量子力學(xué)-21一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)

第2章一維勢(shì)場(chǎng)中的粒子引言

本章主要是用Schr?dinger方程來(lái)處理一維粒子的能量本征態(tài)問(wèn)題.

下面先討論一維粒子的能量本征態(tài)的一些共同的特點(diǎn).

設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中(考慮定態(tài)的情況下)的能量本征方程為在上式中，（1）為能量本征值.為相應(yīng)的能量本征態(tài).2.1一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(實(shí)數(shù)值)

在求解能量本征方程(1)時(shí)，要根據(jù)具體物理問(wèn)題的邊條件來(lái)定解．如束縛態(tài)條件,散射態(tài)的邊條件等.

為此先討論其一般解有關(guān)的七條基本性質(zhì)．其中前4條,不僅對(duì)一維問(wèn)題成立,對(duì)于三維問(wèn)題也同樣適用.

下面先對(duì)該方程的解的一般性質(zhì)進(jìn)行討論．定理1也是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量也是,則設(shè)也是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量也是對(duì)應(yīng)的能量本征值為是能量本征方程(1)的一個(gè)解,設(shè)也是方程(1)的一個(gè)解,對(duì)應(yīng)的能量也是,則

假設(shè)對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值,方程(1)解無(wú)簡(jiǎn)并,(即只有一個(gè)獨(dú)立的解),則可取為實(shí)解(除了一個(gè)無(wú)關(guān)緊要的常數(shù)因子之外).對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值,總可以找到方程(1)的一組實(shí)解,凡是屬于的任何解,均可表示為這一組實(shí)解的線性疊加.定理2

對(duì)于能級(jí)有簡(jiǎn)并的情況,要用到此定理.定理3定義空間反射算符

即把空間坐標(biāo)

設(shè)具有空間反射不變性，如是方程（1）的對(duì)應(yīng)于能量本征值的解，則也是方程（1）的對(duì)應(yīng)于能量的解.對(duì)于一維粒子,則為

偶宇稱解(evenparity)

奇宇稱解(oddparity)

一維諧振子和一維對(duì)稱方勢(shì)阱都是具有空間反射對(duì)稱性，它們的能量本征態(tài)都有確定的宇稱。

如果對(duì)應(yīng)于某能量方程(1)的解無(wú)簡(jiǎn)并,則解必有確定的宇稱(parity).

對(duì)于能級(jí)有簡(jiǎn)并的情況，能量本征態(tài)并不一定就具有確定宇稱.此時(shí)，可以用定理（4）來(lái)處理定理4適用范圍

設(shè)則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征值總可以找到方程(1)的一組解(每個(gè)解都有確定的宇稱),而屬于能量本征值的任何解，都可用它們來(lái)展開(kāi).

在坐標(biāo)表象中,涉及波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題,應(yīng)從能量本征方程(1)出發(fā),根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行討論.

如是的連續(xù)函數(shù),則與必為的連續(xù)函數(shù).

但是如不連續(xù),或有某種奇異性,則及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題需要具體分析.對(duì)于階梯形方位勢(shì)（2）對(duì)于一維有限深方勢(shì)阱，這個(gè)定理明顯成立.定理5

能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的(但如，則定理不成立).（3）定理6注意

對(duì)于束縛態(tài)(boundstate),

當(dāng)時(shí),所以式(3)中常數(shù)必為0.結(jié)論

因此,對(duì)于同屬于能量的任何兩個(gè)束縛態(tài)波函數(shù)與

對(duì)于一維粒子，設(shè)與均為方程（1）的屬于同一能量的解，則定理7!

設(shè)粒子在規(guī)則（regular）勢(shì)場(chǎng)(無(wú)奇點(diǎn))中運(yùn)動(dòng)，如存在束縛態(tài)，則必定不簡(jiǎn)并的.

對(duì)于常見(jiàn)的不規(guī)則勢(shì)阱(如無(wú)限深勢(shì)阱,勢(shì)阱等),在絕大多數(shù)情況下上述定理也成立.

但對(duì)于某些不規(guī)則勢(shì)阱,如一維氫原子除基態(tài)外,其他束縛態(tài)均為二重簡(jiǎn)并.

