第二章 極限與連續(xù)(最近修改9.25,14年10月)

1第二章極限與連續(xù)2第一節(jié)數(shù)列極限limitsofsequence例1割圓術(shù)

我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法--割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。一、極限的思想

3

三國(guó)時(shí)的劉徽提出的的方法.他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···這樣繼續(xù)分割下去,所得多邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近于圓的周長(zhǎng).“割圓求周”

割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣.412345678…項(xiàng)號(hào)邊數(shù)內(nèi)接多邊形周長(zhǎng)直徑為1241263

2.5980762113533.000000000000

3.105828541230

3.13262861328148

3.13935020304796

3.141031950891192

3.141452472285384

3.141557607912……………定量分析

15例2截杖問(wèn)題1：剩余的長(zhǎng)度：截去的總長(zhǎng)度0戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周著的《莊子·天下篇》引用過(guò)一句話：一尺之棰日截其半萬(wàn)世不竭.6二、數(shù)列的概念concepts例如稱為無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱數(shù)列.

1、數(shù)列的定義7說(shuō)明：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)82、單調(diào)數(shù)列

monotonicsequence稱單調(diào)增加稱單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列3、有界數(shù)列

boundedsequence有界；無(wú)界。否則稱無(wú)界。9三、數(shù)列的極限1x210問(wèn)題：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn

是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?一般地，有：通過(guò)上面圖示觀察：11如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.定義2.1記為或12用計(jì)算器計(jì)算由此猜想數(shù)列的極限(保留兩位有效數(shù)字)．由計(jì)算器可算得由此猜想【實(shí)驗(yàn)】解13例114例2解1516函數(shù)的極限第二節(jié)17一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限xy18通過(guò)上面圖示觀察:一般地有:定義2.319例2解例1解xy20類似地可以定義2122幾何解釋:ox2324例4解例3解xy25函數(shù)的極限第三節(jié)26定義2.4273.幾何解釋:說(shuō)明：28例5例629單側(cè)極限左極限：30右極限：31解左右極限存在且相等,例732左右極限存在但不相等,例8證33例9

設(shè)解3435無(wú)窮大量與無(wú)窮小量第四節(jié)36一、無(wú)窮小量定義以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列)稱為無(wú)窮小.例如,注：1、無(wú)窮小是變量,不能與絕對(duì)值很小的數(shù)混為一談;3、稱一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小，必須指明自變量的變化趨勢(shì)。2、零是唯一可以作為無(wú)窮小的數(shù)；37１、無(wú)窮小的性質(zhì)：

1°

有限多個(gè)無(wú)窮小之和仍是無(wú)窮??；

定理2°

有限多個(gè)無(wú)窮小之積仍是無(wú)窮??；

3°

無(wú)窮小與有界變量之積仍是無(wú)窮小。

138例1解39例2例3注：所有反三角函數(shù)均是有界函數(shù)。40定理

變量y以A為極限的充分必要條件是：變量y可以表示為A與一個(gè)無(wú)窮小的和。即lim

y=Ay=A+a，其中a是無(wú)窮小

。定理表明：

極限概念可以用無(wú)窮小概念來(lái)描述.證略。2、無(wú)窮小與極限的關(guān)系41二、無(wú)窮大量絕對(duì)值無(wú)限增大的變量叫無(wú)窮大.xoy42定義：

1、無(wú)窮大量是一個(gè)變量，不可與絕對(duì)值很大很大的數(shù)混為一談；2、稱函數(shù)是無(wú)窮大量，必須指明其自變量的變化趨勢(shì)。注：43同理，

44例如有兩條豎直漸近線:45三、無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.例4無(wú)窮大.

46無(wú)窮大量的遐想

一萬(wàn)年之說(shuō)；

至少比你多一；

無(wú)窮大可分為無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮大

47極限的性質(zhì)、極限的四則運(yùn)算法則第五節(jié)48一、存在極限的函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)極限的唯一性性質(zhì)2有極限函數(shù)的局部有界性性質(zhì)3有極限函數(shù)的局部保號(hào)性49二、極限的四則運(yùn)算法則證略定理50推論1推論251例2例1如果分母的極限為零,則不能直接運(yùn)用上述方法。52解例3消零因子法53共軛因子法解解變量代換法

例4例554例6解一般,55例7例856例957例1058例11解注意：以下解法錯(cuò)誤：因?yàn)榉▌t(1)不能推廣到無(wú)限多個(gè)函數(shù)的情形.59解例1260復(fù)合函數(shù)的極限證略61解例11或解62例12解63例13解共軛因子法64兩個(gè)重要極限第六節(jié)65證略1、夾逼準(zhǔn)則和66例1解由夾逼定理得67上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限.定理(夾逼定理)證略。68xy下面利用夾逼準(zhǔn)則證明一個(gè)重要的極限:

169基本不等式：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立。70即得71所以72解所以例2例373例4解74稱單調(diào)增加稱單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列具體：?jiǎn)握{(diào)增加有上界，或單調(diào)減少有下界。2、單調(diào)有界準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.75利用準(zhǔn)則Ⅱ可證明另一個(gè)重要的極限：

76以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，

可以證明，相應(yīng)的函數(shù)極限有

或77例5解78例7解例8解例6解79例9解求極限80小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.81無(wú)窮小的比較第八節(jié)82例如,

比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.觀察各極限比較它們趨向于0的速度，83定義：84說(shuō)明：

85例186例3證87例4證88例5解例6解89常用等價(jià)無(wú)窮小：90定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證只有在乘、除的極限運(yùn)算中才能替換；注意在其他極限運(yùn)算中不能替換！91例7解92例8解解錯(cuò)93例9解94函數(shù)的連續(xù)性第七節(jié)951、函數(shù)的改變量一、函數(shù)連續(xù)的定義96

例1

證明函數(shù)y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。

證

在x0處，函數(shù)的改變量為所以y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。2、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義如果

97下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價(jià)形式。如果

98例2證（3）函數(shù)值與極限值相等.

99例3解1004、連續(xù)區(qū)間與連續(xù)函數(shù)101例5102二、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).1、左右極限都存在的間斷點(diǎn),稱第一類間斷點(diǎn)：

(1)可去型間斷點(diǎn)103例6討論函數(shù)解注意

可去型間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).104(2)跳躍型間斷點(diǎn)例7解105例8解2、左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn),稱第二類間斷點(diǎn)。

106例9解這種情況稱為振蕩型間斷點(diǎn)。107解例10108三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理1例如,三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).109定理32、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換次序110所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.也就是說(shuō)，對(duì)初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，連續(xù)區(qū)間即為其定義域。111連續(xù)性在函數(shù)極限計(jì)算中的應(yīng)用初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例1例2解解112例3解極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換次序思考：113例4解類似可得114例5解前面已證等價(jià)無(wú)窮小替換115例6解116四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(有界性與最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且能取得最大值和最小值.記作11