山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

設(shè)，定義P※Q＝，則P※Q中元素的個(gè)數(shù)為

.參考答案：122.已知在處取得極值2，則參考答案：C略3.將函數(shù)的圖象按向量平移后，得到的圖象，則

（

）

A．=（1，2）

B．=（1，－2）

C．=（－1，2）

D．=（－1，－2）參考答案：D4.定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】由題知：

所以所以

所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（），位于第二象限。5.已知且，函數(shù)在[－2,2]上的最大值為3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別求出函數(shù)遞增和上的最大值，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，由得（舍）或，此時(shí)為增函數(shù)，由得，此時(shí)為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，∵在上的最大值為3，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值不能超過(guò)3即可，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，即，得，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則，此時(shí)滿(mǎn)足條件．綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)最值的求解，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．6.函數(shù)的圖象大致是參考答案：C7.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B8.高三某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知5號(hào)、33號(hào)、47號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)為

(A)13

(B)17

(C)19

(D)21參考答案：C略9.集合若,則 A． B． C． D．參考答案：D因?yàn)?所以,即,所以,即,所以,選D．10.到兩條互相垂直的異面直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，被過(guò)一直線(xiàn)與另一直線(xiàn)垂直的平面所截，截得的曲線(xiàn)為（）A．相交直線(xiàn) B．雙曲線(xiàn) C．拋物線(xiàn) D．橢圓弧參考答案：C【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，則兩條異面直線(xiàn)的方程可得，設(shè)空間內(nèi)任意點(diǎn)設(shè)它的坐標(biāo)是（x，y，z）根據(jù)它到兩條異面直線(xiàn)的距離相等，求得z的表達(dá)式，把z=0和y=0代入即可求得軌跡．【解答】解：如圖所示，建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)兩條互相垂直的異面直線(xiàn)為OA，BC，設(shè)OB=a，P（x，y，z）到直線(xiàn)OA，BC的距離相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，則z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，則y=0，z2=﹣2ax+1故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|（a，b∈R）的最大值為11，則a2+b2=

．參考答案：50．【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．【分析】化簡(jiǎn)asinx+bcosx為sin（x+α），化簡(jiǎn)bsinx﹣acosx為﹣cos（x+α），可得f（x）的解析式，當(dāng)f（x）達(dá)到最大值時(shí)，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+?cos（x+α+），結(jié)合題意可得1+?=11，由此求得a2+b2的值．【解答】解：∵asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+α），其中，tanα=，又bsinx﹣acosx=[（﹣cosx）+sinx]=﹣[cosx﹣sinx]=﹣cos（x+α）．∴函數(shù)f（x）=|asinx+bcosx﹣1|+|bsinx﹣acosx|=|sin（x+α）﹣1|+|cos（x+α）|f（x）達(dá)到最大值時(shí)，f（x）=﹣sin（x+α）+1+cos（x+α）=1+?cos（x+α+）．由于函數(shù)f（x）的最大值為11，∴1+?=11，∴a2+b2=50，故答案為：50．12.lg22+lg2lg5+lg5=．參考答案：1考點(diǎn)： 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： 利用lg2+lg5=1即可求得答案．解答： 解：∵lg2+lg5=lg10=1，∴l(xiāng)g22+lg2lg5+lg5=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=lg10=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，注意lg2+lg5=1的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比為，則它們的第7項(xiàng)之比為_(kāi)_______．參考答案：314.已知口袋里裝有同樣大小、同樣質(zhì)量的個(gè)小球，其中個(gè)白球、個(gè)黑球，則從口袋中任意摸出個(gè)球恰好是白黑的概率為

.（結(jié)果精確到）參考答案：任意摸出個(gè)球恰好是白黑的概率為。15.已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為

．參考答案：16.等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=4x上，則這個(gè)等腰直角三角形的面積為

．參考答案：16【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，可得等腰三角形的另外兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求得直線(xiàn)y=x和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，即可得到所求面積．【解答】解：由等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=4x上，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得另外兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)直線(xiàn)y=x，代入拋物線(xiàn)y2=4x，可得x2=4x，解得x=0或x=4，可得等腰直角三角形的另外兩個(gè)點(diǎn)為（4，4），（4，﹣4），則這個(gè)等腰直角三角形的面積為?（）2=16．故答案為：16．17.設(shè)集合，，則

▲

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且.（Ⅰ）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：見(jiàn)解析【考點(diǎn)】空間的角平面法向量的求法平行【試題解析】

