北京郵電大學復變函數(shù)第六章

第六章共形映射復變函數(shù)與積分變換§6.1共形映射的概念一、解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義二、共形映射的概念小結(jié)與思考一、解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義

1.伸縮率與旋轉(zhuǎn)角yxC.yx.如圖．Cyx..yx..存在，則稱此極限值為曲線C經(jīng)函數(shù)ω=f(z)映射后在z0處的伸縮率．

定義1

當z沿曲線C趨向于z0點時，如果Cyx.yx.曲線C經(jīng)函數(shù)ω=f(z)映射后在z0處的旋轉(zhuǎn)角．

定義２

設(shè)曲線C在z0處的切線傾角為，Cyx..yx.

2．伸縮率不變性結(jié)論:

方向無關(guān).所以這種映射具有伸縮率的不變性.

3．旋轉(zhuǎn)角不變性與保角性說明:旋轉(zhuǎn)角的大小與方向跟曲線C的形狀無關(guān).映射w=f(z)具有旋轉(zhuǎn)角的不變性...則有結(jié)論:的夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過方向不變的性質(zhì),此性質(zhì)稱為保角性.

注意是必要的,否則保角性將不成立．綜上所述,有質(zhì):(1)伸縮率不變性；(2)保角性．定理一二、共形映射的概念

定義說明:但僅保持夾角的絕對值不變而方向相反,則稱之為第二類保角映射.由定義，定理一又可以敘述為定理二

定義

設(shè)ω=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的第一類保角映射，如果當z1≠z2時，有f(z1)≠f(z2)（即雙方單值），則稱f(z)為共形映射．問題:關(guān)于實軸對稱的映射是第一類保角映射嗎?答案:將z

平面與

w平面重合觀察，y(v)x(u)..夾角的絕對值相同而方向相反.否.解反之放大.小結(jié)與思考熟悉解析函數(shù)導數(shù)的幾何意義,了解共形映射的概念及其重要性質(zhì).思考題思考題答案§6.2共形映射的

基本問題一、共形映射的基本問題二、解析函數(shù)的保域性與邊界對應原理三、保形映射的存在唯一性一、共形映射的基本問題問題一：對于給定的區(qū)域D和定義在D上的解析函數(shù)w=f(z)，求象集G=f(D)，并討論f(z)是否將D保形地映射為G；問題二：給定兩個區(qū)域D和G，求一個解析函數(shù)w=f(z)

，使得f(z)將D保形地映射為G；問題二一般稱為基本問題，我們一般用單位圓作為一個中間區(qū)域．如下圖：二、解析函數(shù)的保域性與邊界對應原理

定理1

(保域性定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)，則象集合G=f(D)是區(qū)域．

定理２(邊界對應原理)

設(shè)區(qū)域D的邊界為簡單閉曲線C，函數(shù)ω=f(z)在上解析，且將C雙方單值地映射成簡單閉曲線，當z沿C的正向繞行時，相應的ω的繞行方向定為的正向，并令G是以為邊界的區(qū)域，則ω=f(z)將D共形映射成G．注1解析函數(shù)把區(qū)域變成區(qū)域；注2邊界對應確定映射函數(shù)；注3注意邊界對應的方向性．三、保形映射的存在唯一性說明該條件的幾何解析：§6.3分式線性映射一、分式線性映射的概念二、幾種簡單的分式線性映射三、分式線性映射的性質(zhì)四、唯一決定分式線性映射的條件一、分式線性映射的概念稱為分式線性映射.說明:否則,由于那么整個z平面映射成w平面上的一點.小知識分式線性映射的逆映射,也是分式線性映射.2)由3)分式線性映射分式線性映射可分解為整式線性映射與的復合.一個一般形式的分式線性映射是由下列四種特殊的簡單映射復合而成:例1二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)二、幾種簡單的分式線性映射平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)旋轉(zhuǎn)映射事實上,設(shè)那么因此,把z繞原點轉(zhuǎn)角度，相似映射設(shè)那么相似映射特點：對于復平面上任一點，保持輻角不變，而將模放大或縮?。P(guān)于橫軸對稱反演映射此映射可進一步分解為欲由點z作出點w,可考慮如下作圖次序:關(guān)鍵:對稱點的定義:設(shè)C為以原點為中心,r為半徑的圓周.在以滿足關(guān)系式那么就稱這兩點為關(guān)于這圓周的對稱點.規(guī)定:無窮遠點的對稱點是圓心O....設(shè)P在C外,從P作C的切線PT,由T作OP的垂作圖:.故可知:.關(guān)于單位圓對稱關(guān)于實軸對稱..三、分式線性映射的性質(zhì)1.一一對應性例如:結(jié)論:分式線性映射在擴充復平面上一一對應.2.共形性（保形性）若規(guī)定:兩條伸向無窮遠的曲線在無窮遠點處的交角,等于它們在映射

