2022-2023學(xué)年北京市密云區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市密云區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線(xiàn)的方程直接求解準(zhǔn)線(xiàn)方程即可.【詳解】解：由拋物線(xiàn)，可得其準(zhǔn)線(xiàn)方程是.故選：A.2．已知數(shù)列，首項(xiàng)，，則（

）A．5 B．8 C．11 D．15【答案】B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得.【詳解】.故選：B3．設(shè)，是兩條不同的直線(xiàn)，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】根據(jù)空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義可知，若，，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，，則可能平行，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，，則可能含于平面，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，，則可能含于平面，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A4．已知直線(xiàn).則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在直線(xiàn)上 B．直線(xiàn)的傾斜角為C．直線(xiàn)在軸上的截距為8 D．直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為【答案】B【分析】逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，代入直線(xiàn)方程后得，∴點(diǎn)不在直線(xiàn)l上，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為，∵，∴，又∵，∴，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，令得：，∴直線(xiàn)l在y軸上的截距為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，∵直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為，∴，這與已知相矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.5．在四面體OABC中記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，即得.【詳解】由題意得：.故選：B.6．若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先求出漸近線(xiàn)方程，代入點(diǎn)化簡(jiǎn)求解.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，點(diǎn)在一條漸近線(xiàn)上即故選：D7．若直線(xiàn)：與：互相平行，則a的值是（

）A． B．2C．或2 D．3或【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)：與：互相平行，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，：，互相平行；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，：，重合；所以，故選：A8．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B9．已知直線(xiàn)和圓：，則直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【解析】求出直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，確定定點(diǎn)在圓內(nèi)，則可判斷．【詳解】直線(xiàn)方程整理為，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，而，在圓內(nèi)，∴直線(xiàn)與圓相交．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是確定動(dòng)直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定點(diǎn)到圓的位置關(guān)系：圓的一般方程為，點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外．10．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿(mǎn)足，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得平面【答案】C【分析】根據(jù)選項(xiàng)A，可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，則，判斷選項(xiàng)A；根據(jù)選項(xiàng)B，可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則，判斷選項(xiàng)B；設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，根據(jù)選項(xiàng)C，可得點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，可證得面，即可判斷選項(xiàng)C；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】當(dāng)時(shí),,則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則此時(shí)面積取得最大值，,由于直三棱柱，則,為等腰直角三角形,則,面則面面則,故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則,由于點(diǎn)到平面的距離為定值，點(diǎn)到線(xiàn)段的距離恒為則,則，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，,設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，,則面，則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，面，即面，則,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面的法向量為.則當(dāng)時(shí)，則與平行，則存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用向量方法解決立體幾何問(wèn)題，樹(shù)立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線(xiàn)性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類(lèi)比..二、填空題11．已知直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，則的值是______.【答案】【分析】根據(jù)直線(xiàn)垂直列方程，由此求得的值.【詳解】由于兩條直線(xiàn)垂直，所以.故答案為：12．圓心為且和軸相切的圓的方程是______.【答案】【分析】根據(jù)圓的切線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵搱A與軸相切，所以該圓的半徑為，因此圓的方程為，故答案為：13．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，于．若，，則拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，然后在直角三角形中利用可得，從而可得答案．【詳解】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得，又，所以，得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為．故答案為：．14．關(guān)于曲線(xiàn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)圍成的面積是；③曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離者不大于；④曲線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為1.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①②③④【分析】畫(huà)出曲線(xiàn)的圖象，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性、面積、圖象等知識(shí)確定正確答案.【詳解】曲線(xiàn)，則時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此畫(huà)出曲線(xiàn)的圖象如下圖所示，由圖可知：曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，①正確.曲線(xiàn)圍成的面積是，②正確.曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離者不大于，③正確曲線(xiàn)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為1，即，所以④正確.故答案為：①②③④三、雙空題15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______，的最小值為_(kāi)_____.【答案】

【分析】利用求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，，所以，所以，由于時(shí)，，是遞增數(shù)列，，所以的最小值為.故答案為：；四、解答題16．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先由得出公比，再由求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，解?即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為.17．已知圓，圓，直線(xiàn).(1)求圓心到直線(xiàn)的距離；(2)已知直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；(3)判斷圓與圓的位置關(guān)系.【答案】(1)(2)(3)外切【分析】（1）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得正確答案.（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得正確答案.（3）根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑.圓的方程可化為，所以圓心為，半徑.所以圓心到直線(xiàn)的距離為.（2）.（3），所以?xún)蓤A外切.18．如圖所示，在多面體中，梯形與正方形所在平面互相垂直，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先根據(jù)面面平行的判定證明平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到答案.（2）首先取的中點(diǎn)，連接，易證，，再利用線(xiàn)面垂直的判定即可證明平面.（3）首先以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?；平面；，所以平?因?yàn)槠矫?；平面；，所以平?又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平面；又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢樘菪?，且，，所以四邊形為正方形，?所以，，即，.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?，，平面，所以平?（3）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則.所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.19．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，直線(xiàn)與橢圓交于A，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的面積；(3)對(duì)，的周長(zhǎng)是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)是，定值為8，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由a、b、c關(guān)系及點(diǎn)在橢圓上建立方程組即可解得參數(shù)；（2），聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求.（3）判斷直線(xiàn)恒過(guò)左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得周長(zhǎng)為定值.【詳解】（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則，則，∴橢圓為，代入點(diǎn)得，解得.∴橢圓的方程為.（2），則直線(xiàn)為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為.設(shè)，由得，∴，，.∴.∴.（3）的周長(zhǎng)為定值，理由如下：直線(xiàn)l恒過(guò)橢圓左焦點(diǎn)，由橢圓定義可知的周長(zhǎng)為.20．已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，、、、分別是、、、的中點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為已知.條件①：平面；條件②：；條件③：平面平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的大小；(3)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角為，若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）選條件①：平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；選條件②：，由，得到，又，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；選條件③：平面平面，由，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFG的一個(gè)法向量為，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，由求解；（3）設(shè)，，得到，由（2）知平面EFG的一個(gè)法向量為，由求解.【詳解】（1）證明：選條件①：平面，又平面ABCD，所以平面平面，因?yàn)槭钦切?，且是的中點(diǎn)，所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD所以平面；選條件②：；因?yàn)?，所以，則，又，且，所以平面，又平面ABCD，所以平面平面，因?yàn)槭钦切?，且是的中點(diǎn)，所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD所以平面；選條件③：平面平面.因?yàn)槭钦切危沂堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD所以平面；（2）由（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，所以，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角為；（3）設(shè)，，則，由（2）知平面EFG的一個(gè)法向量為：，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，即，整理得，因?yàn)?，所以方程無(wú)解，即不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M.21．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為，，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，如果是，則求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，則說(shuō)明理由；(3)寫(xiě)出面積的最大值.【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后確