2021-2022學(xué)年上海市曹楊高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．兩條異面直線所成角的取值范圍是________【答案】【分析】由異面直線所成角的定義求解．【詳解】解：由異面直線所成角的定義可知：過(guò)空間一點(diǎn)，分別作相應(yīng)直線的平行線，兩條相交直線所成的直角或銳角為異面直線所成的角，故兩條異面直線所成的角的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角，同時(shí)還考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為整數(shù)，若，則公差________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以，又因?yàn)?，所?故答案為:.3．已知直線、及平面，若且，則與平面的位置關(guān)系為_(kāi)_______.【答案】或【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合線面位置關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榍?，直線與平面的位置關(guān)系為或.故答案為：或.4．若數(shù)列是等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，為正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___.【答案】1【分析】利用與的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又是等比數(shù)列，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，此數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.故答案為：1.5．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則________.（其中為正整數(shù)）【答案】【分析】求出新等比數(shù)列的公比代入求和公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，所以.則.故答案為：4.6．若一個(gè)圓錐的側(cè)面是半徑為6的半圓圍成，則這個(gè)圓錐的表面積為_(kāi)_______.【答案】【分析】求出底面半徑，代入公式即可.【詳解】因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積為.故答案為：.7．如圖所示，在地面上兩點(diǎn)測(cè)得建筑物的仰角為，，若，則該建筑物的高度為_(kāi)_______.【答案】【分析】先將未知量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，再利用勾股定理即可求解.【詳解】因?yàn)樵诘孛嫔蟽牲c(diǎn)測(cè)得建筑物的仰角為，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即該建筑物的高度?.故答案為：.8．有一個(gè)細(xì)胞團(tuán)開(kāi)始時(shí)有4個(gè)細(xì)胞，每次分裂前死去1個(gè)，再由剩余的每個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)，則（為正整數(shù)）次分裂之后共有細(xì)胞的個(gè)數(shù)是_______.【答案】【分析】設(shè)次分類后共有個(gè)細(xì)胞,則根據(jù)題意可得遞推公式,通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式.【詳解】由題意可設(shè)次分類后共有個(gè)細(xì)胞，則第次分裂后共有細(xì)胞個(gè)數(shù)為，即,且，對(duì)數(shù)列等式兩端同時(shí)減去2,可得，即,，所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列，所以,化簡(jiǎn)可得，即次分裂之后共有個(gè)細(xì)胞.故答案為:9．梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形的面積為，則原梯形的面積為_(kāi)______.【答案】【分析】根據(jù)原圖形面積是直觀圖面積的倍即可求解.【詳解】設(shè)直觀圖的上下底為，高為，則直觀圖的面積為，則原梯形的上下底為，高為，所以原梯形的面積等于,即原圖形面積是梯形的面積倍，因?yàn)樘菪蔚拿娣e為，所以原梯形的面積是.故答案為:4.10．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，為正整數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的最小值聯(lián)系即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，因?yàn)閿?shù)列滿足，若，則是數(shù)列的最小項(xiàng)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.11．中，邊上的中垂線分別交于，若，則_______.【答案】【分析】利用平面向量的基本定理和余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，且，所以，所以，且，在中，由余弦定理得即，所?故答案為:4.12．定義，設(shè)函數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，且，則首項(xiàng)_______.【答案】##0.125【分析】根據(jù)題設(shè)對(duì)函數(shù)的定義結(jié)合等比數(shù)列運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，定義，函數(shù)，數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，且.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，由等比?shù)列通項(xiàng)公得，所以，整個(gè)數(shù)列為，因?yàn)?，所以代入得即由?duì)數(shù)運(yùn)算所以式化簡(jiǎn)得，即，所以.②當(dāng)時(shí)，，此時(shí).，所以不成立.③當(dāng)時(shí)，，所以，整個(gè)數(shù)列為，所以，因?yàn)?，代入得，即由?duì)數(shù)運(yùn)算，所以式化簡(jiǎn)得.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以等式左邊大于，等式右邊小于，方程無(wú)解.綜上所述，.故答案為：.二、單選題13．“數(shù)列為等差數(shù)列”是“數(shù)列為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義,結(jié)合充要條件定義判斷即可.【詳解】充分條件:若“數(shù)列為等差數(shù)列”成立，則有（常數(shù)），所以(常數(shù))，所以數(shù)列為等比數(shù)列.必要條件:若“數(shù)列為等比數(shù)列”，所以為常數(shù)，所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列為等差數(shù)列是數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件.故選:.14．在梯形中，，，.將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體如圖:

