直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言 圖形語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都判定定理垂直?，則該直線與此垂直于同一個(gè)平面的性質(zhì)定理兩條直線平行如果一條直線與平面內(nèi)再多（即無數(shù)條）的直線垂直，但這些直線不相交就不能說明這條直線與此平面垂直.2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言一個(gè)平面過另一個(gè)平判定定理面的垂線?，則這兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直，則一性質(zhì)定理個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

符號(hào)語言a，b?αa∩b＝O?l⊥αl⊥al⊥ba⊥α?a∥bb⊥α符號(hào)語言l?β?α⊥βl⊥αα⊥βl?β?l⊥αα∩β＝al⊥a[?要求一平面只需過另一平面的垂線． ]二、常用結(jié)論直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．考點(diǎn)一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例] 如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明] (1)在四棱錐 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.PD?平面PCD，∴AE⊥PD.PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解題技法] 證明線面垂直的 4種方法(1)線面垂直的判定定理：

l⊥a，l⊥b，a?

α，b?

α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：

α⊥β，α∩β＝l，a?

α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α，②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)[口訣歸納]線面垂直的關(guān)鍵，定義來證最常見，判定定理也常用，它的意義要記清 .平面之內(nèi)兩直線，兩線相交于一點(diǎn)，面外還有一直線，垂直兩線是條件 .[題組訓(xùn)練]1．(2019·徽知名示范高中聯(lián)考安)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D為AC上的點(diǎn)，B1C∥平面A1BD.(1)求證：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱錐 A-BCB1的體積．解： (1)證明：如圖，連接 ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，B1C∥ED，E為AB1的中點(diǎn)，∴D為AC的中點(diǎn)，AB＝BC，∴BD⊥AC.A1A⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴A1A⊥BD.又∵A1A，AC是平面A1ACC1內(nèi)的兩條相交直線，∴BD⊥平面A1ACC1.(2)由AB＝1，得BC＝BB1＝1，12由(1)知AD＝2AC，又AC·AD＝1，∴AC＝2，AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，11△ABC＝AB·BC＝，22∴V＝VB1-ABC＝1△＝1×1×1＝1A-BCB13SABC·BB1326.2.如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)如圖所示，取 AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考點(diǎn)二 面面垂直的判定與性質(zhì)[典例](2018江·蘇高考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求證：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[證明] (1)在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形 ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B.因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解題技法]證明面面垂直的2種方法利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證定義法明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題定理法利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決[題組訓(xùn)練]1．(2019·漢調(diào)研武)如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.求證：平面 PAC⊥平面ABC.證明：取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO.因?yàn)椤鰽BC是邊長為 2的正三角形，所以BO⊥AC，BO＝ 3.1因?yàn)镻A⊥PC，所以PO＝2AC＝1.2 2 2因?yàn)镻B＝2，所以O(shè)P＋OB＝PB，所以PO⊥OB.所以BO⊥平面PAC.又OB?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.2.(2018安·徽淮北一中模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，且PA＝AD.求證：(1)AF∥平面PEC；(2)平面PEC⊥平面PCD.證明：(1)取PC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，G為PC的中點(diǎn)，∴FG為△CDP的中位線，1∴FG∥CD，F(xiàn)G＝2CD.∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，1∴AE∥CD，AE＝2CD.∴FG＝AE，F(xiàn)G∥AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，又EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴AF∥平面PEC.(2)∵PA＝AD，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，∴AF⊥PD，PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD，CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]A級(jí)1．設(shè)a，b是兩條不同的直線， α，β是兩個(gè)不同的平面，則能得出A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β解析：選C 對(duì)于C項(xiàng)，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得2．(2019湘·東五校聯(lián)考)已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確的命題是 ( )

a⊥b的是( )a⊥b，故選C.β，給出下列命題：A．①④

B．③④C．①②

D．①③解析：選A 對(duì)于①，若 α∥β，m⊥α，l?β，則m⊥l，故①正確，排除 B.對(duì)于④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又l?β，所以α⊥β.故④正確．故選 A.3．已知PA垂直于以 AB為直徑的圓所在的平面， C為圓上異于 A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是

