高校(理工類)數(shù)學(xué)拉格朗日插值公式教學(xué)(課堂講義)

§3.3拉格朗日插值公式

線性插值僅僅利用兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的信息，精度很低。下面考察下述三點(diǎn)插值問(wèn)題：給定含有三個(gè)結(jié)點(diǎn)的函數(shù)表：作二次多項(xiàng)式y(tǒng)=p2(x)，使y=p2(x)在結(jié)點(diǎn)x0，x1，x2分別取函數(shù)值y0，y1，y2，即滿足條件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2問(wèn)題的提出已知y=f(x)在結(jié)點(diǎn)x0，x1，x2分別取函數(shù)值y0，y1，y2，求二次多項(xiàng)式y(tǒng)=p2(x)=a0+a1x+a2x2，滿足條件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2根據(jù)要滿足的三個(gè)條件，確定三個(gè)未知數(shù)a0，a1，a2滿足，因此可采用待定系數(shù)法。即：基本插值多項(xiàng)式為了得到插值多項(xiàng)式y(tǒng)=p2(x)，先解決一個(gè)比較簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題：尋求二次式A0(x)，使?jié)M足條件A0(x0)=1，A0(x1)=0，A0(x2)=0或者說(shuō)，使適合下列函數(shù)表這樣的插值多項(xiàng)式不難直接構(gòu)造出來(lái)。為避免解線性方程組，下面仿線性插值，用基函數(shù)的方法求解方程組。基本插值多項(xiàng)式由條件A0(x1)=A0(x2)=0知，A0(x)含有x–x1和x–x2兩個(gè)因子，令A(yù)0(x)=λ(x–x1)(x–x2)再用條件A0(x0)=1確定其中的系數(shù)λ，結(jié)果得到：基本插值多項(xiàng)式類似地作出滿足條件A1(x0)=0，A1(x1)=1，A1(x2)=0與A2(x0)=0，A2(x1)=0，A2(x2)=1的插值多項(xiàng)式A1(x)與A2(x)：得到的三個(gè)插值多項(xiàng)式Ak(x)（k=0,1,2）統(tǒng)稱以x0，x1，x2為結(jié)點(diǎn)的基本插值多項(xiàng)式。二次插值用這些基本插值多項(xiàng)式作出的線性組合y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x)顯然是個(gè)不超過(guò)2次的多項(xiàng)式，并且滿足條件（7），因而即為所求的插值多項(xiàng)式y(tǒng)=p2(x)?；静逯刀囗?xiàng)式Ak(x)的表達(dá)式上面已經(jīng)導(dǎo)出，代入上式得到：二次插值的幾何意義這種二次插值的幾何解釋是，用通過(guò)三點(diǎn)(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)所作的拋物線來(lái)近似曲線y=f(x)，因此二次插值亦稱拋物插值(圖3-2)。舉例[例3-3-1]利用100，121和144的平方根，求。[解]利用拋物插值公式其中，x0=100，y0=10；x1=121，y1=11；x2=144，y2=12；又x=115，代入求得再同所求平方根的實(shí)際值10.7238比較，得到了具有4位有效數(shù)字的結(jié)果。一般形式的插值問(wèn)題（n次插值）進(jìn)一步討論一般形式的插值問(wèn)題。設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上的函數(shù)值，構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n次的代數(shù)多項(xiàng)式使。即n次代數(shù)插值滿足在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)式和被插值函數(shù)f(x)相等，而且插值多項(xiàng)式P(x)的次數(shù)不超過(guò)n次。一般形式的插值問(wèn)題（n次插值）仿照線性插值和二次插值所采用的辦法，仍從構(gòu)造所謂基本插值多項(xiàng)式著手。先對(duì)某個(gè)固定的下標(biāo)k，作n次多項(xiàng)式Ak(x)，使?jié)M足條件：或者說(shuō)，使適合下列簡(jiǎn)單形式的函數(shù)表：一般形式的插值問(wèn)題如果對(duì)每個(gè)下標(biāo)k(k=0,1,2,…,n)能作出這樣的基本插值多項(xiàng)式Ak(x)，那么它們的線性組合：就是所求的插值多項(xiàng)式。事實(shí)上，由于Ak(x)都是n次的，pn(x)的次數(shù)不會(huì)超過(guò)n。另外，利用(8)式，得即y=pn(x)確實(shí)滿足所給條件。一般形式的基本插值多項(xiàng)式于是，問(wèn)題歸結(jié)為具體求出基本插值多項(xiàng)式Ak(x)。根據(jù)(8)式，xk以外的所有結(jié)點(diǎn)都是Ak(x)的零點(diǎn)，因此，令這里符號(hào)П的含義是累乘，表示乘積遍取j從0到n除j=k以外的全部正整數(shù)值。式中的λ為待定系數(shù)。拉格朗日插值公式待定系數(shù)λ通過(guò)(8)式中尚未用過(guò)的一個(gè)條件Ak(xk)=1來(lái)確定它，結(jié)果得：稱為拉格朗日基函數(shù)，代入(9)式，即得所求插值多項(xiàng)式y(tǒng)=pn(x)的表達(dá)式：上式就是所謂拉格朗日（Lagrange）插值公式。拉格朗日插值的實(shí)現(xiàn)在給定點(diǎn)x，用插值公式(10)計(jì)算y=pn(x)的值作為函數(shù)f(x)在x點(diǎn)處的近似值，這個(gè)過(guò)程稱作插值。插值多項(xiàng)式的次數(shù)稱作插值的階。點(diǎn)x稱作插值點(diǎn)。如果插值點(diǎn)x位于插值區(qū)間內(nèi)，這種插值過(guò)程稱內(nèi)插，否則稱作外推。拉格朗日公式(10)在邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán)。內(nèi)循環(huán)(j循環(huán))由累乘求得系數(shù)：然后再通過(guò)外循環(huán)(k循環(huán))由累加得到結(jié)果：拉格朗日插值對(duì)于拉格朗日插值公式，特別地,當(dāng)n=1時(shí)又叫線性插值,其幾何意義為過(guò)兩點(diǎn)的直線.當(dāng)n=2時(shí)又叫拋物插值,其幾何意義為過(guò)三點(diǎn)的拋物線.應(yīng)注意,對(duì)于插值節(jié)點(diǎn),只要求它們互異,與大小次序無(wú)關(guān)。拉格朗日插值多項(xiàng)式的唯一性[證]：設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為：pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關(guān)于系數(shù)a0,a1,…,an的線性代數(shù)方程組

設(shè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件pn(xi)=yi的n次多項(xiàng)式pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn存在且唯一。定理拉格朗日插值多項(xiàng)式的唯一性

此方程組有n+1個(gè)方程,n+1個(gè)未知數(shù),其系數(shù)行列式是范德蒙行列式，即：拉格朗日插值多項(xiàng)式的唯一性拉格朗日插值多項(xiàng)式的唯一性由于插值節(jié)點(diǎn)

xi互不相同,所有因子

xj-xi0,所以上述行列式不等于零,故由克萊姆法則知方程組的解存在且唯一.即滿足條件式

的n次多項(xiàng)式存在且唯一。證畢。拉格朗日插值多項(xiàng)式的唯一性反證：若不唯一，則除了Pn(x)外還有另一n

階多項(xiàng)式Q(x)滿足Q(xi)=yi

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