零的頻段，可以實(shí)現(xiàn)提高天線(xiàn)的定向輻射能力；利用左手材料的相位補(bǔ)償原理，可以用來(lái)改變天線(xiàn)的的匹配負(fù)載，提高天線(xiàn)輻射效率，而且通過(guò)很薄的左手材料將電小天線(xiàn)包圍起來(lái)，可以使電小天線(xiàn)的輻射阻抗由容性向感性轉(zhuǎn)變，相當(dāng)于天線(xiàn)和空間之間增加了匹配網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)可以增大天線(xiàn)的效率而減小電抗。利用變換光學(xué)的原理，可以實(shí)現(xiàn)電磁波的隱身、反隱身，透明天線(xiàn)罩、定向天線(xiàn)等。左手材料的應(yīng)用前景

根據(jù)左手材料不同反響的特性，科學(xué)家已預(yù)言可以應(yīng)用于通訊系統(tǒng)以及資料儲(chǔ)存媒介的設(shè)計(jì)上，用來(lái)制造更小的移動(dòng)電話(huà)或者是容量更大的儲(chǔ)存媒體；等效的負(fù)折射媒質(zhì)電路可以有效減少器件的尺寸，拓寬頻帶，改善器件的性能。未來(lái)，左手材料將會(huì)在無(wú)線(xiàn)通信的發(fā)展中起到不可忽略的作用。

Yongmin

LiuaandXiangZhang.Metamaterials:anewfrontierofscienceandtechnology.Chem.Soc.Rev.,2011,40,2494–2507.1-3磁荷及磁流，電磁場(chǎng)方程的對(duì)偶性電荷與電流是產(chǎn)生電磁場(chǎng)的唯一源。自然界中至今尚未發(fā)現(xiàn)任何磁荷與磁流存在。但是對(duì)于某些電磁場(chǎng)問(wèn)題，引入假想的磁荷與磁流是有益的。引入磁荷與磁流后，認(rèn)為磁荷與磁流也產(chǎn)生電磁場(chǎng)。那么，前述描述正弦電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程修改如下：

式中J

m(r)

——磁流密度；

m(r)

——磁荷密度。磁荷守恒定律:如果將上述電場(chǎng)及磁場(chǎng)分為兩部分：一部分是由電荷及電流產(chǎn)生的電場(chǎng)及磁場(chǎng)；另一部分是由磁荷及磁流產(chǎn)生的電場(chǎng)及磁場(chǎng)，即將上式代入前式，由于麥克斯韋方程是線(xiàn)性的，那么由電荷和電流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)方程，以及由磁荷和磁流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)方程分別如下：將上述兩組方程比較后，可以獲得以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為對(duì)偶原理或二重性原理。對(duì)偶原理建立了電荷及電流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)和磁荷及磁流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)之間存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此，如果我們已經(jīng)求出電荷及電流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，只要將其結(jié)果表示式中各個(gè)對(duì)應(yīng)參量用對(duì)偶原理的關(guān)系置換以后，所獲得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷與磁流產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。

例如，根據(jù)z

向電流元Il的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)公式即可直接推出z向磁流元Iml產(chǎn)生的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)應(yīng)為將磁流元遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)公式與電流環(huán)的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)公式比較可見(jiàn)，兩者場(chǎng)分布非常類(lèi)似。因此位于xy

平面內(nèi)的電流環(huán)即可看作為一個(gè)z向磁流元。由此可見(jiàn)，雖然實(shí)際中并不存在磁荷及磁流，但是類(lèi)似電流環(huán)的天線(xiàn)可以看作為磁流元。引入磁荷

m

及磁流Jm

以后，麥克斯韋方程的積分形式與前不同，涉及的兩個(gè)方程為在不同介質(zhì)分界面兩側(cè)場(chǎng)發(fā)生不連續(xù)性變化，應(yīng)用麥克斯韋方程組的積分形式可導(dǎo)出介質(zhì)分界面兩側(cè)邊界條件：式中為表面電流密度，為表面電荷密度，由媒質(zhì)①指向媒質(zhì)②，如下圖示。

1,12,2etenE1tE2tB1nB2n1-4電磁邊界條件若考慮到磁荷和磁流存在時(shí)，對(duì)于磁導(dǎo)率的理想導(dǎo)磁體，其內(nèi)部不可能存在任何電磁場(chǎng)，但其表面可以存在假想的表面磁荷與磁流。那么，理想導(dǎo)磁體的邊界條件為1-4電磁邊界條件對(duì)于電導(dǎo)率的理想導(dǎo)電體，其內(nèi)部不可能存在任何電磁場(chǎng)，但其表面可以存在表面電荷與電流。那么，理想導(dǎo)電體的邊界條件為電場(chǎng)垂直于分界面磁場(chǎng)垂直于分界面1-5輻射條件對(duì)于無(wú)限大自由空間的電磁場(chǎng)問(wèn)題，為了保證Maxwell方程解的唯一性，電磁場(chǎng)必須在無(wú)限遠(yuǎn)處滿(mǎn)足一定條件，該條件稱(chēng)為Sommerfeld輻射條件，簡(jiǎn)稱(chēng)為輻射條件或無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件。有三種形式，分別適用于三維、二維和一維無(wú)限空間。對(duì)于三維空間，其輻射條件為對(duì)于二維空間，其輻射條件為對(duì)于一維空間，其輻射條件為Ft為無(wú)限遠(yuǎn)處電磁場(chǎng)的橫向分量1-6電磁能量和能流

1能量密度和損耗功率密度時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)的能量密度和介質(zhì)的損耗功率密度分別為電磁場(chǎng)的能量守恒定律

電磁場(chǎng)是一種特殊形式的物質(zhì)，而能量又是物質(zhì)的主要屬性，電磁波的傳播過(guò)程，就是電磁能量的傳播過(guò)程。

2電磁場(chǎng)的能量守恒定律和坡印亭矢量3正弦場(chǎng)的復(fù)數(shù)坡印亭矢量與復(fù)功率應(yīng)用矢量恒等式代入得或應(yīng)用高斯散度定理，可得左端是流入S面的功率，右端實(shí)部是損耗功率，虛部是乘以磁場(chǎng)能量與電場(chǎng)能量的最大值之差。復(fù)功率為復(fù)數(shù)坡印亭矢量有功功率（平均功率）為其中是坡印亭矢量的平均值無(wú)功功率則是能量轉(zhuǎn)換的量度，即通常，對(duì)于電磁場(chǎng)問(wèn)題，當(dāng)應(yīng)用Maxwell場(chǎng)方程直接求解電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H時(shí)，首要的工作就是從場(chǎng)方程推導(dǎo)