(

)A．PA⊥BCC．AC⊥PB

B．BC⊥平面D．PC⊥BC

PAC解析：選

C

由PA⊥平面

ACB?PA⊥BC，故

A不符合題意；由

BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合題意；AC⊥PB顯然不成立，故C符合題意．4.如圖，在四面體 ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點(diǎn)D在平面

ABC

內(nèi)的射影

H必在(

)A．直線

AB上

B．直線

BC

上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部解析：選A 因?yàn)锳B⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC?平面ABC，所以平面 ABC⊥平面ABD，所以點(diǎn) D在平面ABC內(nèi)的射影 H必在直線 AB上．5.如圖，在正四面體

P-ABC

中，

D，E，F(xiàn)

分別是

AB，BC，CA

的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論不成立的是 ( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：選D 因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以 BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確．在正四面體中， AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B、C均正確．6.如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________個(gè)；與AP垂直的直線有________個(gè)．解析：∵PC⊥平面ABC，PC垂直于直線AB，BC，AC.AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：3 17．設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α∥β；②若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α；③設(shè)α∩β＝l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α⊥β；④直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．其中所有的真命題的序號(hào)是________．解析：①正確；②正確；滿足③的α與β不一定垂直，所以③錯(cuò)誤；直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，所以④錯(cuò)誤．故所有的真命題的序號(hào)是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：如圖所示，因?yàn)锳A1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯(cuò)誤；由AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正確．答案：①③9．(2019·原模擬太)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐 P-NBM的體積．解： (1)證明：連接 BD.PA＝PD，N為AD的中點(diǎn)，PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝1×3×3＝3.22AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴VP-NBM＝VM-PNB＝2VC-PNB＝2×1×3×2＝2.3332310.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明：(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，在△ABC中，因?yàn)?D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)．所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1，因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D，又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，所以B1D⊥平面A1C1F，因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.B級(jí)1．(2018·國卷Ⅱ全)如圖，在三棱錐 P-ABC中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．解：(1)證明：因?yàn)樗訮O⊥AC，且連接OB，

PA＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，PO＝2 3.因?yàn)锳B＝BC＝22AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝1AC＝2.2所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因?yàn)锳C∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足為H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC＝1AC＝2，CM＝2BC＝42，∠ACB＝45°，23325OC·MC·sin∠ACB45所以O(shè)M＝3，CH＝OM＝5.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為455.2．(2019·南中原名校質(zhì)量考評(píng)河)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面PAD；(2)平面BEF⊥平面PCD.證明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，AB∥DE且AB＝DE，∴四邊形ABED為平行四邊形，AD∥BE，又BE?平面PAD，AD?平面PAD，BE∥平面PAD.(2)∵AB⊥AD，∴四邊形 ABED為矩形，BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA⊥CD，又PA∩AD＝A，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn)，PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面 BEF⊥平面PCD.第六節(jié) 直線、平面平行與垂直的綜合問題考點(diǎn)一立體幾何中的探索性問題[典例](2018全·國卷Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧?CD所在平面垂直，M是?CD上異于C，D的點(diǎn)．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．[解](1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因?yàn)镸為?CD上異于C，D的點(diǎn)，且 DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因?yàn)镈M?平面AMD，所以平面 AMD⊥平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD.證明如下：連接AC交BD于O.因?yàn)樗倪呅?ABCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．連接OP，因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.[題組訓(xùn)練]1.如圖，三棱錐 P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC2，∠BAC＝60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，若存在，請(qǐng)說明理由，并求PM的值．MC解：(1)由題設(shè)AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，1·AB·AC·sin60＝°3可得S△ABC＝2.2由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐 P-ABC的高，又PA＝1，所以三棱錐13.P-ABC的體積V＝·S△ABC·PA＝63(2)在線段PC上存在點(diǎn) M，使得AC⊥BM，證明如下：如圖，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BN⊥AC，垂足為N.在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M，連接BM.由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC.因?yàn)锽N∩MN＝N，所以AC⊥平面MBN，又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝12，3從而NC＝AC－AN＝，PM AN 1由MN∥PA，得MC＝NC＝3.2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC＝PD＝2，E為PC的中點(diǎn)，CB＝3CG.(1)求證：PC⊥BC；(2)AD邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC.因?yàn)樗倪呅?ABCD是正方形，所以 BC⊥CD.又PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因?yàn)镻C?平面PCD，所以PC⊥BC.(2)連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接EO，GO，延長GO交AD于點(diǎn)M，連接EM，則PA∥平面MEG.證明如下：因?yàn)?E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，所以EO∥PA.因?yàn)镋O?平面MEG，PA?平面MEG，所以PA∥平面MEG.2因?yàn)椤鱋CG≌△OAM，所以AM＝CG＝，2所以AM的長為3.考點(diǎn)二 平面圖形的翻折問題[典例](2018·國卷Ⅰ全)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面 ACD⊥平面ABC；2(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段 BC上一點(diǎn)，且 BP＝DQ＝3DA，求三棱錐 Q-ABP的體積．解：(1)證明：由已知可得，∠ BAC＝90°，即BA⊥AC.又因?yàn)锽A⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得， DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.2又BP＝DQ＝3DA，所以BP＝2 2.1如圖，過點(diǎn) Q作QE⊥AC，垂足為E，則QE綊3DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP＝1×S△ABP×QE＝1×1×3×22sin45°×1＝1.332[題組訓(xùn)練

