初中數學第五章

第五章ABCDO1234鄰補角的定義：∠1和∠2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長線（∠1和∠2互補），具有這種關系的兩個角，互為鄰補角.對頂角的定義：∠1和∠3有一個公共頂點O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角.對頂角相等兩個鄰補角的和是180°例

1（1）下列各圖中，∠1和∠2是鄰補角嗎？為什么？

（1）

（2）

（3）1211222．細心觀察，歸納定義12（2）（3）（4）21（1）12（5）12122．細心觀察，歸納定義例

1（2）下列各圖中，∠1和∠2是對頂角嗎？為什么？

例

1(3)請分別畫出圖中∠1的對頂角和∠2的鄰補角．2．細心觀察，歸納定義21例

1(4)如圖，三條直線AB

，CD，EF相交于點O，∠AOE的對頂角是

，∠EOD的鄰補角是

．ABFCDEO2．細心觀察，歸納定義∠FOB∠FOD、∠COE1234ab如圖，∠2是∠1的3倍，分別求∠1、∠2、∠3、∠4的度數。解：因為∠2是∠1的3倍，設∠1為x°,則∠2為3x°。因為∠1+∠2=180°所以x°+3x°=180°4x°=180°x°=45°所以∠1為45°，∠2為135°由對頂角相等得∠3=∠1=45°

∠4=∠2=135°（1）垂直概念：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，叫做這兩條直線互相垂直．兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．如圖，AB⊥CD，垂足為Ｏ．記作：AB⊥CD于點Ｏ．（2）符號語言：

因為AB⊥CD，

所以∠AOC=90°．

反之，因為∠AOC=90°，

所以AB⊥CD．問題2：（1）兩條直線垂直和相交是什么關系？（2）能否認為在同一平面內，兩條直線的位置關系

有3種：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情況不能，因為垂直是相交的特殊情況問題2：（3）如何判定兩條射線垂直？兩條線段呢？（4）你能舉出一些生活中與垂直有關的實例嗎？兩條線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，都是指它們所在的直線垂直．問題3：用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線（１）用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？（２）經過一點畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？經過一點畫已知直線l的垂線有幾種情況？無數條垂線性質1：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．垂線性質1：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．垂線性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離．對三條直線相交按交點的個數分為三種情況：同位角：兩個角分別在被截線的同一方，并且都在截線的同側．具有這種位置關系的一對角叫做同位角．直線AB和直線CD被直線EF所截被截線：直線AB和直線CD截線：直線EF

如∠1和∠5

，∠2和∠6

，∠3和∠7，

∠4和∠5

內錯角：兩個角都在被截線之間，并且分別在截線兩側．具有這種位置關系的一對角叫做內錯角．如∠3和∠5∠4和∠6同旁內角：兩個角都在被截線之間，并且都在截線的同一旁．具有這種位置關系的一對角叫做同旁內角．如∠3和∠6∠4和∠5練習：分別指出下列圖中的同位角、內錯角、同旁內角．同位角：∠l與∠5，

∠2與∠6．內錯角：∠4與∠6，

∠3與∠5．同旁內角：∠4與∠5，

∠3與∠6．同位角：∠l與∠3，

∠2與∠4．內錯角：無．同旁內角：∠2與∠3．平行概念：同一平面內,存在一條直線a與直線b不相交的位置,這時直線a與b互相平行．換言之,同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線．直線a與b是平行線,記作a∥b．平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這條直線也互相平行．如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

判定方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.ABCD判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.判定方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.判定方法1

同位角相等，兩直線平行．判定方法2

內錯角相等，兩直線平行．判定方法3

同旁內角互補，兩直線平行．平行線的判定（1）由∠CBE=∠A可以判定哪兩條直線平行？

根據是什么？例2

如圖，

BE是AB的延長線.答：

AD∥BC.根據同位角相等，兩直線平行.（2）由∠CBE=∠C可以判定哪兩條直線平行？

根據是什么？例2

如圖，

BE是AB的延長線.答：

AE∥CD.根據內錯角相等，兩直線平行.（3）由∠D+∠A=180°可以判定哪兩條直線平

行？根據是什么？例2

如圖，

BE是AB的延長線.答：

AE∥CD.根據同旁內角互補，兩直線平行.性質1兩直線平行，同位角相等．性質2兩直線平行，內錯角相等．性質3兩直線平行，同旁內角互補．（2）結合圖形回答問題：答：相等.根據兩直線平行，內錯角相等.1．梳理舊知，歸納方法①如果AB∥CD,∠1與∠2相等嗎？為什么？（2）結合圖形回答問題：答：∠1=∠3．根據兩直線平行，同位角相等．1．梳理舊知，歸納方法②如果DE∥FB,能得到∠1與∠3的關系嗎？為什么？（2）結合圖形回答問題：答：

AD∥CB．根據兩直線平行，同旁內角互補．1．梳理舊知，歸納方法③根據哪兩條直線平行可以得到∠A+∠ABC=180o

？為什么？對比平行線的性質和判定方法條件結論判定同位角相等兩直線平行內錯角相等同旁內角互補性質兩直線平行同位角相等內錯角相等同旁內角互補理由如下：∵

CE∥BF，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=∠2，∴∠2=∠B．（等量代換）∵∠2和∠B是內錯角，∴

AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．問題1已知，如圖，∠1=∠2，CE∥BF，試說明：

AB∥CD．答：AB∥CD問題2

已知：如圖，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD與EF平行嗎？為什么？答：CD∥EF．理由如下：∵

∠AGD=∠ACB，∴

GD∥BC.（同位角相等，兩直線平行）

∵∠1和∠3是內錯角，∴∠1=∠3（兩直線平行,內錯角相等）.∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.（等量代換）∵∠2和∠3是同位角，∴

CD∥EF（同位角相等，兩直線平行）.3（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；（3）對頂角相等；（4）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式．像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題。

問題判斷下列語句是不是命題？（1）兩點之間，線段最短；（）（2）請畫出兩條互相平行的直線；（）（3）過直線外一點作已知直線的垂線；（）（4）如果兩個角的和是90o，那么這兩個角互余．（）

√

√命題的結構命題由題設和結論兩部分組成.題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．許多數學命題常可以寫成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面連接的部分是題設，“那么”后面連接的部分就是結論．問題5

下列語句是命題嗎？如果是，請將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；（2）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式；（3）互為相反數的兩個數相加得0；（4）同旁內角互補；（5）對頂角相等．如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內角互補；如果等式兩邊都加同一個數，那么結果仍是等式；如果兩個數互為相反數，那么這兩個數相加得0；如果兩個角是同旁內角，那么這兩個角互補；如果兩個角互為對頂角，那么這兩個角相等．問題問題中哪些命題是正確的，哪些命題是錯誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；（2）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式；（3）互為相反數的兩個數相加得0；（4）同旁內角互補；（5）對頂角相等．

√

√

√命題的真假真命題：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題．

假命題：如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題．問題1

請同學們判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；（2）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；（3）如果

，那么a=b；（4）經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；（5）兩點確定一條直線．歸納：（1）把一個圖形整體沿某一直線方