【新高考解析】2021年4月湖南金太陽(yáng)模擬卷考試數(shù)學(xué)試題及參考答案

2021年4月湖南金太模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：答題前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上?；卮疬x題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效?？荚嚱Y(jié)后，將本試卷和答題卡一并交回。本試卷要考試內(nèi)容高考全部?jī)?nèi)容。一、單選題：共8題，每題分，共分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符題目要求若數(shù)

滿足

z

=1

，則

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限

第二象限

C.第三象限

第象限已集合

AB

AB

C.

A

R

ABR在ABC中DB

BC，

21312ABACB.ACC.ABABAC3222232

我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界領(lǐng)先的成.

哥德巴赫猜想如下：每個(gè)大于的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如20.

在不超過(guò)的素?cái)?shù)中，機(jī)選取個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)的和是奇數(shù)概率是

3D.814

若展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64則展開(kāi)式中第三項(xiàng)為A.

x6.過(guò)物線

的焦點(diǎn)作線與拋線交于，B點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，AF

，BF，

C.

-1-

已三棱錐P的個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R球面上，且

，若三棱錐體積的最大值為

32

，該球的表面積為

326416D.927丹數(shù)學(xué)家琴生Jensen）是世對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.函數(shù)

f

上的導(dǎo)函數(shù)為

f

上的導(dǎo)函數(shù)f

上

f

，則稱函數(shù)

f

上為“凹函”已知f

e

在

上為凹函數(shù)，則實(shí)數(shù)

t

的取值范圍是

C.

二、多選題：共4題，每小題分，共分全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分有選錯(cuò)的得0分若是的分不必要條件，是s的必要條件，t是q的要條件，t是充分條件，則是的必要不充分條件

t

是q的要件C.是

的充要條件

是

的充要條件10.已函

fx

,0x,x

，若關(guān)于

x

的方程

f

有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且冪函數(shù)

在

上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的值可能是C.e

11.日導(dǎo)演竹內(nèi)亮拍攝的記錄片《后疫情時(shí)代》是繼《南京抗疫現(xiàn)場(chǎng)不見(jiàn)，武漢》之后，又一部以中國(guó)抗疫為主題的記錄片力該片以南京馬拉松比賽、無(wú)人配送，網(wǎng)絡(luò)直播等為切入點(diǎn)，真記錄了中國(guó)在疫情防控復(fù)工復(fù)產(chǎn)方面取得的重大成就，并指出在新冠疫情沖擊下，中國(guó)在全球主要經(jīng)濟(jì)體中率先恢復(fù)增長(zhǎng)，成為世界經(jīng)濟(jì)體中的亮”.中記錄某物流公司引進(jìn)智能無(wú)人配送技術(shù)，為疫情期間居家隔離網(wǎng)上購(gòu)物帶來(lái)了很大的便利，同時(shí)也大大提升了公司的效.2020年全年總收與2019年年總收入相比增長(zhǎng)了一倍，同時(shí)該公司的各項(xiàng)運(yùn)營(yíng)成本也隨著收入的變化發(fā)生了相變化下給出了該公司這兩年不同運(yùn)營(yíng)成本占全年總成本的比.已該公司這兩年的年利潤(rùn)率相同，-2-

注年利潤(rùn)(全總收入一全年總成)全年總收.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.該司年材料費(fèi)用等于2019年資金額與研發(fā)費(fèi)用的總和B.該司2020年發(fā)費(fèi)用是2019年資金額、原材料費(fèi)用、其費(fèi)用三項(xiàng)的總和C.該司2020年他費(fèi)用占2019年資金額的

D.該司年備費(fèi)用是2019年材料費(fèi)用的兩倍12.如，矩形BDEF所平面與正方形在平面互相垂直，G線段上動(dòng)點(diǎn)，則A.AECFB.面體ABCDEF的積為

C.G為段AE的點(diǎn)，則GB平CEFD.BG

CG

的最小值為11三、填空題：本題共4小題，每小題，共分13.寫(xiě)一圓心在直線

3xy

上，且與

x

軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

14.已偶數(shù)

f

6

3

(

，

0,

)的最小正周期

，則

；

（本題第一空分，第二空3分15.若數(shù)2區(qū)間是

a

216．知雙曲線C:ab的、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)，F(xiàn)作線與雙曲線的條a2b漸近線交于B點(diǎn)點(diǎn)在段上，且AF，若BFF為腰三角形，且AF11線的心率為．四、解答題：本題共6小題，共分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明程或演算步.