]1．(2019

·北五校聯(lián)考湖

)如圖

1所示，在直角梯形

ABCD

中，∠

ADC＝90°，AB∥CD，1AD＝CD＝2AB＝2，E

為

AC

的中點(diǎn)，將△

ACD

沿

AC

折起，使折起后的平面

ACD

與平面ABC垂直，得到如圖 2所示的幾何體 D-ABC.(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)點(diǎn)F在棱CD上，且滿足 AD∥平面BEF，求幾何體 F-BCE的體積．解：(1)證明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2，BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E為AC的中點(diǎn)，∴EF為△ACD的中位線，由(1)知，幾何體F-BCE的體積VF-BCE＝VB-CEF＝1×S△CEF×BC，3S△CEF＝1S△ACD＝1×1×2×2＝1，4422112＝2∴VF-BCE＝××23.322．(2018合·肥二檢)如圖1，在平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝560°，CD＝ED＝7，cos∠EDC＝7.將△CDE沿CE折起，使點(diǎn)D到P的位置，且AP＝3，得到如圖 2所示的四棱錐 P-ABCE.(1)求證：AP⊥平面ABCE；(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線 l，求證：AB∥l.證明：

(1)在△CDE

中，∵

CD＝ED＝

7，cos∠EDC＝5，7由余弦定理得 CE＝ 72＋ 72－2× 7× 7×57＝2.連接AC，AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝3，∴在△PAE中，AP2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.AC∩AE＝A，AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，∴AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]1.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形 (記此圓為W)，且PA⊥平面ABCD.(1)當(dāng)BD是圓W的直徑時(shí)，PA＝BD＝2，AD＝CD＝3，求四棱錐P-ABCD的體積．(2)在(1)的條件下，判斷在棱PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)因?yàn)锽D是圓W的直徑，所以BA⊥AD，因?yàn)锽D＝2，AD＝3，所以AB＝1.同理BC＝1，所以S四邊形ABCD＝AB·AD＝3.因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA＝2，1＝23所以四棱錐P-ABCD的體積V＝S四邊形ABCD·PA3.32(2)存在，AQ＝3.理由如下．延長AB，DC交于點(diǎn)E，連接PE，則平面 PAB與平面PCD的交線是PE.假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn) Q，使得BQ∥平面PCD，則BQ∥PE，所以AQ＝AB.PAAE經(jīng)計(jì)算可得BE＝2，所以AE＝AB＋BE＝3，所以AQ＝2.3故存在這樣的點(diǎn)Q，使BQ∥平面PCD，且AQ＝2.32.如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，點(diǎn)M在棱A1B11A1B1.已知點(diǎn)E是直線CD上的一點(diǎn)，AM∥平面BC1E.上，且A1M＝3(1)試確定點(diǎn) E的位置，并說明理由；(2)求三棱錐 M-BC1E的體積．解：(1)點(diǎn)E在線段CD上且EC＝1，理由如下：在棱因?yàn)樗?/p>