解：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)作，交于,連接,因?yàn)椋?又，，所以.所以為平行四邊形,所以.又平面，平面,（一個(gè)都沒(méi)寫(xiě)的，則這1分不給）所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)樘菪沃?，?所以.因?yàn)槠矫?，所?如圖，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)樗裕?，取得?同理可得,所以,因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角為.（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，所以,所以，解得,所以存在點(diǎn)，且.19.智能手機(jī)功能強(qiáng)大，許多人喜歡用手機(jī)看電視、看電影．某同學(xué)在暑假期間開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐，對(duì)[25，55]歲的人群隨機(jī)抽取1000人調(diào)查是否喜歡用手機(jī)看電視、看電影，對(duì)喜歡用手機(jī)看電視、看電影的稱(chēng)為“手機(jī)族”，得到如下各年齡段“手機(jī)族”人數(shù)頻率分布直方圖：（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）從[40，50）歲年齡段的“手機(jī)族”中采用分層抽樣法抽取10人參加戶(hù)外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，并從中選取3人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中年齡在[40，45）歲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）如圖所示，第二組的頻率為1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，即可得出高．（2）第四組的人數(shù)為0.03×5×1000=150，第五組的人數(shù)為0.02×5×1000=100．因?yàn)閇40，45）歲年齡段的”低碳族“與[45，50）歲年齡段的”低碳族”的比值為150：100=3：2，所以采用分層抽樣法抽取10人，[40，45）歲中有6人，[45，50）歲中有4人．由題意可得：X=0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）如圖所示，第二組的頻率為1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高為=0.06．頻率直方圖如下：（2）第四組的人數(shù)為0.03×5×1000=150，第五組的人數(shù)為0.02×5×1000=100．因?yàn)閇40，45）歲年齡段的”低碳族“與[45，50）歲年齡段的”低碳族”的比值為150：100=3：2，所以采用分層抽樣法抽取10人，[40，45）歲中有6人，[45，50）歲中有4人．由題意可得：X=0，1，2，3．∴P（X=k）=，可得P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X0123P∴EX=0++3×=．20.“微信運(yùn)動(dòng)”是一個(gè)類(lèi)似計(jì)步數(shù)據(jù)庫(kù)的公眾賬號(hào).用戶(hù)只需以運(yùn)動(dòng)手環(huán)或手機(jī)協(xié)處理器的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)為介，然后關(guān)注該公眾號(hào)，就能看見(jiàn)自己與好友每日行走的步數(shù)，并在同一排行榜上得以體現(xiàn).現(xiàn)隨機(jī)選取朋友圈中的50人，記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下：步數(shù)/步0～30003001～60006001～80008001～1000010000以上男生人數(shù)/人127155女性人數(shù)/人03791規(guī)定：人一天行走的步數(shù)超過(guò)8000步時(shí)被系統(tǒng)評(píng)定為“積極性”，否則為“懈怠性”.（1）以這50人這一天行走的步數(shù)的頻率代替1人一天行走的步數(shù)發(fā)生的概率，記表示隨機(jī)抽取3人中被系統(tǒng)評(píng)為“積極性”的人數(shù)，求和的數(shù)學(xué)期望.（2）為調(diào)查評(píng)定系統(tǒng)的合理性，擬從這50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其中男性中被系統(tǒng)評(píng)定為“積極性”的有4人，“懈怠性”的有2人，從中任意選取3人，記選到“積極性”的人數(shù)為；其中女性中被系統(tǒng)評(píng)定為“積極性”和“懈怠性”的各有2人，從中任意選取2人，記選到“積極性”的人數(shù)為；求的概率.參考答案：1）被系統(tǒng)評(píng)為“積極性”的概率為.故，的數(shù)學(xué)期望；（2）“”包含“”，“”，“”，“”，“”，“”，，，，，，，所以.21.已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集；(2)若存在使得成立,求k的取值范圍參考答案：（1）（2）【分析】（1）代入,將不等式進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而化簡(jiǎn)求解即可：（2）當(dāng)時(shí)，明顯，成立等價(jià)于存在使，即成立，最后設(shè)，當(dāng)時(shí)，用最值分析法求解即可得到的取值范圍【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí),故不等式可化為：或或解得：，所以解集為.（2）當(dāng)時(shí)，,，于是原問(wèn)題等價(jià)于存在使，即成立.設(shè)，,則.因?yàn)闉殚_(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.令，解得或.又，因此的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題，以及含參不等式的參數(shù)范圍問(wèn)題，解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)不等式去絕對(duì)值后的化簡(jiǎn)和用最值分析法求出參數(shù)的取值范圍.22.（1）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)（，﹣），（，），求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：解：（1）由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p＞0），∵拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=﹣，∴=，解得p=，故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=x．（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0），代入點(diǎn)（，﹣），（，），可得，∴m=1，n=，∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣y2=1考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專(zhuān)題：計(jì)算題；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px（p＞0），根據(jù)題意建立關(guān)于p的方程，解之可得p=，得到拋物線(xiàn)方程；（2）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx