有限元與數(shù)值方法-講稿5-2 有限元的基本概念

有限元與數(shù)值方法第五講

有限元法的一般原理與基本格式

----有限元的基本概念授課教師：劉書(shū)田Tel：84706149；Email：stliu@教室：綜合教學(xué)樓351時(shí)間：2013年4月12日：8：00—10：201彈性力學(xué)問(wèn)題的有限元法有限元法的基本思想桿系結(jié)構(gòu)的直接剛度法靜定桁架的內(nèi)力可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡方程求得，由內(nèi)力和桿件斷面積可求得桿件應(yīng)力、應(yīng)變，再求得節(jié)點(diǎn)位移PP靜不定桁架的內(nèi)力無(wú)法簡(jiǎn)單通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時(shí)，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為未知量，然而可以將桿件伸長(zhǎng)、桿件應(yīng)變、桿件應(yīng)力，桿件內(nèi)力用節(jié)點(diǎn)位移表示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡要求可以得到節(jié)點(diǎn)位移滿足的平衡方程。2有限元法的基本思想桿系結(jié)構(gòu)的直接剛度法靜不定桁架的內(nèi)力無(wú)法簡(jiǎn)單通過(guò)節(jié)點(diǎn)平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時(shí)，假定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移為未知量，然而可以將桿件伸長(zhǎng)、桿件應(yīng)變、桿件應(yīng)力直至桿件內(nèi)力用節(jié)點(diǎn)位移表示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡要求可以得到節(jié)點(diǎn)位移滿足的平衡方程。由節(jié)點(diǎn)的平衡方程就可求得節(jié)點(diǎn)位移；這一平衡方程的系數(shù)矩陣就是結(jié)構(gòu)剛度矩陣；結(jié)構(gòu)剛度矩陣是由每個(gè)桿件的單元?jiǎng)偠染仃囘m當(dāng)?shù)亟M裝得到。F2x,,u2xF2y,,u2yF1x,,u1xF1y,,u1y12P3桿系有限元方法以桁架結(jié)構(gòu)為例，介紹有限元的基本思想4桿單元的有限元分析一維線性桿單元基本假定：只能承受拉壓內(nèi)力（各桿兩端的約束條件使得彎曲、扭轉(zhuǎn)、剪切不能傳遞）軸線為直線材料滿足胡克定律自由轉(zhuǎn)動(dòng)12桁架結(jié)構(gòu)5位移插值建立軸線方向的坐標(biāo)系記任一點(diǎn)軸向位移為并將節(jié)點(diǎn)位移表示為建立桿件位移與節(jié)點(diǎn)位移的插值關(guān)系其中，形函數(shù)必須滿足112121節(jié)點(diǎn)位移協(xié)調(diào)關(guān)系滿足6可簡(jiǎn)單地將形函數(shù)取為一次多項(xiàng)式的形式：考慮到邊界條件，可得到因此位移插值桿上無(wú)分布力時(shí)，一次多項(xiàng)式可精確描述桿件變形7位移及應(yīng)變小位移假設(shè)下，應(yīng)變?yōu)槲灰颇Ｊ綖槲灰颇Ｊ桨▌傮w位移和常應(yīng)變模式N形函數(shù)矩陣B應(yīng)變矩陣8單元?jiǎng)偠汝嚴(yán)煤硕桑玫綏U件應(yīng)力和內(nèi)力分別為則節(jié)點(diǎn)力為其矩陣形式表示為

單元?jiǎng)偠染仃嘢應(yīng)力矩陣9XYxyXYxyi坐標(biāo)變換矩陣設(shè)OXY為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)，oxy為單元坐標(biāo)。為任意單元

i

端的任一矢量。它在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的分量為X、Y；在單元坐標(biāo)系中的分量為x、y。X、Y

在單元坐標(biāo)x軸上投影的代數(shù)和給出x

。同理，X、Y

在單元坐標(biāo)y軸上投影的代數(shù)和給出y

10即坐標(biāo)變換矩陣令表示兩個(gè)端點(diǎn)的位移矢量在單元局部坐標(biāo)系的分量，表示兩個(gè)端點(diǎn)的位移矢量在全局坐標(biāo)系的分量，則11上式可寫(xiě)成坐標(biāo)變換矩陣[R]的具體內(nèi)容為：用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)描述方向余弦：坐標(biāo)變換矩陣（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分別為節(jié)點(diǎn)i