C1D1上取點(diǎn)N，使得D1N＝A1M＝1，連接MN，DN，D1N∥A1M，所以四邊形D1NMA1為平行四邊形，MN綊A1D1綊AD.所以四邊形 AMND為平行四邊形，所以 AM∥DN.因?yàn)镃E＝1，所以易知 DN∥EC1，所以AM∥EC1，又AM?平面BC1E，EC1?平面BC1E，所以AM∥平面BC1E.故點(diǎn)E在線段CD上且EC＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，所以VM-BCE＝VA-BCE＝VC-ABE＝1×1×3×3×4＝6.111323．(2019湖·北武漢部分學(xué)校調(diào)研)如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明：BE⊥平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn) M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出AM的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．AB解：(1)證明：∵四邊形 ABCD為矩形且 AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊥平面D1AE.AM 1(2)當(dāng) ＝時(shí)，MF∥平面D1AE，理由如下：取D1E的中點(diǎn)L，連接FL，AL，∴FL∥EC，又EC∥AB，1∴FL∥AB，且FL＝4AB，∴M，F(xiàn)，L，A四點(diǎn)共面，又MF∥平面AD1E，∴MF∥AL.∴四邊形AMFL為平行四邊形，AM1AM＝FL＝4AB，AB＝4.4．如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D)，延長AE交BC于點(diǎn)F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖2所示．(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線 DM∥平面A1EF.(2)求證：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線 A1B與直線CD能否垂直？請(qǐng)說明理由．解：(1)證明：∵D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點(diǎn)，DM∥EF，又∵EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，DM∥平面A1EF.(2)證明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E?平面A1EF，EF?平面A1EF，BD⊥平面A1EF，又A1F?平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直線A1B與直線CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，EF⊥平面A1BD，又∵A1B?平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假設(shè)A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，A1B⊥平面BCD，A1B⊥BD，與∠A1BD為銳角矛盾，∴直線A1B與直線CD不能垂直．5．(2019·南名校聯(lián)考河)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段EF上．(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)當(dāng)EM為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．解：(1)證明：在梯形ABCD中，因?yàn)锳B∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四邊形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.3(2)當(dāng)EM＝3a時(shí)，AM∥平面BDF，理由如下：如圖，在梯形 ABCD中，設(shè)AC∩BD＝N，連接FN.由(1)知四邊形ABCD為等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2DC，則CN∶NA＝1∶2.2 3易知EF＝AC＝ 3a，所以AN＝3 a.3因?yàn)镋M＝3a，23所以MF＝3EF＝3a，所以MF綊AN，所以四邊形 ANFM是平行四邊形，所以AM∥NF，又NF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF.6.如圖所示的五面體 ABEDFC中，四邊形ACFD是等腰梯形，ADFC，∠DAC＝60°，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．(1)在AD上是否存在一點(diǎn) H，使GH∥平面BCD？若存在，指出點(diǎn)H的位置并給出證明；若不存在，說明理由；(2)求三棱錐 G-ECD的體積．解：(1)存在點(diǎn)H使GH∥平面BCD，此時(shí)H為AD的中點(diǎn)．證明如下．取點(diǎn)

H為

AD

的中點(diǎn)，連接

GH，因?yàn)辄c(diǎn)

G為

AC

的中點(diǎn)，所以在△

ACD

中，由三角形中位線定理可知

GH∥CD，又GH?平面

BCD，CD?