，則雙曲17.在項(xiàng)列

，

，且

aaaa

（1求

公；3（2求數(shù)列

的前項(xiàng).-3-

18.在△中，ACB90ABC30AC2，為BC中點(diǎn)，在段AB上（1若△

的面積為

34

，求cosCED；（2當(dāng)CDE的長(zhǎng)小時(shí)，求

AEBE

19.如，多面體ABCDEF中四邊形等腰梯形，ABBC，，邊ADEF直角梯形，且，DE，AFAD，AF//DE，平面ABCD平.（1證明：平面BDE平面；（2線段EF是否存在一點(diǎn)P，平面PAB與面CDE所銳二面角的余弦值為請(qǐng)說(shuō)明P點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理.

34

？若存在，-4-

（1求這100名受訪群眾年齡的平均數(shù)x方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中值代)（2由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，受訪群眾的年齡服正態(tài)分布N.近為s

，①求

P46.6

；②從年齡在中，按分層抽樣的方法，抽出7人加訪談節(jié)目錄制，再?gòu)倪@中隨機(jī)抽出人作為代表發(fā)言，設(shè)這3發(fā)言人的年齡落在的分布列和數(shù)學(xué)期望.

內(nèi)的人數(shù)為，變量Y參考數(shù)據(jù)：取

，若XNP

-5-

21.如，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)已橢圓:

2的左、右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)，左，右頂點(diǎn)分別為A，aB，光線從點(diǎn)(

射出經(jīng)橢圓C上點(diǎn)反射，法與圓C在P處切線垂直的直線與x交于點(diǎn)Q已知PF，F(xiàn)Q1

（）橢圓的程（）F的直線與橢圓C交于M，兩點(diǎn)均不與A，重)，線MB與直線4交點(diǎn)證明：，，三共線.22．知x．（）論f（）對(duì)任意的，x，使得12

，明：x

．-6-

1湖南金太4月模擬卷答案1一、選擇題本大題共8小，小題5分共40分題號(hào)答案

1A

2C

3C

4B

5D

6A

7A

8C1.【答案】【解析】因?yàn)?/p>

(1)2

，所以z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以選2.【答案】【解析】因?yàn)锳2ABe，以選C.R33.【答案】【解析】ADACACCBAC(ABAC)ABAC所以選24.【答案】【解析因?yàn)椴怀^(guò)的數(shù)有：，，，，，17，共8，隨機(jī)選取個(gè)同的數(shù)，其和為數(shù)，則必有2所以所求的概率為5.【答案】【解析】

7，以B.C因?yàn)檎归_(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64，令

，可得(

，所以n

.因?yàn)橥?xiàng)公式r

r(rx，以T(，選D.6.【答案】【解析】如圖，設(shè)準(zhǔn)線為l

，過(guò)A作AEl

于，過(guò)作BCl

于C，因?yàn)锳F，以是PA的點(diǎn)，所以AFp.因?yàn)锽F，所以

22p2p

，解得，以選A.7.【答案】【解析】如圖，ABC

內(nèi)接圓的半徑為

BC，3當(dāng)

為正三角形（的積大）且，O，O三點(diǎn)共線時(shí)，三棱錐的體積最.因?yàn)閂

11SOO)(R)R，以O(shè)O，322在Rt，由R

23

)

，得

2

，所以該球的表面積為9

.-7-

8.【答案】C【解析因?yàn)?/p>

f

(x1)ex

1(x

2t，所以.xxx2因?yàn)閒()在上“凹函數(shù)，以在(0,2)上f

2t)e恒成立x3x即t

2)ex.令()(2x

，，

)(x2)x

，所以(x)上調(diào)遞增，在(1,2)上調(diào)遞減，所以()

(1)故t(二、選擇題每題5分共20全部選對(duì)的得分，有選錯(cuò)的得0分部分選對(duì)的得2分題號(hào)答案

9ABD

10AD

11ACD

12ACD9.【答案】ABD【解析】題知qts，s，qts

，所以B,D正確因?yàn)閝t

，且pq的充分不必要條件，所以是s的分不必要條件，t10.【答案】【解析】()的象如圖所示，

是的必要不充分條件，所以正，不確因?yàn)閒()有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即fx)的圖象與有只有一個(gè)交點(diǎn)，所以a}又因?yàn)間()a在(0,單調(diào)遞.所以e【答案】ACD

，所以{1}.【解析】妨設(shè)年全年總成本為t

，則年全年總成本為2t

.該司

年原材料費(fèi)用為t

，年工資金額與研發(fā)費(fèi)用的和為0ttt

，故A錯(cuò)誤；該公司2020研發(fā)費(fèi)用為t，2019年工金額、原材料費(fèi)用、其他費(fèi)用三項(xiàng)的和為tttt，故B正；該公司2020其他費(fèi)用為t

，年工資金額為t

，故錯(cuò)；該公司2020設(shè)備費(fèi)用為tt，年原材料費(fèi)為t，故D錯(cuò)誤-8-

2212.【答案】【析如圖，將幾何體補(bǔ)全成棱長(zhǎng)為2的方體．在正方體中，因?yàn)?/DM，AE，以，A正；22因?yàn)閂ABCDEF

正方

VFAME

16，所以錯(cuò)；3當(dāng)為段的點(diǎn)時(shí)，為平面BD//平CEF所以GB//平CEF，故C正確；過(guò)作AD的線，垂足為H連接HB，HC，

