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高考題中的阿基米德三角形圖1回顧:過拋物線x2=2py(p>0)上的點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程?結(jié)論:過拋物線x2=2py(p>0)外一點(diǎn)P(x0,y0),分別作拋物線的切線PA、PB,A、B分別是切點(diǎn),則直線AB的方程為
.由拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形.OABPF阿基米德三角形阿基米德是偉大數(shù)學(xué)家與力學(xué)家,并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號。xy結(jié)論:直線AB的方程為
.圖2(1,3)探究1:探究2:(a,b)性質(zhì)1:若阿基米德三角形ABP的邊AB即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線。OABPF
Cxy性質(zhì)2:若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn),以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形ABP的底邊AB過定點(diǎn)。OABPF
CxyMOAB
xy-2pN思考:把M改成拋物線外任意一點(diǎn),結(jié)論仍然成立嗎?POABF
xyN性質(zhì)3:如圖,ABP是阿基米德三角形,N為拋物線弦AB中點(diǎn),則直線PN平行于拋物線的對稱軸.BBPAOxyMOQABC
PxyM(M)性質(zhì)4:在阿基米德三角形ABP,則OABPF
xyB
探究4:證明:(Ⅰ)對任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F(0,1),所以可設(shè)直線的方程為由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得性質(zhì)4:在阿基米德三角形ABP,則OABPF
xyB
性質(zhì)5:如圖:在阿基米德三角形ABP,若F為拋物線焦點(diǎn),則OABPF
xy同理可得:
分析:設(shè)切點(diǎn)
∴∠AFP=∠PFB.∴∴推論:在阿基米德三角形ABP,若弦AB過拋物線焦點(diǎn)F,則OABPF
OABPF
xyB推論:在阿基米德三角形ABP,若弦AB過拋物線焦點(diǎn)F,則課堂小結(jié):2.關(guān)鍵點(diǎn):阿基米德三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。QOABC
F1.一個(gè)阿基米德三角形3.方法:求導(dǎo)法;主元法;設(shè)而不求法。OABPF
A1B1xyOABPF
xy方法2:①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為的距離為:,則P點(diǎn)到直線AF即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為:所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.②當(dāng)時(shí),直線AF的方程:所以P點(diǎn)到直線AF的距離為:同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.OABPF
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