泊松與拉普拉斯方程

2.3.1電位函數(shù)

一、電位函數(shù)與電位差

電位函數(shù)1)電位函數(shù)為電場的輔助函數(shù)，是一個標(biāo)量函數(shù)；2)“－”表示電場指向電位減小最快的方向；3)在直角坐標(biāo)系中引入電位函數(shù)：可由一標(biāo)量函數(shù)表示。關(guān)于電位函數(shù)的討論

電位差反映了電場空間中不同位置處電位的變化量。

電位差的計算：

電位差（電壓）意義：A、B兩點間的電位差等于將單位點電荷從B點移動到A點過程中電場力所作的功。兩點間電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)關(guān)于電位差的說明電場空間中兩點間電位差為：空間中任意點間的電位為：

電位參考點顯然，電位函數(shù)不是唯一確定的，可以加上任意一個常數(shù)仍表示同一個電場，即為使空間各點電位具有確定值，必須選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值1)應(yīng)使電位表達(dá)式有意義2)應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單3)同一個問題只能有一個參考點4)電位參考點電位一般為0；選擇電位參考點的原則:二、電位函數(shù)的求解

點電荷的電位選取Q點為電位參考點，則若電位參考點Q在無窮遠(yuǎn)處，即則：點電荷在空間中產(chǎn)生的電位

說明：若電荷分布在有限區(qū)域，一般選擇無窮遠(yuǎn)點為電位參考點體電荷：面電荷：線電荷：式中：說明：若參考點在無窮遠(yuǎn)處，則c=0。引入電位函數(shù)的意義：簡化電場的求解！在某些情況下，直接求解電場強度很困難，但求解電位函數(shù)則相對簡單，因此可以通過先求電位函數(shù)，再關(guān)系得到電場解。

分布電荷體系在空間中產(chǎn)生的電位電勢(電位）的計算方法:1)利用點電荷的電勢公式和疊加原理2)根據(jù)已知的場強分布,按定義來計算電勢的計算例題例1.均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢例2.均勻帶電球面的電勢例3.均勻帶電球體的電勢例4.電偶極子的電勢ydlRxorxP例1.半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布。帶電量為q,p點離圓心距離為x.而電荷元則電荷線密度其在p點產(chǎn)生的電勢為則例2.半徑為R的均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢分布。解：以O(shè)為圓心，取半徑為LL+dL的薄圓環(huán)，到P點距離P點電勢：OLdLpxR帶電dq=ds=?2L?dL由高斯定理知，電場分布為R解：例3.求一均勻帶電球面內(nèi)外的電勢分布。P.

1.當(dāng)r<R時

3.電勢分布

2.當(dāng)r>R時r.Pr電勢分布曲線場強分布曲線EVRRrrOO結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。由高斯定理知，電場分布為R解：例4.求一均勻帶電球體內(nèi)外的電勢分布。P.

1.當(dāng)r<R時

3.電勢分布

2.當(dāng)r>R時r.Pr例5.求一均勻帶電同心球面的電勢分布。半徑為R1和R2,所帶電荷為q1和q2。oR2R1q1q2ⅠⅡⅢ解：均勻帶電球面的電勢分布

無限長線電荷的電位電位參考點不能位于無窮遠(yuǎn)點，否則表達(dá)式無意義。選擇有限遠(yuǎn)點Q作為參考點。根據(jù)表達(dá)式最簡單原則，選取r=1柱面為電位參考面，即得：無限長線電流在空間中產(chǎn)生的電位

2.3.2泊松方程拉普拉斯方程

柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的拉普拉斯運算見附錄。

標(biāo)量場的拉普拉斯運算在直角坐標(biāo)系中：

矢量場的拉普拉斯運算在直角坐標(biāo)系中：對標(biāo)量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在圓柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：一、靜電場電位方程的建立即：電位的泊松方程在無源區(qū)域，電位的拉普拉斯方程二、電位方程的應(yīng)用可用于求解靜電場的邊值問題。

例.同軸傳輸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑外導(dǎo)體半徑已知內(nèi)導(dǎo)體的電位為U0，外導(dǎo)體接地。試求同軸傳輸線內(nèi)的電位和電場分布。解：線內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程且邊界條件：根據(jù)方程有：積分后有：加入邊界條件：于是：1、場源積分法積分困難，對大多數(shù)問題不能得出解析解。2、應(yīng)用高斯定理求解只能應(yīng)用于電荷成對稱分布的問題。3、間接求解法先求解空間電位分布，再求解空間電場。在實際工程應(yīng)用中，間接求解法應(yīng)用最為廣泛，適用于邊值問題的求解。小結(jié)：求空間電場分布的方法電偶極子是一種非常重要的物理模型電偶極矩（電矩）(方向由負(fù)電荷指向正電荷)偶極子電介質(zhì)(中性分子)就可以作一個電偶極子等效。此即電介質(zhì)的電偶極子模型。1、電偶極子中垂線上任一點的電場強度。二、電偶極子激發(fā)的靜電場2、電偶極子延長線上任一點的電場強度。解（1）r電偶極矩（電矩）++用矢量形式