2022-2023學(xué)年北京匯文中學(xué)教育集團高二年級上冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京匯文中學(xué)教育集團高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線的焦點到準線的距離為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)與準線方程，即可得解；【詳解】解：因為拋物線方程為，所以焦點坐標(biāo)為，準線的方程為，所以焦點到準線的距離為；故選：C2．投擲一顆骰子，擲出的點數(shù)構(gòu)成的基本事件空間是={1，2，3，4，5，6}．設(shè)事件A={1，3}，B={3，5，6}，C={2，4，6}，則下列結(jié)論中正確的是A．A，C為對立事件B．A，B為對立事件C．A，C為互斥事件，但不是對立事件D．A，B為互斥事件，但不是對立事件【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)對立事件與互斥事件的定義進行判斷，由于，因此A錯；，因此B錯；，因此C對；，因此D錯；【解析】對立事件；互斥事件；3．兩名同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗最可能的是（

）A．拋一枚硬幣，正面朝上的概率B．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)點的概率C．從裝有個紅球和個藍球的口袋中任取一個球恰好是紅球的概率D．從裝有個紅球和個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率【答案】D【分析】用頻率估計概率，可知所求概率在之間，依次計算每個選項中的情況出現(xiàn)的概率，進而確定結(jié)果.【詳解】用頻率估計概率，可知某一結(jié)果出現(xiàn)的概率在之間；對于A，拋一枚硬幣，正面朝上的概率為，A錯誤；對于B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)點的概率為，B錯誤；對于C，從裝有個紅球和個藍球的口袋中任取一個球恰好是紅球的概率為，C錯誤；對于D，從裝有個紅球和個藍球的口袋中任取一個球恰好是藍球的概率為，D正確.故選：D.4．在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式首先求得公比，進而由求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，.故選：B.5．從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好沒有遇到紅燈的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合對立事件概率，由獨立事件的概率公式計算．【詳解】由題意各路口沒有遇到紅燈的概率分別為，所以經(jīng)過三個路口沒有遇到紅燈的概率是．故選：A．6．曲線在處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，即切線斜率.【詳解】解：，，當(dāng)時，，故切線斜率為2，故選：A.7．若拋物線的焦點坐標(biāo)是，則等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：首先寫出拋物線的標(biāo)準方程，然后結(jié)合焦點坐標(biāo)求解a的值即可.詳解：拋物線的標(biāo)準方程為：，則焦點坐標(biāo)為，結(jié)合題意可知：.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查拋物線的標(biāo)準方程，拋物線的焦點坐標(biāo)公式等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8．曲線在點處切線為，則等于（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得出答案.【詳解】由題意可得而故選：C.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.9．下列說法中正確的是（

）A．等比數(shù)列中的某一項可以為 B．常數(shù)列既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列C．若是等比數(shù)列，則不一定是等比數(shù)列 D．若，則a，b，c成等比數(shù)列【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義可知等比數(shù)列中任意一項都不為來驗證四個選項.【詳解】A根據(jù)等比數(shù)列的定義可知等比數(shù)列中任意一項都不為，所以A不正確；B若常數(shù)數(shù)列,是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，所以B不正確；C若是等比數(shù)列，設(shè)，則所以不是等比數(shù)列，故C正確；D設(shè)滿足，但是a，b，c不成等比數(shù)列，所以D不正確.故選：C10．已知拋物線，過點引拋物線的一條弦，使它恰在點P處被平分，則這條弦所在的直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意知，直線的斜率存在，由點差法及中點坐標(biāo)公式即可求得斜率，再由點斜式求得直線方程.【詳解】設(shè)直線與拋物線的兩個交點分別為，，將兩點代入拋物線方程得，兩式作差可得，即直線的斜率，所以直線方程為，即故選：B11．雙曲線的左右焦點分別為，且恰為拋物線的焦點，設(shè)雙曲線與該拋物線的一個交點為，若是以為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線方程可確定雙曲線焦點坐標(biāo)和拋物線準線方程，由此得到且；根據(jù)拋物線定義可確定點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式可求得，根據(jù)雙曲線定義可得，進而求得離心率.【詳解】由拋物線方程得：，準線為，即雙曲線的半焦距；是以為底邊的等腰三角形，，由拋物線定義知：，解得：，或，不妨令，又，，由雙曲線定義知：，雙曲線的離心率.故選：B.12．某堆雪在融化過程中，其體積V（單位：）與融化時間t（單位：h）近似滿足函數(shù)關(guān)系：（H為常數(shù)），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為.那么瞬時融化速度等于的時刻是圖中的（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，平均融化速度為，反映的是圖象與坐標(biāo)軸交點連線的斜率，通過觀察某一時刻處瞬時速度（即切線的斜率），即可得到答案.【詳解】解：平均融化速度為，反映的是圖象與坐標(biāo)軸交點連線的斜率，觀察可知處瞬時速度（即切線的斜率）為平均速度一致，故選：C．【點睛】本題考查了圖象的識別，瞬時變化率和切線斜率的關(guān)系，理解平均速度表示的幾何意義（即斜率）是解題的關(guān)鍵.二、填空題13．在等差數(shù)列中，已知，則______．【答案】20【分析】運用等差中項的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵為等差數(shù)列，∴，∴，∴，故答案為：20.14．已知數(shù)列的前n項和，則______．【答案】5【分析】根據(jù)數(shù)列前項和與項的關(guān)系計算．【詳解】，故答案為：5.15．若m是2和8的等比中項，則雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【分析】由雙曲線方程確定，再由等比中項定義求得值后可得漸近線方程．