直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為故選C.【解析】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.15．實(shí)數(shù)a，b滿足a?b＞0且a≠b，由a、b、、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（）A．可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列B．可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列C．不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列D．不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列【答案】B【分析】由實(shí)數(shù)a，b滿足a?b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，兩種情況分析根據(jù)等差數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義，討論a、b、、按一定順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列時(shí)，是否有滿足條件的a，b的值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【詳解】（1）若a＞b＞0則有a＞＞＞b若能構(gòu)成等差數(shù)列，則a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此時(shí)無(wú)法構(gòu)成等差數(shù)列若能構(gòu)成等比數(shù)列，則a?b=，得，解得a=b（舍），即此時(shí)無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列（2）若b＜a＜0，則有若能構(gòu)成等差數(shù)列，則，得2=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）當(dāng)b=9a時(shí)這四個(gè)數(shù)為-3a，a，5a，9a，成等差數(shù)列．于是b=9a＜0，滿足題意但此時(shí)?b＜0，a?＞0，不可能相等，故仍無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列故選B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的確定和等比數(shù)列的確定，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．16．如圖所示，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②平面；③與所成角為；④平面，其中正確的序號(hào)是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】利用線面垂直可得線線垂直即可判斷①；利用線面垂直可判斷②；利用異面直線的夾角可判斷③；利用線面平行的判定定理可判斷④.【詳解】連接，則交于，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，得，由平面，平面,得，得，故①正確；由平面，得平面，而平面與平面不平行，所以平面錯(cuò)誤，故②錯(cuò)誤；因?yàn)榕c所成角就是，連接,則為等邊三角形，所以，故③錯(cuò)誤；由分別是的中點(diǎn)，得，平面，平面，得平面，故④正確；故選:B.三、解答題17．在中，.(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用向量的數(shù)量積公式和正弦定理結(jié)合求解；(2)利用向量的減法運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，由正弦定理得，，又因?yàn)?，所以，在等式兩邊同時(shí)除以，得；（2）由題意得，所以，即.18．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖所示，四面體中，平面是棱的中點(diǎn).(1)證明：，并判斷四面體是否為鱉臑？若是，寫出其每個(gè)面的直角；若不是，說(shuō)明理由；(2)若四面體是鱉臑，且，求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，四面體是鱉臑，直角分別為，和(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)即可說(shuō)明；(2)利用等體積法求出椎體的高，進(jìn)而利用三角函數(shù)值求線面夾角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四面體是鱉臑，直角分別為，和.（2）設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫妫砸驗(yàn)樗拿骟w是鱉臑，，是棱的中點(diǎn)，，所以，所以，，因?yàn)?，所以平面，平面，則，即，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的大小為.19．西部某地區(qū)有沙地畝，從年開(kāi)始每年在沙地植樹(shù)造林，第一年年底共植樹(shù)畝，以后每一年年底比上一年年底多植樹(shù)畝.(1)假設(shè)所植樹(shù)苗全部成活，則到哪一年年底植樹(shù)后可將沙地全部綠化？(2)若每畝所植樹(shù)苗木材量為立方米，每年所值樹(shù)木，從它種下的第二年起，木材量自然增長(zhǎng)率為，求沙地全部綠化后的那年年底該山林的木材總量(精確到整數(shù)).【答案】(1)年(2)立方米【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式即可求解；（2）利用等比數(shù)列求和公式即可求解【詳解】（1）設(shè)植樹(shù)年年底后可將沙地全部綠化，記第年年底植樹(shù)量為，由題意得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以到年年底植?shù)后可以將荒山全部綠化.（2）設(shè)年初木材存量為，到年底木材存量增加為，年初木材存量為，到年底木材存量增加為，，年初木材存量為，到年底木材存量增加為則到年年底木材總量為兩式作差得，所以，答：到全部綠化后的那一年年底，該山林的木材總量立方米.20．已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，.(1)求證：平面；(2)求到平面的距離；(3)設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，求二面角的大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理證明;(2)應(yīng)用等體積法計(jì)算可求;(3)應(yīng)用線面垂直的判定定理,結(jié)合二面角平面角定義,找到平面角計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，又因?yàn)?，平?平面.所以平面.（2）設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的菱形，，.所以，所以，解得；（3）過(guò)作交于，連接，由(1)因?yàn)槠矫?，平?,,平面,平面,所以平面,平面得，平面,平面,所以為的平面角，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的菱形，，所以，從而，所以，又二面角為銳角，所以二面角的平面角大小為.21．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，對(duì)任意的正整數(shù)，都有.(1)求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)；(2)設(shè)，若數(shù)列中去掉的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)組成數(shù)列，求；(3)在（2）中，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)、且，使得、、依次成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)(3)存在，【分析】（1）由已知可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可得出，，進(jìn)而可得出，結(jié)合分組求和法可