初中數(shù)學中的規(guī)律

初中數(shù)學中的規(guī)律佛山市教育局教學研究室

孫治中

2012年12月一、規(guī)律概念(百度百科)1.什么叫規(guī)律？基本解釋：事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系，決定著事物發(fā)展的必然趨向。詳細解釋：規(guī)章律令；整齊而有規(guī)則；事物之間的內(nèi)在的必然聯(lián)系，決定著事物發(fā)展的必然趨向。哲學解釋：規(guī)律亦稱法則，是客觀事物發(fā)展過程中的本質(zhì)聯(lián)系，具有普遍性的形式。

規(guī)律和本質(zhì)是同等程度的概念，都是指事物本身所固有的、深藏于現(xiàn)象背后并決定或支配現(xiàn)象的方面。然而本質(zhì)是指事物的內(nèi)部聯(lián)系，由事物的內(nèi)部矛盾所構(gòu)成，而規(guī)律則是就事物的發(fā)展過程而言，指同一類現(xiàn)象的本質(zhì)關(guān)系或本質(zhì)之間的穩(wěn)定聯(lián)系，它是千變?nèi)f化的現(xiàn)象世界的相對靜止的內(nèi)容。

規(guī)律是反復起作用的，只要具備必要的條件，合乎規(guī)律的現(xiàn)象就必然重復出現(xiàn)。世界上的事物、現(xiàn)象千差萬別，它們都有各自的互不相同的規(guī)律，但就其根本內(nèi)容來說可分為自然規(guī)律、社會規(guī)律和思維規(guī)律。一個客觀事物，有其內(nèi)在本質(zhì)屬性，也有外顯的表現(xiàn)形式。其中內(nèi)在本質(zhì)屬性關(guān)系可以理解為規(guī)律，外顯部分中同一類現(xiàn)象的(本質(zhì)關(guān)系的)描述亦可稱為規(guī)律的描述。比如，一元二次函數(shù)的本質(zhì)，你很難有完整的、全面的認識，我們只知道教材中一元二次函數(shù)的顯性規(guī)律(從數(shù)的角度看，左右的取值是全體實數(shù)，上下的取值一邊有界而一邊無限；從形的角度看，圖形成軸對稱，在對稱軸的兩邊有增減變化)，但難以知道隨著自變量每變化一個單位時因變量的變化情況(這反映了離對稱軸遠近圖形的變化的緩急)。2.規(guī)律的特點客觀性：規(guī)律是客觀的，既不能創(chuàng)造，也不能消滅；不管人們承認不承認，規(guī)律總是以其鐵的必然性起著作用。普遍性：主要指對于同一本質(zhì)的事物和現(xiàn)象具有普遍的支配作用(不含規(guī)律的普遍存在性)，如新陳代謝、四季更替，它適用于所有的階段、社會、領(lǐng)域、層次等。

必然性：指規(guī)律的存在、作用及規(guī)律作用的后果的不可避免性。

規(guī)律也是永恒的。規(guī)律與規(guī)則不同，規(guī)律是不變的客觀存在，規(guī)則是人為制定的且可修改、補充或廢除。二、初中數(shù)學中的規(guī)律這里主要說明數(shù)學現(xiàn)象的規(guī)律，而不說明研究數(shù)學現(xiàn)象的規(guī)律。

(3)數(shù)的規(guī)律三，研究數(shù)的集中或變化的趨勢(如統(tǒng)計中大量數(shù)據(jù)所反映的規(guī)律)。描述自然現(xiàn)象的大量隨機數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律，如頻率估計概率、數(shù)據(jù)分布形態(tài)(正態(tài)分布、二項分布、超幾何分布等)。

(5)圖形中的數(shù)值規(guī)律圖形中的數(shù)值規(guī)律主要是指圖形的構(gòu)成要素中所蘊含的數(shù)量關(guān)系，主要有如下幾類：平面直線型圖形中的邊、頂點、對角線、圖形構(gòu)造的三角形、直線的交點等數(shù)量及其關(guān)系，如“平面上10條直線每兩條相交最多有多少個交點”的問題；圖形變化時的不變量，即保數(shù)變換，如圖形變化時角的大小、面積大小等不變；正多面體中的歐拉公式；我們把數(shù)獨、九宮、幻方等也歸為這一類。

(6)圖形規(guī)律圖形規(guī)律主要是指圖形構(gòu)成中所蘊含的圖類、關(guān)系、特征性質(zhì)等。對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換等；保形變換、不動點問題等；玩撲克牌、棋盤上的構(gòu)圖、堆積木、魔方等；等腰三角形、平行四邊形等類圖形的性質(zhì)(可歸在下一類)。(7)法則、公式、定理等根據(jù)對規(guī)律的解釋，這些無疑都是規(guī)律。某些概念亦可歸結(jié)為此類。(8)方法古指量度方形的法則，現(xiàn)指為達到某種目的而采取的途徑、步驟、手段等。技術(shù)性的定義為“在人們?nèi)舾勺鍪逻^程的動作集合中，若這些過程的動作邏輯具有共同的特征集A，就說這些過程采取了方法A”【互動百科】。這里主要指程序性的解決問題的方法，如解各類方程(組)的方法。(9)模型如方程、函數(shù)、不等式、概率等模型，顯然是各類對象或現(xiàn)象的規(guī)律反映。(10)*學習與研究的一般規(guī)律(這是補充的研究數(shù)學現(xiàn)象(對象)的規(guī)律)分類的方法(生活與科學，學科門類與門內(nèi)等)、分析的方法(因素分析，多元分析等)、發(fā)現(xiàn)的方法、推理的方法、思考的方法、調(diào)查的方法等；比如在學習幾何時，圖形從簡單到復雜的構(gòu)造的規(guī)律。比如在學習四邊形時，如何認識與研究四邊形，如何認識與研究平行四邊形、矩形等的特征與判定。案例摘自本人教材分析《平行線的特征尋根》我們知道，在幾何知識的學習中，通常會根據(jù)一個(或一類)圖形的部分必要的特征給出這個(或這類)圖形的定義概念，然后會研究除了定義所給出的特征外的其它特征。在知道平行線的概念之后，給出兩條平行直線

