了解計算數(shù)學(xué)

了解計算數(shù)學(xué)作為計算數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，就不能對自己領(lǐng)域內(nèi)的專家不有所了解。早些年華人在計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域里面占有一席之地是因為馮康院士獨立于西方，創(chuàng)立了有限元方法，而后又提出辛算法。這里只是列出幾位比較年輕的華人計算數(shù)學(xué)專家，因為他們代表了當(dāng)前計算數(shù)學(xué)的研究熱點，也反映華人對計算數(shù)學(xué)的發(fā)展的貢獻(xiàn)。侯一釗（加州理工）研究方向：計算流體力學(xué)、多尺度計算與模擬、多相流.edu/~hou/鄂維南（Princeton大學(xué)）北京大學(xué)長江學(xué)者，研究方向：多尺度計算與模擬.cn/staff/weinane.htm包剛（Michigan州立大學(xué)）吉林大學(xué)長江學(xué)者，研究方向：光學(xué)與電磁場中的計算等.edu/~bao/金石（Wisconsin大學(xué)）清華大學(xué)長江學(xué)者，研究方向：雙曲守恒律、計算流體力學(xué)、動力學(xué)理論等.edu/~jin/湯濤（香港浸會大學(xué)）中科院，研究方向：移動網(wǎng)格法等.edu.hk/~ttang/舒其望（Brown大學(xué)）中科大長江學(xué)者，研究方向：計算流體力學(xué)、譜方法.edu/people/shu/home.html陳漢夫（香港中文大學(xué)）研究方向：數(shù)值線性代數(shù).edu.hk/~rchan/許進(jìn)超（Pennsylvania州立大學(xué)）北京大學(xué)長江學(xué)者，研究方向：有限元、多重網(wǎng)格法.edu/xu/袁亞湘中科院，研究方向為非線性最優(yōu)化.cn/~yyx/張平文（北京大學(xué)）北京大學(xué)長江學(xué)者，研究方向為復(fù)雜流體的模擬、多尺度計算與模擬、移動網(wǎng)格法等./pzhang/index.html陳志明（中科院）研究方向：科學(xué)計算與數(shù)值分析，主要為有限元法.cn/~zmchen/index-c.html其他還有黃維章、吳宗敏、XuKun、程今等人也非常突出。作為計算數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，經(jīng)常閱讀本專業(yè)中的主要雜志也許是頗有裨益的。理論：最好的基本是MathematicsofComputationNumerischeMathematikSIAMJournalonNumericalAnalysisSIAMJournalonMatrixAnalysis&ApplicationsSIAMJournalonScientificComputing較好的有：BITIMAJournalofNumericalAnalysisAdvancesinComputationalMathematicsInverseProblems還有應(yīng)用性質(zhì)的雜志：JournalofComputationalPhysicsInternationalJournalforNumericalMethodsinEngineeringComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineeringInternationalJournalforNumericalMethodsinFluidsComputersandFluidsComputationalMechanics還有很多帶有Computational字眼的其他學(xué)科的期刊：JournalofComputationalChemistry，ComputationalMaterialSciences也可以瀏覽。但是作為入門來說，大家的綜述特別能幫助我們這些新人迅速把握了解、把握一個領(lǐng)域，因而值得特別重視。這方面最好的是劍橋大學(xué)出版社出版的ActaNumerica連續(xù)出版物。ActaNumerica每年出版一本，作者均是該領(lǐng)域的頂尖人物。比如說最近幾年水平集方法非常熱門，05年就有一篇水平集方法創(chuàng)始人之一的StanleyOsher寫的LevelSetMethodinImageScience。其他論題有：entropystability(TadmorE)，radialbasisfunction(BuhmannMD等等。該出版物可以從網(wǎng)上可以找到不少。另外一本就是SIAMReviewoSIAMReview的每一期里面都有幾篇文章關(guān)于計算數(shù)學(xué)的內(nèi)容的，經(jīng)常從實際問題引伸出計算的問題，或者是介紹每一個領(lǐng)域的最新進(jìn)展等。SIAMNews的每一期也有關(guān)于計算的有意思的短文，不妨瀏覽瀏覽。作為數(shù)學(xué)系的學(xué)生，無疑是需要讀很多數(shù)學(xué)書。計算數(shù)學(xué)的書可以稱得上是汗牛充棟。微分方程數(shù)值解是計算數(shù)學(xué)中的核心論題。傳統(tǒng)的方法有有限差分法、有限元法、邊界元法和譜方法。有限差分法想法最為簡單，比較容易理解。李榮華的那本《微分方程數(shù)值解》就介紹了最基本的東西：收斂性、相容性和穩(wěn)定性。