概率論題庫整理

品】概率論題庫整理考試試卷分布說明：試卷共四個(gè)大題：選擇題、填空題、判斷題和解答題，共22個(gè)小題。其中：選擇題共5個(gè)小題（4個(gè)基礎(chǔ)題，1個(gè)能力題），每小題4分，共20分；填空題共6個(gè)（5個(gè)基礎(chǔ)題，1個(gè)能力題），每小題4分，共24分；判斷題共6個(gè)（5個(gè)基礎(chǔ)題，1個(gè)能力題），每小題2分，共12分；解答題共5個(gè)（3個(gè)基礎(chǔ)題，1個(gè)能力題,1個(gè)提高題），3個(gè)基礎(chǔ)題每小題8分，能力題和提高題各10，共44分。滿足：基礎(chǔ)題：能力題：提高題=7:2:1一、選擇題40小題。（每小題4分，共5小題，共20分）1、從四個(gè)乒乓球種子選手中選兩個(gè)人代表學(xué)校出去比賽，在比賽前采用每兩個(gè)人都對決的選拔賽，則選拔賽共要舉行的場數(shù)為（A）A、6 B、30 C、4 D2、下列不屬于抽樣調(diào)查的特點(diǎn)的是（D A、經(jīng)濟(jì)性 B、時(shí)效性 C D3、書架上一共有3本英文書，2本法文書，5本中文書，從中任取一本，則取得的書是外文書的概率（ A、 B、 C、 4、設(shè)某種電燈泡的壽命X服從正態(tài)分布N(,2),其中是未知的，現(xiàn)在隨機(jī)的抽取4只這種燈泡，測得其壽命為1500，1455，1368，1649，是估計(jì)總體均值為（C A、 B、1649 C、1493 D率是（C）

D6、下列表格是某隨機(jī)變量ξ的分布列：則表中a的取值是（C）A、 B、 C 11概率是（A）A、 B C 8、隨機(jī)變量ξ～N(20，25),則隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差是（D）0;P A、 B、25 C、45 D9甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，甲命中的概率為，乙命中的概率為，則目標(biāo)被擊中的概率為（B）A、 B、 C D

11、書架上一共有3本英文書，2本法文書，5本中文書，從中任取一本，則取得的書是外文書的概率（A）A、 B、 C、 12一目標(biāo)射擊，甲命中的概率為，乙命中的概率為，則目標(biāo)被兩人都擊中的概率為（D A、 B C 13、某人從甲地到乙地要經(jīng)過三個(gè)有紅、綠燈的交通路口，則他一路是碰綠燈的概率是A

D

字之和為6的概率為（D）

15、設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，則A、B、C至少發(fā)生一個(gè)的事件應(yīng)該表示為（B）A、 B、A∪B∪C 16、為二維隨機(jī)變量（ξ、η）的兩個(gè)分量ξ與η的相關(guān)系數(shù)，則ξ、η以概率1線性相關(guān)的充要條件是（D）A、=0 D、117、每次試驗(yàn)成功的概率是p（0<p<1）,重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)直到第n次才取得r(1rn)次成功的概率是 A r nrr

B、C

r1prn

nrCC、pr1pnr

D、C

r1

pr1

nr D A、a-b B、a+b C、a Da19、設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，則A、B、C至少發(fā)生兩個(gè)的事件應(yīng)該表示為（A）A、AB∪AC B、AB∪AC∪BC∪ C、ABC DAB20、某隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為10的普哇松分布，則其數(shù)學(xué)期望是（B A、1 B、10 C、0 D、21、若函數(shù)f（x）是某一隨機(jī)變量X的概率密度，則一定成立的是（C A、f（x）的定義域?yàn)閇0，1]； B、f（x）的值域?yàn)閇01]C、f（x D、f（x）在（∞，22、設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(,2)，則下列各式中服從N(0,1)的是（A A、

D

023、設(shè)ξ與η為兩個(gè)隨機(jī)變量，則下列各式一定正確的是（C）A、D()D()D() C、E()E()E() D、E()E()E()24、設(shè)隨機(jī)變量的ξ的分布律是：ξ 0 1

則η=ξ2的分布律是（D η=

η=

η=

0

1

4Dη=

0

1

4 43

C2P2 43

C2P2 34

D 3426、下列函數(shù)中，可看作某一隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)的是(C)A、f(x)1x2,x;

f(x)

,x;

f(x)

,x;

D

f(x)

,x.27、己知隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(2,4),則( B ). A、1； B C B、X與Y不相關(guān)C、D(Y)0 B 31、若P（B|A）=0，則下列命題中正確的是(

(A)BA (B)AB= (C)AB (D)A-B=32、,相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(1,32)，則D(2)( C (B)9 (C)45 33、某商家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的商品，產(chǎn)品數(shù)量之比為：4：7，現(xiàn)在分層為（C A、 B、80 C、84 D34、連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為p(x)2 則D（）為（

D）

D35、連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)為p(x) ，則D（）為（C

、

D D

P(x

Xx

)

F(xk1)F(xk1)

P(x

Xxk1)

D

F(x

)F(xk1)為（A）A、 B、 C、 表示的集合是（ A、{3， B、{1，3，8，9} C、{4，5} D、{1，2，5，6，，8，9， 39、5、己知隨機(jī)變量X的期望E(X)5,方差D(X)4,則（A）.A、P{X-56}8

40、、一盒產(chǎn)品中有a只正品，b只次品，有放回地任取兩次，第二次取到正品的概率為（C）

a1ab1

a(a1)(ab)(ab1)

aab

a D、ab

二、填空題填空題48小題。（每小題4分，共6小題，24分）1、設(shè)一個(gè)容量為7的樣本是：2，11，8，4，3，6，15，則樣本中的中位數(shù)是6 2、將一枚硬幣均勻投擲三次，則三次中恰好出現(xiàn)兩次正面向上的概率為 4、設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(,

),

～N（0，1）。 21。 P(η 9、將一枚硬幣均勻投擲四次，則四次中恰好出現(xiàn)兩次正面向上的概率為

X4,DY1,RX,Y0.6，則BA1BA2BA3B_ 1919、若X~N(1,),),Y~N(2,2,222)分布。 1 若X與Y相互獨(dú)立，則、的值分別為：2

,

13、已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松（Poisson）分布，且隨機(jī)變量Z2X2，則 2

15、事件A與B相互獨(dú)立，P(A)0.4,P(AB)0.7,則P(B) 16、某人投籃命中率為，直到投中為止，所用投球數(shù)為4的概率為625。17、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從“0-1”分布，p0.4；Y服從2的泊松分18、已知D(X)16,D(Y)9,

1,則D(X2Y)

22)，且X與Y相互獨(dú)立，則ZXY服從N(

20、3人獨(dú)立編寫同一計(jì)算機(jī)程序，他們各自能成功的概率分別是,,，則能將此程序編寫成功的概率是。

23、設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

；

0.76。則= ，X的期望E(x) 24、離散型隨機(jī)變量ξ的分布律為P(ξ=k)=

c,k1,2,3，則c=

49

計(jì)值是___5____，總體方差的矩估計(jì)是___15/2____。00

的指數(shù)分布，則E(X)=1000。28、設(shè)A、B、C為事件,則事件A、B、C同時(shí)不發(fā)生表示為ABC。(用事件運(yùn)算表示) 30、(X,Y)為二維隨機(jī)變量，如果X與Y不相關(guān), E(Y)=25，則E(XY)=50 33、飛機(jī)的雷達(dá)發(fā)射管的壽命X（單位：小時(shí)）服從參數(shù)為=40000.