和節(jié)點(diǎn)j

在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值12平面內(nèi)任意方向的桿單元記為而節(jié)點(diǎn)力列陣滿足(或)由單元局部坐標(biāo)系下的關(guān)系可得到或?qū)懗善渲?31.整體節(jié)點(diǎn)位移單元節(jié)點(diǎn)位移：總體控制方程：?jiǎn)卧煞治鲨旒芙Y(jié)構(gòu)擴(kuò)充矩陣2.整體節(jié)點(diǎn)力14邊界條件全局平衡方程如不考慮約束條件，總剛度陣是奇異的零位移約束條件15邊界條件處理零位移約束條件代人平衡方程，得到約束反力外載荷未知位移16對(duì)于一般的指定位移約束，可將方程分塊為其中，是指定位移，是主動(dòng)位移邊界條件即17在單元局部坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移分量為根據(jù)位移插值關(guān)系單元應(yīng)變和應(yīng)力可給出單元軸向應(yīng)變?yōu)橛珊硕煽蛇M(jìn)一步給出單元軸向應(yīng)力為18單元應(yīng)變和應(yīng)力而由可得到由總體坐標(biāo)系位移分量表示的單元應(yīng)變和單元應(yīng)力19連續(xù)體問(wèn)題的有限元方法的基本思想

20有限元法(FEM)是求解偏微分方程邊值問(wèn)題近似解的數(shù)值方法邊值問(wèn)題未知量是由控制方程（橢圓、雙曲、拋物型）描述的場(chǎng)變量（如位移、溫度、流體速度等）邊界條件是給定的場(chǎng)變量值或者其偏導(dǎo)數(shù)有限元法的基本概念21有限元法的基本概念有限元分析的基本思想是將求解域場(chǎng)分成小的子區(qū)域，通常稱(chēng)為“單元”或“有限元”。對(duì)每一單元假定一個(gè)分片近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問(wèn)題的解。有限元法方程的系數(shù)矩陣通常是稀疏的，便于求解。有限元法不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況的工程結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題。有限元法應(yīng)用于場(chǎng)（力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)、流體場(chǎng)等）分析、熱傳導(dǎo)、非線形材料的彈塑性蠕變分析等22(a)二維問(wèn)題的幾何域(b)三角形單元(c)有限元網(wǎng)格的一部分單元有限元網(wǎng)格有限元法中的離散各種幾何形狀的有限元單元23三角形的頂點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)（node）節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)變量（這里是溫度）將作為自變量被直接求解node熱傳導(dǎo)問(wèn)題的三角形單元node有限元法中的場(chǎng)變量表示以平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題的三角形單元為例24除了節(jié)點(diǎn)外的其他各位置的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的場(chǎng)變量如何確定？

單元內(nèi)部點(diǎn)的場(chǎng)變量值由單元節(jié)點(diǎn)的插值(interpolation)給出:T=?有限元法中的場(chǎng)變量表示

,,和是插值函數(shù)，稱(chēng)為位移函數(shù)或形函數(shù)。插值函數(shù)所包括的多項(xiàng)式階數(shù)越高，越能精確表示位移分布。25常見(jiàn)平面單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù)三節(jié)點(diǎn)三角形單元CST(常應(yīng)變單元)六節(jié)點(diǎn)三角形單元二次插值八節(jié)點(diǎn)四邊形單元二次插值CST三角形單元網(wǎng)格劃分簡(jiǎn)單，但對(duì)于彎曲過(guò)剛；線性應(yīng)變?nèi)切卧鑼?xiě)彎曲性能遠(yuǎn)優(yōu)于CST單元四邊形單元剖分有時(shí)比較困難，但性能較好四節(jié)點(diǎn)四邊形單元雙線性插值26四節(jié)點(diǎn)四面體單元線性插值（常應(yīng)變）十節(jié)點(diǎn)四面體單元二次插值（線性應(yīng)變）八節(jié)點(diǎn)四面體單元Lagrange單元非完全三次插值二十節(jié)點(diǎn)Serendipity單元四面體單元網(wǎng)格剖分簡(jiǎn)單，但四節(jié)點(diǎn)四面體精度較差八面體單元精度較好，但網(wǎng)格剖分比較困難常見(jiàn)三維單元形狀與節(jié)點(diǎn)數(shù)27一維單元(x)(x)(x)不同形式的單元插值28二維單元不同形式的單元插值29三維單元不同形式的單元插值(x,y,z)(x,y,z)30有限元法總體思路有限元法通過(guò)加權(quán)余量法（或變分法、最小勢(shì)能原理、虛功原理等）將偏微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程，便于計(jì)算機(jī)處理將求解域剖分為網(wǎng)格，對(duì)節(jié)點(diǎn)變量進(jìn)行單元分片插值值單元矩陣形成規(guī)范化，形函數(shù)只與坐標(biāo)有關(guān)，便于計(jì)算機(jī)計(jì)算單元?jiǎng)偠汝嚱M裝為整體系數(shù)矩陣后，考慮邊界條件，求解矩陣方程即可得到節(jié)點(diǎn)未知量。31有限元法的理論基礎(chǔ)概述將微分方程轉(zhuǎn)化為等效積分弱形式變分原理加權(quán)余量法采用單元上的分片假設(shè)近似函數(shù)，將積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組32FiniteDifference(FD)Method:FD對(duì)微分算子進(jìn)行近似在節(jié)點(diǎn)上建立方程FiniteElement(FE)Method:FE采用精確的算子，但利用基函數(shù)對(duì)場(chǎng)變量進(jìn)行近似在問(wèn)題域上建立方程（需要積分形式）