2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2021-2022學年廣東省深圳市龍華區(qū)高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．135°【答案】B【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關系求解即可.【詳解】的斜率為1，故傾斜角滿足，又傾斜角大于等于0°小于180°，故傾斜角為45°.故選：B2．已知空間中兩點，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計算，再計算模長得到答案.【詳解】，，故，故.故選：B3．各項為正的等比數(shù)列中，，，則的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質和通項公式可求得公比，代入等比數(shù)列求和公式即可求得結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，又，，解得：，.故選：A.4．圓與圓的位置關系是（

）A．相交 B．外切 C．內切 D．相離【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的位置關系的判定方法，即可求解．【詳解】由與圓，可得圓心，半徑，則，且，所以，所以兩圓相內切．故選：C．5．如圖，哈雷彗星圍繞太陽運動的軌跡是一個非常扁的橢圓，太陽位于橢圓軌跡的一個焦點上，已知哈雷彗星離太陽最近的距離為，最遠的距離為.若太陽的半徑忽略不計，則該橢圓軌跡的離心率約為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出與，列方程組，求出與，得到離心率，可得答案.【詳解】根據(jù)圖像，設橢圓的長軸為，焦距為，故根據(jù)題意，，，解得，，.故選：C6．已知雙曲線的漸近線方程為，且經過點，則的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)共漸近線雙曲線系的形式可假設雙曲線方程為，代入點的坐標即可求得結果.【詳解】根據(jù)漸近線方程可設雙曲線方程為：，雙曲線過點，，雙曲線的標準方程為：.故選：A.7．已知點，，動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量數(shù)量積及模長公式,計算即可.【詳解】設,因為,所以又因為,所以,即得可得點的軌跡方程為故選:.8．如圖，是正四棱柱被平面所截得的幾何體，若，，，則截面與底面所成二面角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，平面的法向量為，平面的一個法向量為，計算得到答案.【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，則，取得到，平面的一個法向量為，，故截面與底面所成二面角的余弦值是，故選：B二、多選題9．當取一定實數(shù)值時，方程可以表示為（

）A．焦點在軸上的橢圓B．焦點在軸上的雙曲線C．焦點在軸上的橢圓D．焦點在軸上的雙曲線【答案】ABC【分析】比較的正負以及大小，進而確定方程所表示曲線的形狀.【詳解】∵，且，則有：當，即時，方程表示焦點在在軸上的雙曲線，B正確；當，即時，則有：①當，即時，方程表示焦點在軸上的橢圓，A正確；②當，即時，方程即為，表示圓心在坐標原點，半徑為2的圓；③當，即時，方程表示焦點在軸上的橢圓，C正確；對于D：若方程表示為焦點在軸上的雙曲線，則，無解，D錯誤.故選：ABC.10．在正方體中，若，，，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用作為一組基底表示出空間向量，即可得到.【詳解】由已知可得，不共面，則可以作為空間向量的一組基底.對于A項，，故A項正確；對于B項，，故B項錯誤；對于C項，，故C項錯誤；對于D項，，故D項正確.故選：AD.11．年，意大利數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)了這樣一個數(shù)列，其遞推公式可以表示為，（），則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根據(jù)遞推關系對四個選項逐一分析判斷即可.【詳解】由題意可知，，，，AB正確；因為，，，……，，，各式相加得，所以，C錯誤；因為，D正確；故選：ABD12．城市的很多街道都呈平行垂直狀，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走.仿此，如圖，平面直角坐標系上任意不重合兩點，，線段的中點為，中垂線為.定義，間的折線距離.若滿足，則下列說法正確的是（

）A．無論，位置如何，都滿足的條件B．當或時，可取上任一點C．當直線的斜率為時，可取上任一點D．當直線斜率存在且不為時，均可取上任一點【答案】ABC【分析】根據(jù)“折線距離”的定義逐項計算.【詳解】對于A，，，，正確；對于B，假設，則l平行于x軸，設，則有：，，正確；同理當時也正確；對于C，設AB的斜率為1，則l的斜率為-1，則有，直線l的方程為：，化簡得：，設，則，，正確；同理當AB的斜率為-1時也正確；對于D，不妨假設，則AB的斜率為，則l的斜率為，，直線l的方程為，在l上取點，則有，錯誤；故選：ABC.三、填空題13．經過點且與直線平行的直線方程是____.【答案】【分析】設出所求直線方程為，利用點的坐標求出c，即得答案.【詳解】由題意可設與直線平行的直線的方程為，將代入，得，故經過點且與直線平行的直線方程是，故答案為：14．已知曲線（）與拋物線的準線相切，則____.【答案】【分析】確定拋物線的準線為，得到得到答案.【詳解】拋物線的準線為，曲線與相切，故且，則.故答案為：15．數(shù)列與的所有公共項由小到大構成一個新的數(shù)列，則____.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列與的性質確定數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而可得通項，即可得的值.【詳解】解：數(shù)列與分別是以為公差，為首項的等差數(shù)列，則新的數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，故.故答案為：.四、雙空題16．在平面直角坐標系中，滿足的點構成一個圓，經過點且與之相切的直線方程是____；類似地，在空間直角坐標系中，滿足的點構成的空間幾何體是一個球，則經過點且與之相切的平面方程是____.【答案】