Richtmeyer&Morton^^DifferenceMethodsforInitial-ValueProblems》則是差分法方面的經(jīng)典著作。R.LeVeque最近也有一本《FiniteDifferenceMethodforDifferentialEquations》也很有意思，介紹了差分方法的新的現(xiàn)代概念。LeVeque的書可以在他的主頁(.edu/~rjl/)上下載，他的另外一本書《NumericalMethodsforConservationLaws》是守恒律數(shù)值方法方面非常出色的著作。有限元法方面自然是推薦使用Ciarlet的《TheFiniteElementMethodforEllipticProblems》，這也是系里專業(yè)科的教材。另外卜Brenner&Scott^^MathematicalTheoryoftheFiniteElementMethod》據(jù)說也是不錯的。譜方法對于規(guī)則區(qū)域上的問題往往是最為有效的方法。華東師大的郭本瑜教授在這方面做過很好的工作，他的《SpectralMethodsandTheirApplications》廣受好評。Purdue大學(xué)的沈捷教授也有很出色的工作，他的一個講義可從他的主頁Cedu/~shen/)上下載，同時還有相關(guān)的Matlab和Fortran程序。譜方法方面最好的入門書為Trefethen的《SpectralMethodsinMatlab》，其他的還有Canuto等人的《SpectralMethodsinFluidDynamics》。除了上面這些方法之外，還有近年來比較熱門的無網(wǎng)格方法，這些可以參考張雄和劉巖的《無網(wǎng)格方法》(清華大學(xué)出版社，2003,50￥)。計算數(shù)學(xué)的主要工具是泛函分析。一般推薦的Yoshida的《FunctionalAnalysis))(有中譯本：吉田耕作，《泛函分析》)或者Rudin的《FunctionalAnalysis》。這兩本書都是非常難的，但是也是非常經(jīng)典的書，可能當(dāng)字典比較合適。但是，泛函分析里面重要的定理在計算里面并不見得特別有用，所以我們要甄別那些可能有用的東西，Sawyer的《數(shù)值泛函分析引論》也許是比較合適的入門讀物。這本書里面介紹了一些泛函分析概念的來由，如Holder不等式的導(dǎo)出，也有泛函分析在計算數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，比如Kantorovich迭代收斂性準(zhǔn)則的解釋。張恭慶的《泛函分析》強調(diào)泛函分析的應(yīng)用，里面也有一些應(yīng)用于數(shù)值計算的例子，比如Lax等價定理，值得讀一下。計算數(shù)學(xué)還有其他許多重要的分枝，如矩陣計算、反問題、計算流體力學(xué)、最優(yōu)化、逼近論等。由于這方面本人涉略甚少，這里也沒有什么好說的了。希望計算數(shù)學(xué)這些方向的其他同許能補充上去。最后補充一句，訂閱mailinglist也是不錯的，可以迅速獲得關(guān)于計算數(shù)學(xué)會議、新出版文章等的信息。中文的推薦使用CAM，可在下面的網(wǎng)址注冊.edu.hk/cam-net/indexcn.html英文的推薦訂閱CleverMoler的NADigest，可在下面的網(wǎng)址注冊-net接下來介紹幾本矩陣計算方面的書的。國外的大牛有Golub，很多這個方向的大家都是他的學(xué)生。Kahan,JamesDemmel,PeterStewart,LNTrefethen,Higham這個名單可以列的很長，這些人是矩陣計算方面的大家。矩陣計算方面最經(jīng)典的書應(yīng)該是JHWilkinson的《TheAlgebraicEigenvalueProblem》（有中譯本，石鐘慈等人譯，《代數(shù)特征值問題》，科學(xué)出版社，學(xué)校圖書館有，系里有英文版的）。這本書雖然老，但是據(jù)說讀一下還是很有啟發(fā)的?，F(xiàn)在的經(jīng)典是Golub和vanLoan的《MatrixComputation》（有中譯本，袁亞湘譯，《矩陣計算》，科學(xué)出版社），英文版的電子版可以在網(wǎng)上找到的。其他的書有Demmel的^AppliedNumericalLinearAlgebra》，Trefethen&Bau0^^NumericalLinearAlgebra》據(jù)說也是很好的。YousefSaad有兩本書《Iterativemethodsforsparsesystems》和《Numericalmethodsforlargeeigenvalueproblem5》，寫的挺有意思的，在他的主頁（，還得提至UHouseholder的一本老書，《Thetheoryofmatricesinnumericalanalysis》（有中譯本，系里中英文版的都有）。LNTrefethen現(xiàn)在是劍橋大學(xué)的教授，他寫的每一本書都很經(jīng)典，前面已經(jīng)到過他的幾本書了，《SpectralMethodinMatlab》，《NumericalLinearAlgebra》，還有GiniteDifferenceandSpectralmethods》（在他的主頁上可以down，.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）。讀他的書和文章感覺也是人生的一大享受。他在Cornell大學(xué)任教時，曾上過一門課，就是閱讀數(shù)值計算的經(jīng)典文獻(xiàn)。