平面

BCD，所以

GH∥平面

BCD.(2)因?yàn)锳D∥CF，AD?平面ADEB，CF?平面ADEB，所以CF∥平面ADEB，因?yàn)镃F?平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE，所以CF∥BE，又CF?平面ACFD，BE?平面ACFD，所以BE∥平面ACFD，所以VG-ECD＝VE-GCD＝VB-GCD.因?yàn)樗倪呅?ACFD是等腰梯形，∠ DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，又CA＝CB＝CF＝1，所以CD＝3，CG＝12，又BC⊥平面ACFD，所以VB-GCD＝1×1CG×CD×BC＝1×1×1×3×1＝3.32322123所以三棱錐 G-ECD的體積為12.第七節(jié) 空間角考點(diǎn)一異面直線所成的角[典例](1)(2018全·國卷Ⅱ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()2B.3A.2257C.2D.2(2)(2019成·都檢測(cè))在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()11A.2B．－233C.2D．－2[解析](1)如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB.在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝5，則tan∠EAB＝BE＝5，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為5AB22.(2)如圖，分別取 AB，AD，BC，BD的中點(diǎn) E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝2a，F(xiàn)G＝a2＋a2＝2a，所以∠FEG＝60°，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為1，2故選A.[答案] (1)C (2)A[題組訓(xùn)練]1．在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB＝ 2BB1，則AB1與BC1所成角的大小為 ( )A．30°B．60°C．75°D．90°解析：選D將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角．設(shè)BB1＝2，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD23，又因?yàn)锽C1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小．解：(1)如圖所示，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是 AC與A1D所成的角．AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.考點(diǎn)二 直線與平面所成的角[典例](1)(2018全·國卷Ⅰ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A．8B．62C．82D．83(2)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為9，底面是邊長為3的正三角4形．若P為底面A1B1C1的中心，則 PA與平面ABC所成角的大小為 ________．[解析] (1)如圖，連接 AC1，BC1，AC.AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝sin30°AC21－AC2＝ 42－22＋22＝2 2，V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.(2)如圖所示，設(shè)

O為△ABC

的中心，連接

PO，AO，易知

PO⊥平面ABC，則∠PAO為

1PA與平面ABC所成的角．S△ABC＝2×

3×

3×

sin33，60°＝4∴VABC-ABC＝S339，∴OP＝3.111△44又OA＝3×23×23＝1，∴tan∠OAP＝OPOA＝3，∴∠OAP＝60°.故PA與平面ABC所成角為60°.[答案] (1)C (2)60°[題組訓(xùn)練]1．在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB＝1，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為()106A.4B.4106C.5D.5解析：選B如圖，取AC，A1C1的中點(diǎn)分別為M，M1，連接MM1，BM，過點(diǎn)D作DN∥BM交MM1于點(diǎn)N，則易證DN⊥平面AA1C1C，連接AN，則∠DAN為AD與平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，3DN＝2＝6sin∠DAN＝AD24.2．(2019青·海模擬)如圖，正四棱錐P-ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE與平面PAC所成的角為()A．60°B．30°C．45°D．90°解析：選A如圖，在正四棱錐P-ABCD中，根據(jù)底面積為6可得，BC＝6.連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PO，則PO為正四棱錐P-ABCD的高，根據(jù)體積公式可得，PO＝1.因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，連接EO，則∠BEO為直線BE與平面PAC所成的角．在 Rt△POA中，因?yàn)?PO＝1，OA＝ 3，所以PA＝2，1BO＝3，即∠BEO＝60°.OE＝2PA＝1，在Rt△BOE中，因?yàn)锽O＝3，所以tan∠BEO＝OE故直線BE與平面PAC所成角為60°.考點(diǎn)三 二面角[典例](1)已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長為26，則側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為________．(2)已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，M為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ACM沿CM折起，得到三棱錐P-CBM，如圖所示．則當(dāng)二面角P-CM-B的大小為AB＝________.60°時(shí)，PB[解析](1)如圖，O為正方形ABCD的中心，M為BC的中點(diǎn)，連接PO，PM，OM，∠PMO即為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．設(shè)底面邊長為a，則2a2＝(26)2，∴a＝23，∴OM＝3.又四棱錐的體積