數(shù)分布，則35、已知P(A)=,P(B|A)=,則P(A B)=。36、3.一個(gè)袋內(nèi)有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，任取3個(gè)球恰為一紅、一白、一黑率為。36、一種動(dòng)物的體重X是一隨機(jī)變量，設(shè)E(X)=33,D(X)=4，10個(gè)這種動(dòng)物的平均體重記37、假設(shè)X~B(5,(二項(xiàng)分布),Y~N(2,36),則E(X+Y)=。.由乙射擊。設(shè)兩人的射擊是相互獨(dú)立的，則目標(biāo)被射中的概率為。40、離散型隨機(jī)變量ξ的分布律為P(ξ=k)=

41、在中國象棋的棋盤上任意的放上一只紅“車”和一只黑“車”，則它們正好可以互的概率是42、43、

設(shè)DX4,DY1,RX,Y0.6，則DXY 0,x1a,1x1F(x)2a,1x2ab,x2

且P(X2)1

，則a

,b

P(AB) 3定各工序是否出廢品是相互獨(dú)立的，則經(jīng)過3道工序而不出廢品的概率為。46、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,42),P(X>c)=P(Xc),那么常數(shù)c=3 47、A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，若P(A)=，P(B)=，若A,B互不相容，則 三、判斷題,對的打“√”，錯(cuò)的打“×”48小題。（每小題2分，共12分）1、“將一只白球一只黑球隨機(jī)地放入4個(gè)不同的盒子里”是古典概型。（√）2、“某射擊手一次射擊命中的環(huán)數(shù)”是幾何概型。 （×）3、在十進(jìn)制中，2+5=7是必然事件。 （√）4、在常溫下，鐵熔化是不可能事件。 （×） （×）6兩個(gè)邊際分布都是一維正態(tài)分布的二維隨機(jī)變量，則它們的聯(lián)合分布是一個(gè)二維正態(tài)分布。 （×）7、二維隨機(jī)變量（ξ、η）～N(1,2,32,52，2)的Cov（ξ、η）為30。（√）服從參數(shù)為

2的泊松分布。（√）9、2008年8月8日奧運(yùn)會(huì)在北京舉行是必然事件U。

（√） （×）11、在六十進(jìn)制中，2+5=7是必然事件。 （×）12、若隨機(jī)事件A、B相互獨(dú)立，則事件A、B互斥。 （×）13、事件A的概率P（A）等于O,事件A也有可能發(fā)生。（√）14、X函數(shù)的期望值等于X期望的函數(shù)。 （×）15、若隨機(jī)事件A、B相互獨(dú)立，則事件A與B也相互獨(dú)立。（√）16、事件的概率與試驗(yàn)的先后次序無關(guān)。 （×） （×）18、估計(jì)量s2=1(x

x)2是總體方差的無偏估計(jì)量。

（×）19、如果二元隨機(jī)變量（X，Y）有D(X﹣Y)=D(X+Y)，則X與Y不相關(guān)。（√）20、隨機(jī)變量X服從泊松分布時(shí)，則必有E(X)D(X)。 （√）21、兩事件A、B若滿足P(AB)=P(A)P(B），則稱A、B獨(dú)立。（√）22、兩事件A、B若滿足P(A+B)=P(A)+P(B），則稱A、B獨(dú)立。（×）23、獨(dú)立事件的任一部分也獨(dú)立。 （√） 。隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布列為p(k) 1 2e （√）24、小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件。（√）（26概型的不同之處是古典概型要求基本事件有有限個(gè)，幾何概型要求基本事件有無限多個(gè)。（√）27、公車5分鐘一趟，求等待時(shí)間不超過3分鐘的概率。（√）28、在500ml的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是。（√）這是可以看著是一個(gè)貝努里概型。（√）為正態(tài)分布。（√）31、隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)相互唯一確定。（√）32、兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于他們的特征函數(shù)之和。（×）33、為任意二隨機(jī)事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。（×）34、設(shè)X為隨機(jī)變量，a、b是不為零的常數(shù)，則。（×）35、設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，X與Y不相關(guān)的充分必要條件是X與Y的協(xié)方差等于0。（√）36、設(shè)A、B、C為三事件，若滿足：三事件兩兩獨(dú)立,則三事件A、B、C相互獨(dú)立。）37、任意連續(xù)型隨機(jī)變量均有方差存在。（×）38、事件“ABC”表示三事件A、B、C至少有一個(gè)發(fā)生。（×）39、設(shè)隨機(jī)變量~B(n,p),E()3,D()1.2，則n為5。（√）下是能力題）