其特征是波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在的奇異點(diǎn)處,兩個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)具有不同宇稱.先考慮一個(gè)理想的情況——無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子.在阱內(nèi)

能量本征方程為勢(shì)阱表示為為粒子質(zhì)量,

2.2方勢(shì)阱2.2.1無(wú)限深方勢(shì)阱,離散譜注意與是待定常數(shù).而按照邊條件,得即給出的波函數(shù),無(wú)物理意義,而取負(fù)值與取正值所給出的波函數(shù)描述的是同一個(gè)量子態(tài).n0=n則方程(2)的解可表示為按邊條件則要求

聯(lián)合式(5)和(3)結(jié)論

一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量是量子化的，即構(gòu)成的能譜是離散的．

稱為體系的能量本征值.與En

對(duì)應(yīng)的波函數(shù)記為稱為能量本征函數(shù)，利用歸一化條件則歸一化的波函數(shù)表示為

,取為實(shí)數(shù).設(shè)

為阱寬,為勢(shì)阱高度,以下討論束縛態(tài)情況.在阱外(,經(jīng)典禁區(qū)),能量本征方程為2.2.2有限深對(duì)稱方勢(shì)阱則方程的解具有如下指數(shù)函數(shù)形式

但考慮到束縛條件（要求處），波函數(shù)應(yīng)取如下形式這正是2.21無(wú)限方勢(shì)阱的邊條件的根據(jù)常數(shù)和待定.當(dāng)（無(wú)限深勢(shì)阱）即,則當(dāng)上式.在阱內(nèi)(,經(jīng)典允許區(qū)),能量本征方程為(a)偶宇稱態(tài)引入無(wú)量綱參數(shù)令

則方程的解可表為如下振蕩函數(shù)形式:根據(jù)和(14)式,有得到(b)奇宇稱態(tài)對(duì)于超越方程組(15),可用數(shù)值計(jì)算求解或用圖解法近似求解.利用的連續(xù)條件可求出與偶宇稱態(tài)類似,引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù),則上式化為時(shí),才可能出現(xiàn)最低的奇宇稱能級(jí).即奇宇稱態(tài)與偶宇稱態(tài)不同,只當(dāng)從而能確定能量本征值.2.2.3束縛態(tài)與離散態(tài)束縛能量本征態(tài)

的能量是離散的,按照能量本征方程在經(jīng)典允許區(qū)

波函數(shù)是的振蕩函數(shù)

而且在愈大的地方,振蕩愈快.此外,由于與的正負(fù)號(hào)相反,

總是向軸彎曲.

區(qū)域,曲線向下彎;區(qū)域,曲線向上彎.結(jié)論與此不同,在經(jīng)典的禁區(qū)波函數(shù)是的指數(shù)上升或下降的函數(shù)無(wú)振蕩現(xiàn)象.由于與的正負(fù)號(hào)相同,總是背離軸彎曲，即在

區(qū)域,

曲線向上彎曲;在

區(qū)域

曲線向下彎曲.根據(jù)上述特點(diǎn),可以定性討論粒子能量的可能取值(即本征值)以及波函數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù).()xyy2.2.4方勢(shì)壘的反射與透射設(shè)具有一定能量的粒子沿軸正方向射向方勢(shì)壘從量子力學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，考慮到粒子的波動(dòng)性,此問(wèn)題與波碰到一層厚度為的介質(zhì)相似,即有一部分波透過(guò),一部分波被反彈回去.先考慮情況.在勢(shì)壘外(,經(jīng)典允許區(qū)),能量的本征方程表示為由于勢(shì)壘的存在,在區(qū)域中,既有入射波

,

也有反射波

,而在區(qū)域中只有透射波所以所以式中和分別表示反射波與透射波,相應(yīng)的反射流密度和透射流密度分別為所以反射系數(shù)=

投射系數(shù)=其可取為通解在勢(shì)壘內(nèi)部(,經(jīng)典禁區(qū)),其能量本征方程為按式在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致上兩式相加減,分別得消去R