AB

AG

DG

AG

AH

DH

GH

，因?yàn)锳H，所以BG22AH)AHAHAH)，當(dāng)時(shí)，BG

CG

取得最小值，故D正．三、填空題本大題共4小，小題5分共20分題號(hào)

13141516答案

(4)（答案不唯一）

1；

0

或

26313案(x4)

2

（答案不唯一析】設(shè)圓的方程為x

2

)

2

2

(r

4,b0,，則只要符合即，如rbr14案1；解】f()621)sin())63

．因?yàn)閒(x)

的最小正周期為所以

2

．因?yàn)閒(x)

為偶函數(shù)，所以22

．因?yàn)?/p>

5(0,)，以12

15.【答案】01【解析】x-9-

02nn2222nnnn02nn2222nnnnn

時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)

時(shí)，因?yàn)?/p>

，所以f

的單調(diào)遞減區(qū)間為

，由a

，得

或a

，均不合題意；當(dāng)

時(shí)，因?yàn)?/p>

，所以f

的單調(diào)遞減區(qū)間為

，由

2

得

(舍去）或

.綜上：或a16.【答案】

263【解析】設(shè)B,

，因?yàn)锽AAF，以為中因?yàn)锳F1

c

，所以BF

.因?yàn)閑q\o\ac(△,)F是腰三角形，且F2c121

，所以BF

.由

0

，可得xc，yc4因?yàn)锽點(diǎn)漸近線上，所以

15326cc，理得24ac，故離心率4a4

.四、解答題（共70分解答應(yīng)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17析（）為

a，以a，2.nn因?yàn)閍，a，所以數(shù)列差1n因?yàn)閍，以a3.n

的等差數(shù)列，從而a.（）為

n

3n3

所以4n

n，故Sn.n18.【解析】（）△中因?yàn)锳CB9030,AC2所以ABBD3因?yàn)?/p>

eq\o\ac(△,)

13BD24

，所以因?yàn)镈E

BE

BDcos30，以因?yàn)镃E

BC

BE

BC，以在CDE中由余弦定理得cos

CE

57214（）圖，過(guò)C作的垂線，垂足為H，延長(zhǎng)使HF，接DF交于，-10-

22222此時(shí)CE取最小值DF，CDE的22222在△中因?yàn)镃H，以CF3.在CDF中因?yàn)?/p>

CF

CD

CFcos60，所以DF.因?yàn)镃D

CF

，所以DFBC，以AC因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以E為AB的點(diǎn)，故

AEBE

.19.【解析】（）明：在等腰梯形中

，AD，得BAD60

.在ABD中由余弦定理可得，所以AB

，所以ABBD.1分因?yàn)槠矫妗兔鍭DEF且于AD，⊥，所以⊥平面2分又因?yàn)锳BC面ABCD，所以3分因?yàn)?/p>

DED所以AB面..........................................................................................................4分又因?yàn)锳B平，所平面BDE平面5分（）：如圖，過(guò)作AD的線交AD于O，O在面ADEF內(nèi)AD的線，建立空間直角坐標(biāo)系xyz，..........................................................................................6分1則0,,02

，

33

33，D0,，E，,022

，7分FE(1,2,0)，F(xiàn)P，,02

8分13DE，DC,

，

-11-

設(shè)平面CDE的法向量為my,z則

x01y2

0

，令z，3,1)............................................9分設(shè)平面的向量為z

，則

3y2

，令z，得n,

.............................10所以|cos

|m|||n

，......................................................11分解得20.【解析】

，即當(dāng)P為的點(diǎn)時(shí)滿足題.12分（）

0.050.150.15

，

2分s

2

2

0.05

2

2

2

0.2

2

0.15180

4分，（）由知所以X46.6)(

0.68272

0.1359.

6分②分層抽樣抽取的7人年齡在3人4人分所以

的可能取值為0,1,2,3.因?yàn)?/p>

Y

C4CC2，Y4CC7

，P(2)

C2C014，(Y3)4C3C3

10分所以

的分布列為Y

1418121353535351812故的數(shù)學(xué)期望353535-12-

12分

1axy12121.【解析】1axy121（）由光學(xué)性質(zhì)可知是PF的角平分線，所以

FQ

Q

.因?yàn)?/p>

，所以，122

，從而3，橢圓的方程為.43（）明設(shè)直線MN的程為x，y

，聯(lián)立方程組

y

得

m9，y，yy，m232因?yàn)橹本€的程

yx

(，所以令x，

2yx

，因?yàn)锳Ny

，

2x

，又

26yymy