為此他寫過一個短文，列舉了數(shù)值計算中的十三篇經(jīng)典文獻(xiàn)，也許對大家有點啟發(fā)。Cooley&Tukey（1965）theFastFourierTransformCourant,Friedrichs&Lewy（1928）finitedifferencemethodsforPDE3.Householder（1958）QRfactorizationofmatricesCurtiss&Hirschfelder（1952）stiffnessofODEs;BDformulasdeBoor(1972)calculationswithB-splinesCourant(1943)finiteelementmethodsforPDEGolub&Kahan(1965)thesingularvaluedecompositionBrandt(1977)multigridalgorithmsHestenes&Stiefel(1952)theconjugategradientiterationFletcher&Powell(1963)optimizationviaquasi-NewtonupdatesWanner,Hairer&Norsett(1978)orderstarsandapplicationstoODE12.Karmarkar(1984)interiorpt.methodsforlinearprog.13.Greengard&Rokhlin(1987)multipolemethodsforparticles他的remark也很有意思，Wewerestruckbyhowyoungmanyoftheauthorswerewhentheywrotethesepapers(averageage:34),andbyhowshortaninfluentialpapercanbe(Householder:3.3pages,Cooley&Tukey:4.4).這說明大家都還是很有希望的，呵呵。反問題無疑是計算數(shù)學(xué)中最熱門的方向之一。該方向現(xiàn)在有如下幾本雜志：InverseProblems，JournalofInverseandIll-posedProblems,InverseProblemsinSciencesandEngineering(以前叫InverseProblemsinEngineering).第一本雜志最好，第二本雜志上面有很多蘇聯(lián)人的工作，第三本偏向于應(yīng)用。在很多高檔次的雜志中都有反問題方面的文章，比如SIAMJournalonNumericalAnalysis，SIAMJournalonMathematicalAnalysis,SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications，SIAMJournalonScientificComputing上也有不少反問題方面的文章。在國內(nèi)做反問題做的最好的應(yīng)該是復(fù)旦大學(xué)的程晉老師，他在反問題的理論估計方面有不少工作，南京大學(xué)的金其年老師也有不少好的結(jié)果(很年輕！)，哈工大有幾個人是做應(yīng)用方面的工作的(他們的前校長就是做地球物理中的反問題的)。國際上知名的有HWEngl(澳大利亞)，Yamamoto(日本)，Kress(德國)，MartinHanke(德國)，Isakov(美國)等。反問題的一個重要特點就是與實際問題聯(lián)系特別緊密，往往需要根據(jù)問題的特點設(shè)計專門的算法，這也是反問題的難點所在。很多應(yīng)用領(lǐng)域與反問題結(jié)合之后成為一個單獨的研究領(lǐng)域，如EIT。水平集方法應(yīng)用于反問題似乎是當(dāng)前反問題算法研究中的一個熱點。明尼蘇達(dá)大學(xué)的FadilSantosa最早將水平集方法應(yīng)用于求解反問題，但是沒有很大的反響。Engl的學(xué)生MartinBurger在2000年將水平集方法應(yīng)用于反問題(發(fā)表在InverseProblems上)，在國際上有很大的反響。MartinBurger在博士畢業(yè)后就被邀請到UCLA的Osher的小組作研究，并和Osher一起就水平集方法在反問題的應(yīng)用作了一個綜述和展望，值得參考。反問題反面最為經(jīng)典的當(dāng)屬Tikhonov和Arsenin的《SolutionsofIll-posedProblems》(有中譯本，《不適定問題的解法》)。現(xiàn)在反問題反面每篇重要的文章基本上都要引用這本書。這本書比較抽象，算法方面有所涉及，但是不多。后來Tikhonov和Yogola等人一起寫過非線性反問題反問題理論方面的書，還寫過一本算法方面的書，可惜書名我已經(jīng)忘記的。個人感覺Groetsch的《ThetheoryofTikhonovregularizationforFredholmequationofthefirstkin》是比較好的入門書，這本書比較薄，也比較容易讀懂。讀了這本書之后，閱讀反問題理論方面應(yīng)該不會有很大問題。Kress的《LinearIntegralEquations》和Kirsch的《AnIntroductiontotheMathematicalTheoryofInverseProblems》也是不錯的入門書。Engl等人的《RegularizationofInverseProblems》廣受好評，應(yīng)該可以作為進(jìn)一步閱讀的材料。專門的著作有很多，如Isakov的《Inverseproblemsforpartialdiffere