解出類似,在點(diǎn)的連續(xù)性條件導(dǎo)致因此,為透射系數(shù)類似,消去S,可得出R,而反射系數(shù)為透射系數(shù)表示粒子被勢(shì)壘反彈回去的概率,表示粒子透過(guò)勢(shì)壘的概率.可以看出粒子能穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象,成為隧穿效應(yīng).對(duì)于情況,從式可以看出,只需在式中,把利用式,可改寫成此時(shí)對(duì)于方勢(shì)阱的透射,上述理論仍然適用,透射系數(shù)T仍由式給出,但應(yīng)把,即2.2.5方勢(shì)阱的反射,透射與共振由式可以看出，如果，則一般來(lái)說(shuō)T值很小，除非入射粒子能量E合適，使此時(shí)，T=1（反射系數(shù)），這現(xiàn)象稱為共振透射.它出現(xiàn)的條件是或改寫成由式可求出共振時(shí)的能量共振能級(jí)如粒子能量很小，按2.2.2節(jié)的討論，是可能形成束縛態(tài)的.這相當(dāng)于式中量子數(shù)較小的情況.如較大，使則不能形成束縛態(tài).但如能量合適，滿足式，則將出現(xiàn)共振透射.式所確定的稱為其中,常數(shù)不含時(shí)Schr?dinger方程表示為

設(shè)有質(zhì)量為m的粒子（能量E>0）從左入射，碰到勢(shì)壘2.3δ勢(shì)2.3.1δ勢(shì)的穿透x=0

是方程的奇點(diǎn)，在該點(diǎn)不存在，表現(xiàn)為在x=0

點(diǎn)不連續(xù).

所以在x=0

點(diǎn)一般是不連續(xù)的,除非對(duì)方程積分，可得（3）式稱為勢(shì)中的躍變條件.

解仍為但邊條件有所不同，根據(jù)x=0

點(diǎn)連續(xù)以及躍變條件有在處方程化為()6消去R，得而由于入射波的波幅已取為1，所以透射系數(shù)反射系數(shù)(b)

勢(shì)的特征長(zhǎng)度為，特征能量為.透射系數(shù)只依賴于，即特征能量與入射粒子能量之比.當(dāng)時(shí),即高能極限下粒子將完全穿透勢(shì)壘.(a)如勢(shì)壘換為勢(shì)阱，透射及反射系數(shù)的值不變，仍如式和所示.

討論：（c）可以看出顯然在x=0點(diǎn),不連續(xù)，但粒子流密度卻是連續(xù)的，可見(jiàn)：從能流密度的連續(xù)性并不能得出的連續(xù)性.考慮粒子在勢(shì)阱

時(shí)，能量本征方程為積分，可得出的躍變條件2.3.2勢(shì)阱中的束縛態(tài)方程的解的形式為,考慮到，要求束縛能量本征態(tài)（不簡(jiǎn)并）具有確定宇稱.以下分別討論在區(qū)域，方程化為考慮到束縛態(tài)條件，偶宇稱態(tài)波函數(shù)應(yīng)表示為按式，可得粒子的能量本征值偶宇稱態(tài)為歸一化常數(shù).按躍變條件，可得由歸一化條件在區(qū)域中的概率為

：波函數(shù)應(yīng)表示為奇宇稱態(tài)

勢(shì)阱對(duì)奇宇稱態(tài)沒(méi)有影響，因而不可能形成束縛態(tài).連續(xù)條件

由波函數(shù)的（x=0

點(diǎn)），可得出A=0，所以不可能存在奇宇稱束縛能量本征態(tài).從物理上考慮:

奇宇稱函數(shù)在x=0點(diǎn)必為0

,而勢(shì)又恰好只在x=0

點(diǎn)起作用.所以

事實(shí)上，所有涉及勢(shì)的問(wèn)題,原則上均可以從方勢(shì)情況下的解取極限而得以解決.2.3.3

勢(shì)與方勢(shì)的關(guān)系，波函數(shù)微商的躍變條件

勢(shì)可以看成方勢(shì)的一種極限情況.

但直接用勢(shì)來(lái)求解,往往要簡(jiǎn)捷