下所映成的通過原點的兩條象曲線的交角.綜上所述知:綜上所述:定理一分式線性映射在擴充復平面上是共形映射．3.保圓性所謂保圓性指在擴充復平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì).特殊地，直線可看作是半徑為無窮大的圓周.1)映射特點:所以此映射在擴充復平面上具有保圓性.2)映射若z平面上圓方程為:令有代入z平面圓方程得其象曲線方程:即所以此映射在擴充復平面上具有保圓性.3)分式線性映射定理二

分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.說明:如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個點映射成無窮遠點,那末它就映射成直線.如果4.保對稱性對稱點的特性........結(jié)論充要條件是:即分式線性映射具有保對稱性.定理三證分式線性映射[證畢]四、唯一決定分式線性映射的條件含有三個獨立的常數(shù)．定理

只需給定三個條件就能決定一個分式線性映射.證依次映射成設(shè)將相異點由此得所以三對對應點可唯一確定一個分式線性映射.將上式整理即可得到形為的分式線性映射，從而證明了存在性．重復上述步驟,仍得到相同形式的結(jié)果.唯一性：兩個典型區(qū)域間的映射...解...例1所求分式線性映射為化簡得:注意:本題中如果選取其他三對不同點,也能得出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射.可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不唯一,有無窮多個.另解:設(shè)實軸映射成單位圓周,則所求映射具有下列形式:...由于z為實數(shù)時,上半平面映為單位圓的分式線性映射的一般形式說明:解

依上題結(jié)論得例2從而所求映射為解...例3因此可設(shè)所求分式線性映射為:故所求分式線性映射為:將單位圓映為單位圓的常用映射．例4

解依上題結(jié)論得所以所求映射為分析..上半平面單位圓域圓域例5伸長平移解如圖示..則所求映射為:...另解如圖示:.....于是所求的映射為小結(jié)分式線性映射是共形映射的一個重要內(nèi)容,應熟練掌握并會應用分式線性映射的各種性質(zhì)尋找一些簡單而典型的區(qū)域之間的共形映射；掌握上半平面到上半平面,上半平面到單位圓,單位圓到單位圓的分式線性映射.小知識分式線性映射首先由德國數(shù)學家默比烏斯(1790~1868)研究,所以也稱為默比烏斯映射.對每一個固定的w,此式關(guān)于z是線性的;對每一個固定的z,此式關(guān)于w也是線性的,因此稱上式是雙線性的.分式線性映射也稱雙線性映射.默比烏斯默比烏斯資料AugustM?biusBorn:17Nov1790inSchulpforta,Saxony(nowGermany)

Died:26Sept1868inLeipzig,Germany§6.4幾個初等函數(shù)

構(gòu)成的共形映射一、冪函數(shù)二、指數(shù)函數(shù)小結(jié)與思考一、冪函數(shù)則:1)(特殊地:單位圓周映射為單位圓周)2)))特殊地:)上岸0沿正實軸剪開的w平面下岸映射特點:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成為原來的n倍.

因此將角形域的張角拉大（或縮?。r，就可利用冪函數(shù)

所構(gòu)成的共形映射.)??如果要把角形域映射成角形域，常利用冪函數(shù).例1解)因此所求映射為:?....解例２00個映射.0??例３0解0實現(xiàn)此步的映射是分式線性函數(shù):00.000000.0因此所求映射為:二、指數(shù)函數(shù)001)002)0000特殊地:??映射特點:如果要