【分析】首先設切線上任一點，利用垂直關系建立等式，轉化為切線方程；設切面上任一點，同樣利用垂直關系，轉化為數(shù)量積表示的等式，即可球切面方程.【詳解】設，，所以點在圓上，設切線上任意點，則，即，則，即；設，與球相切的平面上任一點，則，即，，化簡為.故答案為：；五、解答題17．如圖，在平面直角坐標系上，有點，，.(1)證明：是直角三角形；(2)求的外接圓方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由兩點之間斜率公式，根據(jù)兩直線垂直的斜率關系，可得答案；（2）根據(jù)直角三角形外接圓的性質，利用中點坐標公式以及兩點之間距離公式，可得答案.【詳解】（1）依題意得，，所以，所以，即是直角三角形.（2）取的中點，，所以的外接圓方程是.寫成一般式：.18．已知等差數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)若的前項和為，求的最大值.【答案】(1)(2)2020【分析】（1）計算，得到等差數(shù)列公差，得到通項公式.（2）計算，根據(jù)二次函數(shù)性質得到最值.【詳解】（1），，設的公差為，，所以，.（2）（法一），所以是單調遞減數(shù)列，因為，設的前項和最大，則，即或，的最大值為.（法二），，的前項和為，即，對稱軸，所以或時取最大值，最大值為.19．已知為橢圓（）上一點，，是的焦點，.(1)若，求橢圓的離心率；(2)若點的坐標為，求橢圓的標準方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，，，則，利用橢圓定義和勾股定理，從而求出答案；（2）（法一）設，，求出、、，利用得，再由求出，利用，從而得到橢圓方程；（法二）設，，利用橢圓定義和勾股定理得，可得，由在橢圓上得，結合解得可得答案.【詳解】（1）設，，依題意，不妨設，則，所以解得，即；（2）（法一）設，，則，，，由得，即，解得，所以，，所以，即，，故橢圓的的方程為；（法二）設，，又由得，即，另一方面，所以，由在上得，即，所以，又由，解得，即，，即橢圓的的方程為.20．截至年末，某城市普通汽車（除新能源汽車外）保有量為萬輛.若此后該市每年新增普通汽車萬輛，而報廢舊車轉購新能源汽車的約為上年末普通汽車保有量的，其它情況視為不計.(1)設從年起該市每年末普通汽車的保有量構成數(shù)列，試寫出與的一個遞推公式，并求年末該市普通汽車的保有量（精確到整數(shù)）；(2)根據(jù)（1）中與的遞推公式，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求從哪一年起，該市普通汽車的保有量首次少于萬輛？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】(1)，240（萬輛）(2)證明見解析，年末【分析】（1）根據(jù)題意得到遞推公式，再依次計算得到答案.（2）變換得到，得到證明，再計算得到答案.【詳解】（1），，故，，所以年末該市普通汽車的保有量（萬輛）.（2）得，而，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，解得，求得，即從年末開始，該市普通汽車的保有量首次少于萬輛.21．如圖1，邊長為的菱形中，，，，分別是，，的中點.現(xiàn)沿對角線折起，使得平面平面，連接，如圖2.(1)求；(2)若過，，三點的平面交于點，求四棱錐的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）證明平面，建立空間直角坐標系，得到，，再計算夾角得到答案.（2）計算平面的法向量為，再計算到平面的距離為，最后計算體積得到答案.【詳解】（1）連接，，平面平面，平面平面，，平面，故平面，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，因為，分別是，的中點，所以，，所以.（2）連接，，，設平面的法向量為，則，，即，令，則，，所以，設到平面的距離為，而，，依題意得四邊形是一個菱形，，，所以，所以.22．在平面直角坐標系中，直線與拋物線（）交于點,設直線、的斜率分別為、.(1)若直線經過拋物線的焦點，證明：；(2)若（為常數(shù)），直線是否經過某個定點？若經過，求出這個定點；若不經過，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)當時，直線經過定點；當時，直線不過定點.【分析】(1)設直線，、，聯(lián)