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2022-2023學(xué)年上海市長寧區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1.用符號“”“”或“”填空:_____________.【答案】【分析】由集合間的關(guān)系即可求.【詳解】a為集合的其中一個元素,故.故答案為:.2.已知方程的兩根為,則____________.【答案】【分析】結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【詳解】故答案為:3.若,則_____【答案】;【解析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的關(guān)系可直接求得結(jié)果.【詳解】,.故答案為:.4.已知,用表示____________.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】,故答案為:.5.若關(guān)于的不等式的解集是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】由題意,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用判別式求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?,在上恒成立,,即.故答案?.6.已知直角三角形的斜邊長為,則該直角三角形面積的最大值是____________.【答案】100【分析】設(shè)兩直角邊為,則,進(jìn)而根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】解:設(shè)兩直角邊為,∵直角三角形的斜邊長為∴,,,即.故答案為:7.已知冪函數(shù)在區(qū)間是嚴(yán)格減函數(shù),且圖像關(guān)于軸對稱,寫出一個滿足條件的____________.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意且為偶數(shù)即可.【詳解】解:冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù),,又圖像關(guān)于y軸對稱,可以為偶數(shù),故滿足條件a的值可以為.故答案為:-28.指數(shù)函數(shù)在上最大值與最小值之差為6,則__________.【答案】3【分析】分為和兩種情況,結(jié)合函數(shù)的增減性求解即可【詳解】當(dāng)時,函數(shù)為減函數(shù),,,則,方程無解;當(dāng)時,函數(shù)為增函數(shù),,,則,解得,舍去故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)最值在給定區(qū)間求解參數(shù)問題,屬于基礎(chǔ)題9.已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù),則實(shí)數(shù)的范圍是____________.【答案】【分析】先求解的根,判斷兩根的大小以及嚴(yán)格遞增區(qū)間,再判斷m的范圍.【詳解】令,解得或,∴當(dāng)時,在上是嚴(yán)格增函數(shù);若時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,又函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增,故;若時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增恒成立,綜上m的范圍是.故答案為:10.關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【分析】由絕對值三角不等式得,進(jìn)而結(jié)合題意得.【詳解】解:由絕對值三角不等式得:,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即時等號成立,關(guān)于x的不等式的解集為,,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為:11.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù),當(dāng)時,的圖像如圖所示,則關(guān)于的不等式的解集為____________.【答案】【分析】由偶函數(shù)的定義作出在上的圖像,根據(jù)圖像討論即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù),圖像關(guān)于軸對稱,所以在上的圖像如圖所示:的定義域?yàn)?,由圖像可知在上,,,所以,在上,,,所以,在上,,,所以,在上,,,,綜上不等式的解集為,故答案為:12.設(shè),若存在唯一的使得關(guān)于的不等式組有解,則的范圍是____________.【答案】【分析】將不等式拆解后分別計(jì)算,得到,結(jié)合且m是存在且唯一及其范圍得到不等式,求解即可.【詳解】解:,,,,,,且且m是存在且唯一,,故答案為:二、單選題13.如圖,點(diǎn)、分別為的邊、上的兩點(diǎn),若,則是的(
)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【分析】若,根據(jù)平行線分線段成比例定理可推出,而反向通過作圖不一定成立.【詳解】由平行線分線段成比例定理得,當(dāng),;當(dāng)時,不一定成立,如圖所示:則是的充分非必要條件.故選:A.14.用反證法證明命題:“若,則或”時,應(yīng)假設(shè)(
)A.或 B.若或,則C.且 D.若且,則【答案】C【分析】取命題的反面即可.【詳解】用反證法證明命題,應(yīng)先假設(shè)它的反面成立,即且,故選:C.15.如果,那么下列不等式中不成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】取特殊值得到反例即可證明不成立.【詳解】,,故A正確;,故B正確;,故C正確;取,但,故時,不成立,故D錯誤;故選:D.16.已知函數(shù),下列命題中:①若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增(減)函數(shù);②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)函數(shù),則是函數(shù)在在區(qū)間上的最大(或最?。┲?;③若函數(shù)的圖像是一段連續(xù)曲線,如果,則函數(shù)在上沒有零點(diǎn);真命題的個數(shù)為(
)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】B【分析】①③可舉出反例;②可分函數(shù)在上單調(diào)遞增和單調(diào)遞減兩種情況,推理出是在上的最大值或最小值.【詳解】若,則在R上是單調(diào)的,但不是嚴(yán)格單調(diào)增的,故①為假命題;若函數(shù)在上單調(diào)遞增,有,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,有,,故是在上的最大值或最小值,故②為真命題;若,,但,在上有零點(diǎn),故③為假命題.故選:B.三、解答題17.已知集合,集合,且集合,求實(shí)數(shù)、的值以及.【答案】【分析】根據(jù)交集的定義和一元二次方程的根求解.【詳解】將兩個方程中都代入,得:,解得:或3,或3,所以.18.解下列不等式:(1);(2).【答案】(1);(2)或【分析】(1)將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解;(2)根據(jù)絕對值的幾何意義解不等式.【詳解】(1),所以不等式的解為.(2),或,或,所以不等式的解為或.19.科學(xué)家用死亡生物的體內(nèi)殘余碳成分束推斷它的存在年齡.生物在生存的時候,由于需要呼吸,其體內(nèi)的碳含量大致不變.生物死去后會停止呼吸,此時體內(nèi)原有的碳含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率),且大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”,設(shè)某一剛死亡生物體內(nèi)碳含量為.(1)按上述變化規(guī)律,此死亡生物體內(nèi)碳含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系?(2)當(dāng)死亡生物體內(nèi)碳的含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到碳了,請問該生物死亡年后,用一般的放射性探測器能測到它體內(nèi)的碳嗎?【答案】(1)(2)能測到【分析】(1)根據(jù)半衰期的定義可直接得到函數(shù)關(guān)系式;(2)將代入函數(shù)關(guān)系式中可求得碳的含量大于死亡前的千分之一,由此可得結(jié)論.【詳解】(1)體內(nèi)原有的碳,每經(jīng)過年衰減為原來的一半,年后體內(nèi)的碳應(yīng)為原來的,.(2)由(1)得:該生物死亡年后,體內(nèi)的碳的含量為,碳的含量大于死亡前的千分之一,用一般的放射性探測器能測到它體內(nèi)的碳.20.設(shè).(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;(2)判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性,并說明理山;(3)若,求的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)單調(diào)遞增,證明見解析(3)【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷即可;(2)根據(jù)在上單調(diào)遞增判斷單調(diào)性,并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義證明;(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式即可.【詳解】(1)解:,由,得,,為奇函數(shù)(2)解:∵,函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴可以判斷在其定義域上單調(diào)遞增,證明如下:令,∵,∴,,∴,∴,∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)(3)解:∵為奇函數(shù)∴,∵在上為單調(diào)遞增函數(shù),∴,解得∴的取值范圍為.21.若兩個函數(shù)和對任意都有,則稱函數(shù)和在上是“密切”的.(1)已知命題“函數(shù)和在上是“密切”的”,判斷該命題的真假.若該命題為真命題,請給予證明;若為假命題,請說明理由;(2)若函數(shù)和在上是“密切”的,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)已知常數(shù),若函數(shù)與在上是“密切”的,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)假命題,理由見解析;(2)(3)【分析】(1)由題意可知,由一元二次函數(shù)的圖像結(jié)合函數(shù)“密切”的定義判斷即可;(2)由解出的取值范圍,根據(jù)集合間的關(guān)系求解即可;(3)由函數(shù)“密切”的定義結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解
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