B發(fā)生的概率為1。（×）41、若ξ、η是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為 和2的普哇松分布，則1 1 00

，某中學(xué)校園內(nèi)共有5000師生，則該校園內(nèi)患有這種疾病的人數(shù)超過5的概率大約為。（√） B的意思是事件A與事件B至少有一件發(fā)生（√）44、已知隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X~N(2,4),Y~N( 2,1),則X+Y~U(2,4)。（×）45、已知隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X2＋Y2服從自由度為2的2分布。 （√）（√）

f(x)

a 47、設(shè)隨機(jī)變量X~N(10,2)，且P{10X20}0.3，則P{0X20}。（√）48、設(shè)隨機(jī)變量X~t(n)(n1)，Y

，則Y~F（n,1）。（√）四、解答題。（寫出詳細(xì)過程，不能直接寫出答案。）（1---24小題每題8分）射手：（1）一次射擊至少射中9的概率；（2）一次射擊至少中8環(huán)的概率。（8解：（1）+=----------（4分）（2）++= ------------（8分）此處略。2、從5男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選的3人中女生的人數(shù)。（分）（1球ξ的分布列；（2求ξ的數(shù)學(xué)期望；解：1）、可能取的值為0，1，2。----------（1分）P(k)C3

,k0,1,2。-------------（3分）所以，的分布列為：（2）、由（1），的數(shù)學(xué)期望為：1 3 E012 5 5

----------（5分）（3）、由（1），“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為：P(1)P(0)P(1)4

-------

8此處略。0.60.40.60.40.76 （4分）P(AB)P(A)P(A)P(B)0.60.60.40.36

------------

84、小王、小張兩人相約7：00到8：00在老地方會(huì)面，約好了先到者等候另一人20分鐘，過時(shí)方可離去，假定兩個(gè)人到達(dá)相會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間可在7：00到8：00的任一時(shí))x則0≤x≤60,0≤y≤60,---------------------(1分)他們兩人能會(huì)面的充要條件是xy20------------------（2分）畫出圖形，陰影部分滿足條件----------------- （4分）40PP(A1)CPP(A)CCPP(A)C602

（8分）此處略。5、在20件產(chǎn)品中，有15件是一等品，5件是二等品，從中任取3件，其中至少有1件是二等品的概率是多少（本題8分）解：3件產(chǎn)品中至少有1件是二等品包括以下三種：A1恰有1件二等品；A2恰有2件二等品；A33件都是二等品----（3分）典概型公式得：1C2 C3

--------------(4分) C3

--------------(5分) C3

--------------(6分)

)105 3=228+228+228=228--------------8此處略。0, x0,F(x)kx2,0x1, 試求(1)常數(shù)k;(2)概率P{0.1X0.3};（3)X的概率密度函數(shù).（8分）解：(1)F(10)F(1),得k1, （2分）(2)P{0.1X0.3}F(0.3)F(0.1)0..08, --------------（4分）(3)X的密度函數(shù):2x,0x1f(x)F(x)0, 其它，

（8分） P(B) ,P(B),

-----------

4斯公式，所求概率為P(BA)

P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)197--------------

8解:X的分布律為P{Xk}0.55k10.45 ---------------（3分）P{X偶數(shù)}0.552k10.45

-----------------（6分）0.550.4511

-----------------

（8分）9兩臺機(jī)床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率為，第二臺出現(xiàn)廢品的概率為，第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，加工出來的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品概率。解：設(shè)Bi=“取出的零件由第i臺加工”(i1,2)---------(2分)P2,

--------（3分），PPAPP22(0.5)6C CC2C2P

13---------（4分），PP

0.97---------（5分），---------（6分），概率公式得：

1

2

2

0.970.980.973---------（8分）此處略。下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。（本題8分）解：（1）一只是正品一只是次品的概率為：

1 2 --------------（2分）

----------------（4分）品”-----------（6分）次取出的是次品的概率為：P(B)P(B|A1)P(A1)P(B|A2)P(A2)