V＝1×(2 3)2×PO＝12，∴PO＝3，3∴tan∠PMO＝

3

＝

3，∴∠PMO＝60°.故所求二面角為

60°.3(2)如圖，取 BC的中點(diǎn)E，連接AE，EM，PE，設(shè)AE∩CM＝O，連接PO，再設(shè)AC＝2，由∠C＝90°，tanA＝ 2，可得BC＝2 2.在Rt△MEC中，可得tan∠CME＝2，在Rt△ECA中，可得tan∠AEC＝2，∴∠CME＋∠AEM＝90°，∴AE⊥CM，∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE即為二面角 P-CM-B的平面角，∴∠ POE＝60°.∵AE＝22＋22＝6，OE＝1×sin∠CME＝6，∴PO＝AO＝2633.在△POE中，由余弦定理可得，PE＝262＋62－2×236×6×1＝2，3332PE2＋CE2＝PC2，即PE⊥BC.又∵E為BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC＝2.在Rt△ACB中，易得 AB＝2 3，∴ABPB＝ 3.[答案] (1)60°(2) 3[題組訓(xùn)練]1．已知二面角的棱上有 A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于 AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2 17，則該二面角的大小為 (

)A．150°

B．45°C．120°

D．60°解析：選D如圖，AC⊥AB，BD⊥AB，過A在平面ABD內(nèi)作AE∥BD，過D作DE∥AB，連接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝217，DE＝4，則CE＝213，在△ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝CA2＋AE2－CE22CA×AE1，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小為60°.22.如圖，

AB

是⊙O

的直徑，

PA垂直于⊙

O所在平面，

C是圓周上不同于

A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且

AB＝2，PA＝BC＝

3，則二面角

A-BC-P的大小為

________．所以

解析：因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以PA⊥BC，因?yàn)锳C∩PA＝A，所以

AC⊥BC，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA

為二面角

A-BC-P

的平面角．因?yàn)椤?/p>

ACB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝

3，所以

AC＝1，所以在

Rt△PAC

中，tan∠PCA＝PA＝

3.所以∠

PCA＝60°.即所求二面角的大小為

60°.AC答案：60°[課時(shí)跟蹤檢測(cè) ]111D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，則A11與平面A11．在正方體ABCD-ABCBEF所成角的正切值為()A．2B.2C．1D.3解析：選BA1B1與平面A1EF所成的角就是∠B1A1C，tan∠B1A1C＝B1C＝2.A1B12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝453，那么二面角 A-BD-P的大小為()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：選A 作AO⊥BD交BD于點(diǎn)O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即為所求二面角 A-BD-P的大小．AO＝AB·AD＝12，BD5tan∠AOP＝AOAP＝33，故二面角A-BD-P的大小為30°.3.如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN的長度為()A．5B．6C．8D．10解析：選A如圖，取AD的中點(diǎn)P，連接PM，PN，11BD＝3，則PM∥BD，PN∥AC，PN＝AC＝4，PM＝22∴∠MPN即為異面直線 AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，∴MN＝5.故選A.4．已知AB∥平面α，AC⊥平面 α于點(diǎn)C，BD是平面α的斜線，D是斜足，若 AC＝9，BD＝6 3，則BD與平面α所成的角的大小為 ________．解析：如圖，過B作BE⊥平面α，垂足為E，則BE＝9.連接DE，則∠BDE為BD與平面α所成的角．在Rt△BED中，sin∠BDE＝BDBE＝3，所以∠BDE＝60°.2答案：60°75．(2018全·國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為8，SA與圓錐底面所成角為45°，若△SAB的面積為