【詳解】由是雙曲線方程得，又m是2和8的等比中項，則，∴（4舍去），雙曲線的漸近線方程為，漸近線方程為．故答案為：．16．已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前6項和＝______．【答案】36【分析】由題意可知數(shù)列為等差數(shù)列，代入其前項和公式即可求得前項和的表達式，即可求得結(jié)果.【詳解】因為知是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，其前項和為，，則，故答案為：36.17．盲盒是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有種玩偶，小明購買個盲盒，則他能集齊種玩偶的概率是______．【答案】【分析】首先確定基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】購買個盲盒，得到玩偶所有情況有種；其中集齊種玩偶的情況有種，所求概率.故答案為：.18．下列敘述中，①等差數(shù)列，為其前n項和，若，，則當(dāng)時，最小；②等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，則為遞增數(shù)列；③等比數(shù)列的前n項和為，若，則有最小項；④在等差數(shù)列中，記，若存在，使得，則為遞增數(shù)列．正確說法有______（寫出所有正確說法的序號）【答案】①④【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可判斷，，進而可判斷①,根據(jù)前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),即可判斷②,根據(jù)條件判斷,進而根據(jù)等比前n項和的函數(shù)性質(zhì)即可判斷③,根據(jù),取為奇數(shù)即可判斷④.【詳解】對于①,等差數(shù)列中，，，故，，進而得，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知當(dāng)時，，當(dāng)，故當(dāng)時，最小，故①正確，對于②，，比如當(dāng)時，，此時,此時，故②錯誤，由可知，因此公比，且故，由于，且，所以，當(dāng)，單調(diào)遞減，此時無最小值，例如時，，故③錯誤，兩式相減得，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以為遞增數(shù)列，故④正確故答案為：①④三、解答題19．某中學(xué)經(jīng)過選拔的三名學(xué)生甲、乙、丙參加某大學(xué)自主招生考核測試，在本次考核中只有不優(yōu)秀和優(yōu)秀兩個等次，若考核為不優(yōu)秀，則沒有加分資格；若考核為優(yōu)秀，獲得分加分資格．假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核結(jié)果相互獨立．(1)求在這次考核中，甲、乙兩名同學(xué)至少有一人獲得加分資格的概率；(2)求在這次考核中甲、乙、丙三名同學(xué)所得加分之和為分的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）計算出兩名同學(xué)都沒有獲得加分資格的概率，根據(jù)對立事件概率公式可求得結(jié)果；（2）所求事件為兩名同學(xué)獲得加分資格，另一名沒有獲得加分資格，結(jié)合獨立事件概率乘法公式進行計算即可.【詳解】（1）若甲、乙兩名同學(xué)都沒有獲得加分資格，則概率為，甲、乙兩名同學(xué)至少有一人獲得加分資格的概率為.（2）甲、乙、丙三名同學(xué)所得加分之和為，則有兩名同學(xué)獲得加分資格，另一名同學(xué)沒有獲得加分資格，則所求概率.20．（1）已知函數(shù)，求；（2）已知函數(shù)，若曲線在處的切線也與曲線相切，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)后，代入即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得在處的切線斜率，進而得到切線方程；設(shè)該直線與相切于，求得在處的切線方程，根據(jù)兩切線方程相同，可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】（1），；（2），，又，在處的切線方程為：；設(shè)與相切于點，，，切線方程為：，即，，解得：.21．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若______，數(shù)列滿足，，，．(1)求的通項公式；(2)求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入可求得；若選①②，利用等差數(shù)列通項公式化簡已知等式，可構(gòu)造方程求得公差，進而得到；若選③，利用等差數(shù)列求和公式可構(gòu)造方程求得公差，利用等差數(shù)列通項公式可得；（2）將代入，化簡整理可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式可求得.【詳解】（1）由得：，即；若選條件①：由得：，解得：（舍）或，；若選條件②：由得：，解得：，；若選條件③：，解得：，.（2）由（1）得：，，又，，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.22．已知拋物線的焦點為，準線為，是上的動點．(1)當(dāng)時，求直線的方程；(2)過點作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，直線與的另一個交點為，證明：直線經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】(1)或(2)直線經(jīng)過定點【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式和拋物線方程可求得點坐標(biāo)，由此可求得直線方程；（2）設(shè)，可得和直線方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得；當(dāng)時，可求得直線方程為：，由此可確定定點；當(dāng)時，直線，恒過；綜合兩種情況可得結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線方程知：，準線；設(shè)，則，解得：，，解得：，則或，或，直線的方程為：或，即或.（2）設(shè)，即，則，直線，由得：，解得：或，；當(dāng)時，，直線方程為：，整理可得：，直線恒過點；當(dāng)時，直線方程為，恒過點；綜上所述：直線經(jīng)過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用問題，涉及到焦半徑公式的應(yīng)用、直線過定點問題的求解；本題求解直線過定點的關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程聯(lián)立，求得直線上的點的坐標(biāo)，進而整理得到直線方程，根據(jù)直線方程的形式求得定點坐標(biāo)即可.23．在無窮數(shù)列中，對于任意，都有，且．設(shè)集合，將非空集合中元素的最大值記為，即是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)最大值；為空集時，記．我們稱數(shù)列為數(shù)列的相依數(shù)列．例如：數(shù)列是1，3，4，…，它的相依數(shù)列是1，1，2，3，…．(1)設(shè)數(shù)列是2，3，5，…，請寫出的相依數(shù)列的前5項；(2)設(shè)，求數(shù)列的相依數(shù)列的前20項和；(