26 1 2 78 78 11、甲、乙兩人獨(dú)立地進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為，乙的命中率為，以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求：（1）X和Y的聯(lián)合分布律；（2）X和Y的邊緣分布解：（1）X和Y的聯(lián)合分布律為：P(Xm,Yn)Cm

4(1m)------------------（4分）((0.2)PP(Yn)C2(0.5).2 （2）X和Y的邊緣分布律：P(Xm)C

12、兩臺車床加工同樣的零件，第1臺出現(xiàn)不合格品的概率是，第2臺出現(xiàn)不合格品的概率是、兩臺車床加工的零件放在一起，第1臺加工的零件占70%，第2臺加工的零件.B={任取一個(gè)零件為不合格品}-----------------（2分）由全概率公式求概率為P(B)P(A1)P(B/A1)P(A2)P(B/A ----------------（6分） -----------------（7分）=.-------------------------------（8分）13參加英語四級考試，假定甲、乙、丙能考試合格的概率依次、，各人能否考試合格相互獨(dú)立，求下列事件的概率：（1）甲，乙合格而丙不合格；（2分）（2）3人都不合格；（3分）（3）3人中至少有1人合格.（3分）

。--------------------（8分）14、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為解：（解：（1）E(X)x xdx -----------（2分） 1 4（（2）E(X)x 2 21x,0x2f(x)2求：（1）E(X)；（2分） （2）D(X)；（2分）（3）P(2X1)；（2分） （4）Y2X的密度函數(shù).（2分）

xdx2，D(X)E(X2)E(X)2

--------4分）（3）P(2X1)2102 --------（6分）

（

(y)P(Yy)P(2Xy)P(X

F

(y)11 (y),0f (y)22 8 15、(X,Y)的聯(lián)合分布律為：

y2

--------（8分）X 0 (1)求X,Y的邊緣分布律；（2分） (2)X,Y獨(dú)立嗎為什么（2分）(3)X、Y是否不相關(guān)為什么（2分）(4)求Z=X+Y的分布律。（2分）X ﹣0(1)X的分布律為： P 3 Y的分布列律為： Y ﹣0 1 -----（2分）P 3 2 (2)∵P(X=0,Y=0)=1/85/8∴X與Y不獨(dú)

×2/8=P(X=0)×(Y=0)立。--------（4分）E即E（XY）=E（X）E（Y），所以X，Y不相關(guān)。-----（6分）（4）X+Y的分布列為： ﹣ ﹣0 Y 2 ------------（8分）16、設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)0.4,P(AB)0.7，（2）若A，B相互獨(dú)立，求P（B）；解：P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(B)0.70.40.3-----（2分）P(B)P(A)

0.5-----（5分）P(Zk|Xm)P(Xm)P(Zk|Xm)P(Xm)P(Ykm)P(Xm)4kme4 3me3P(B)P(A 設(shè)隨機(jī)變量X~B(2,p)，且P{X1}

，（1）試確定參數(shù)p;（2）求P{X=1}。

P{Xk}Ckpk(1p)2k

(k0,1,2)（1）41P{X1}P{X0}(1p)29

,p13

;----(4分)

1233

---------818、某旅行社100人中有43人會(huì)講英語，35人會(huì)講日語，32人會(huì)講日語和英語，9人會(huì)講法語、日語和英語，且每人至少會(huì)講英、日、法三種語言中的一種。求此人會(huì)講日語和英語，但不會(huì)講法語的概率。（本題8分）解：設(shè)A=“此人會(huì)講英語”，B=“此人會(huì)講日語”，C=“此人會(huì)講法語”，--3分P(AB)=（4分）P(ABC)P(AB)P(ABC)0.320.090.23-------（8分）19、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的泊松(Poisson)分布，Y服從參數(shù)為4的泊松分布，且解：X~P(3)，所以X的分布律為P(Xk)

3ke3

，k0,1,2,3,...--------（2分）又因?yàn)閅~P(4)，所以Y的分布律為P(Yk)

4ke4

，k0,1,2,3,...；-----（4分）令ZXY，所以Z的取值為0,1,2,3,...，且有P(Zk) m0 m0(km)!

