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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線:()與拋物線:交于(坐標(biāo)原點(diǎn)),兩點(diǎn),直線:與拋物線交于,兩點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),設(shè)其前n項(xiàng)和,若(),則()A.30 B. C. D.623.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.54.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.6.如圖,在平行四邊形中,為對(duì)角線的交點(diǎn),點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn),且,,則()A. B.C. D.7.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù)集,集合,集合,則()A. B. C. D.9.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項(xiàng)和為()A.18 B.24 C.36 D.7210.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.11.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.14.復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_______.15.若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是_______16.已知拋物線,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,則線段長(zhǎng)度的取值范圍為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展,我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視,企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),并制定如下方案:每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元,日常全天候開(kāi)啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即檢查污染源處理系統(tǒng);若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè),且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段(以1小時(shí)為計(jì)量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為,且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.(1)當(dāng)時(shí),求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)(不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用),除運(yùn)行費(fèi)用外,所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施,問(wèn)該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)?并說(shuō)明理由.18.(12分)如圖,四邊形為菱形,為與的交點(diǎn),平面.(1)證明:平面平面;(2)若,,三棱錐的體積為,求菱形的邊長(zhǎng).19.(12分)某芯片公司對(duì)今年新開(kāi)發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測(cè)評(píng),該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片,并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為五個(gè)小組(所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中.(1)求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)(同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測(cè)試,該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行初測(cè)。若3個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分,則認(rèn)定該芯片合格;若3個(gè)工程手機(jī)中只要有2個(gè)評(píng)分沒(méi)達(dá)到11萬(wàn)分,則認(rèn)定該芯片不合格;若3個(gè)工程手機(jī)中僅1個(gè)評(píng)分沒(méi)有達(dá)到11萬(wàn)分,則將該芯片再分別置于另外2個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行二測(cè),二測(cè)時(shí),2個(gè)工程手機(jī)的評(píng)分都達(dá)到11萬(wàn)分,則認(rèn)定該芯片合格;2個(gè)工程手機(jī)中只要有1個(gè)評(píng)分沒(méi)達(dá)到11萬(wàn)分,手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立,并且芯片公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對(duì)芯片的評(píng)分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個(gè)工程手機(jī)中的測(cè)試費(fèi)用均為300元,每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格,將不再進(jìn)行后續(xù)測(cè)試,現(xiàn)手機(jī)公司測(cè)試部門預(yù)算的測(cè)試經(jīng)費(fèi)為10萬(wàn)元,試問(wèn)預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測(cè)試完這100顆芯片?請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)積為.(1)求和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和,并證明:對(duì)任意的正整數(shù)m、k,均有.21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,,直線過(guò)點(diǎn),且與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的最大值.22.(10分)已知函數(shù),的最大值為.求實(shí)數(shù)b的值;當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;當(dāng)時(shí),令,是否存在區(qū)間,,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋咳舸嬖?,求?shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.2、B【解析】
根據(jù),分別令,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組,解方程組求出首項(xiàng)和公式,最后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意可知中:.由,分別令,可得、,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:,因此.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模4、D【解析】
通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題5、D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】
由題意得,,求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
可得集合,求出補(bǔ)集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.12、B【解析】
令,則,由圖象分析可知在上有兩個(gè)不同的根,再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令,則,如圖與頂多只有3個(gè)不同交點(diǎn),要使關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則有兩個(gè)不同的根,設(shè)由根的分布可知,,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,涉及到一元二次方程根的分布,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出,再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當(dāng)時(shí),顯然,符合題意;當(dāng)時(shí),在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.16、【解析】
連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進(jìn)而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當(dāng)最小時(shí),最小,設(shè)點(diǎn),則,所以當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),,此時(shí),因?yàn)殡S著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)不會(huì)超過(guò)預(yù)算,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)求出某個(gè)時(shí)間段在開(kāi)啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開(kāi)啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元,則的可能取值為900,1500.求得,,求得其分布列和期望,對(duì)其求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得期望的最大值,從而得出結(jié)論.【詳解】(1)某個(gè)時(shí)間段在開(kāi)啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開(kāi)啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元,則的可能取值為900,1500.,令,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,的最大值為,實(shí)施此方案,最高費(fèi)用為(萬(wàn)元),,故不會(huì)超過(guò)預(yù)算.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望,及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值,由根據(jù)期望值確定方案,此類題目解決的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量,屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)1【解析】
(1)由菱形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì),可得平面,再由面面垂直的判定定理,即可得證;(2)設(shè),分別求得,和的長(zhǎng),運(yùn)用三棱錐的體積公式,計(jì)算可得所求值.【詳解】(1)四邊形為菱形,,平面,,又,平面,又平面,平面平面;(2)設(shè),在菱形中,由,可得,,,,在中,可得,由面,知,為直角三角形,可得,三棱錐的體積,,菱形的邊長(zhǎng)為1.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定,注意運(yùn)用線面垂直轉(zhuǎn)化,考查三棱錐的體積的求法,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)(2)預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)先求出,再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù);(2)先求出每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望,再比較得解.【詳解】(1)依題意,,故.又因?yàn)椋裕笃骄鶖?shù)為(萬(wàn)分)(2)由題意可知,手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個(gè)工程機(jī)中進(jìn)行檢測(cè)評(píng)分達(dá)到11萬(wàn)分的概率.設(shè)每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用為X元,則X的可能取值為600,900,1200,1500,,,故每顆芯片的測(cè)試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為(元),因?yàn)?,所以顯然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測(cè)試完這100顆芯片.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、(1),;(2),證明見(jiàn)解析【解析】
(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和,進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題.21、(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P(2,y0)是拋物線上一點(diǎn),|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點(diǎn)P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是y2+4my﹣4=0的兩個(gè)不同實(shí)根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴當(dāng)m時(shí),取最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法,考查向量的數(shù)量積的最大值的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.22、(1);(2)時(shí),在單調(diào)增;時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;時(shí),同理在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(3)不存在.【解析】分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),取得極大值,也是最大值,由,可得結(jié)果;(2)求出,分三種情況討論的范圍,
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