、

，那么這兩條直線除了在同一平面內(nèi)沒有公共點這些特征外，還有其它的特征嗎？課本里給出的特征是“兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補”，這是很奇怪的事情，我們研究兩條平行直線的特征，怎么會產(chǎn)生角的問題呢？那么這個關(guān)于角的結(jié)論的“根”是什么呢？平行直線的特征還有哪些呢？

l1l2BADCFEHGIJNM如果我們可以進一步思考，把這個圖形固有的、但是隱含的特征作為研究的對象，則有以下兩個主要問題可以提出來。最可能出現(xiàn)的問題之一是觀察到作平行線的垂線段AB和CD，則AB=CD(反映兩條平行線之間遠近的問題)。最可能出現(xiàn)的問題之二是觀察到作平行線的傾斜程度相同的線段EF、GH和IJ，則EF=GH=IJ。這兩個問題的說明，近似的是根據(jù)測量的結(jié)果，較為嚴格的需要四邊形的知識。如果把線段兩端延長成MN的部分(這是可行的)，就可能有課本里角的問題。關(guān)于角的問題的說明，近似的亦是根據(jù)測量的結(jié)果，較為嚴格的是用反證的方法。

以上三個問題都不是平行直線的圖形中的顯性問題，而是在圖形改變后所產(chǎn)生的拓展的問題。

*如果說關(guān)于角的結(jié)論是判定直線平行的條件，那么關(guān)于線段的結(jié)論也是判定直線平行的條件。這里先研究角的問題，原因可能是線段的問題可以歸結(jié)到四邊形中去。

案例結(jié)束。2.如何認識規(guī)律主要是歸納，要結(jié)合觀察、分析、運算、抽象概括，也要對各種現(xiàn)實問題和數(shù)學問題有好的理解，有較為豐富的數(shù)學知識和數(shù)學方法。

3.認識規(guī)律有什么用一般來說，人的所有行為都有其用意。規(guī)律的抽象性使得它比單純的行為更有用。無需多解釋，教師們都懂！三、初中階段應關(guān)注的規(guī)律性問題初中階段應關(guān)注的規(guī)律應該是簡單的、基礎(chǔ)的、核心的部分，而且容易理解和掌握，通過規(guī)律性問題的學習，形成一些在這個階段應有的認識、觀點、方法、思想和能力。數(shù)的規(guī)律中，無疑應關(guān)注自然數(shù)及其分類，它是一切與數(shù)有關(guān)的規(guī)律的基石。自然數(shù)的運算，自然是一切運算的基礎(chǔ)，但有理數(shù)的運算是恰當?shù)膶W習內(nèi)容，因此有理數(shù)的運算規(guī)律是必須掌握的。代數(shù)是數(shù)的抽象形式，是描述和表達數(shù)的規(guī)律的(有效的和好的)手段和工具。初中階段學習的各種代數(shù)式及其運算都是要重視的。圖形構(gòu)造規(guī)律和圖形特征認識是重要的，初中要求的圖形變換也是重要的，但圖形中蘊含的數(shù)量規(guī)律只需要研究簡單的。數(shù)學事實、法則、公式、定理等是必須要學好的。具體的數(shù)學方法、數(shù)學的模型方法也是必須要學好的。*認識數(shù)學與研究數(shù)學的一般原理、方法等，是在初中階段進行奠基。今后學生學習或者離開學校環(huán)境的生活好壞，主要是看現(xiàn)階段是否奠定了扎實的基礎(chǔ)。注：前面規(guī)律分類中的內(nèi)容，紅色的要求應小心或者控制，藍色的要求可選擇，黑色的要求應必會！四、初中階段學習規(guī)律應注意的問題1.規(guī)律學習要循序漸近比如北師大版初中數(shù)學教材七年級(上)第一章中，關(guān)于探究棱柱有多少個頂點、多少個面等的問題，有人設(shè)計為如下問題：有些資料會把題目中的表格出成下表：

三棱柱四棱柱五棱柱…n棱柱頂點數(shù)

邊數(shù)

這是非常不合適的，主要是表的最后一列的

棱柱的問題：一是“n”是用一個抽象的字母代表數(shù)，學生雖然在小學可能接觸到，但初中還沒有具體學習字母代數(shù)；二是n棱柱是一個抽象的圖形，只存在于思維中而沒有現(xiàn)實表現(xiàn)；三是由

棱柱所得的問題結(jié)果是一個代數(shù)式，這又是一個后續(xù)的知識，大多數(shù)學生不能理解。不考慮學生學習的階段性，超越了學生的認知基礎(chǔ)，而根據(jù)老師的經(jīng)驗來出題，是老師經(jīng)驗起了副作用．然而在教學實踐中，這樣的例子經(jīng)常出現(xiàn)，很不好?。?！

本題如果要出的話，可以放在七年級(上)第三章“代數(shù)式”中《探索與表達規(guī)律》的學習之后，或者放在學期結(jié)束或復習備考時。2.要注意似易可能會實難的問題比如二次型的規(guī)律，若發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為n(n+2)還是較容易的，若發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為n2+2n則是不容易的。若把規(guī)律n(n+2))改寫為n2+2n，僅從式子變形的角度看可能是容易理解的，而要學生認同這兩個式子代表相同的規(guī)律可能并不那么簡單！3.要注意