7ke7

，k0,1,2,3,...。-------（8分）20、甲，乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部PP{Y3}C10(1某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試推斷他是猜對的，有區(qū)分能力（設(shè)各次試驗(yàn)相互獨(dú)立）解：（1）A=“成功一次”，P(A)

C4C4

70

-------（3分）（2）設(shè)此人沒有區(qū)分能力，令Y=“連續(xù)試驗(yàn)10次，成功的次數(shù)”，則Y~b(10,

，-------（5分）

)3(

)70.0003

，-------（7分）可見，猜對的概率很小，故此人確有區(qū)分能力。-------（8分）21、已知隨機(jī)變量X服從在區(qū)間(0,1)上的均勻分布，Y＝2X+1，求Y的概率密度函數(shù)。1,0x1,f0,

-------（2分）F

(y)P{Yy}P{2X1y}P{Xy1}F

2

(y)F(y)

y1 ,1y3, 22

-------（8分）袋任取一個(gè)球放入乙口袋，再從乙口袋中取出一個(gè)球，求最后取到白球的概率。解：設(shè)A={從甲袋子中任取一球?yàn)榘浊騷B={取得白球} -------（3分）PBPBAPAPBAPA -------（5分）=1/2×2/3＋1/4×1/3 -------（7分） -------（8分）23、將4個(gè)球隨機(jī)地放在5個(gè)盒子里，求下列事件的概率(1)4個(gè)球全在一個(gè)盒子里;CCe2xydxdyCe2xdxp(x,y)dxdy(2)恰有一個(gè)盒子有2個(gè)球.解：把4個(gè)球隨機(jī)放入5個(gè)盒子中共有54=625種等可能結(jié)果------（3分）（1）A={4個(gè)球全在一個(gè)盒子里}共有5種等可能結(jié)果,故P(A ------------（4分）(2)5個(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球，再選兩個(gè)各放一球有4個(gè)球中取2個(gè)放在一個(gè)盒子里，其他2個(gè)各放在一個(gè)盒子里有12種方法因此，B={恰有一個(gè)盒子有2個(gè)球}共有4×3=360種等可能結(jié)果.-------（7分）故P(B)36072----------（8分） 1概率是多少全概率公式及公式P(該種子能發(fā)芽＝×+×＝（分）P(該種子來自發(fā)芽率高的一盒)＝×/＝1/3--------------（8分）（25----32小題為能力題，每小題10分）p試求（1）常數(shù)C;（1分）（2）分布函數(shù)F(X);（2分）

,0x,0y,F及相應(yīng)的邊際密度；（4分）（4）求（ξ、η）落在如圖的區(qū)域G內(nèi)的概率。（3分）解：（1）、

11e2ydyC 1，C=1-----(1分) 22（（2）、F(x,y)p(u,v)dudv0（（3）、F(x)p(u,v)dudv 4e 4e 2e,x0--------（5分）F(x) 0,x0F(y)PP{(,)G}p(x,y)dxdy 1y 4e 由此得到：F(x,y) 1e2y,0x,0y---------

0 0,x0 0,x0

-----（4分）于是得到：可得：F(y) 0,y0

0,y0

-------（7分）（4）、

---------（10分）26、證明對任意的隨機(jī)變量ξ，若Eξ=a,又存在Dξ，則對任意的正常數(shù)，有PaD2。（契貝曉夫不等式） 則P(a) 證明：

a

aP(x)dx（5分）

2p(x)dxD（7分）述證明過程中，把密度函數(shù)改成分布列，把積分符號改成求和符號，即得到離散型情形的證明。（分）27、二維隨機(jī)變量（，Y的概率密度為且且PX0,Y3 -----------（3分） 1 1X3,Y3——————————（6分） 1 1Ae(x2y),f(x,y)

x0,y0其他

（3）問X，Y是否獨(dú)立。（本題10分）

f(x,y)dxdy

e2ydy

1A2

（2）X的邊緣密度函數(shù)：f

(x)

exf(x,y)dy0,

x0-----------（5分）Y的邊緣密度函數(shù)：f

(y)

2e2yf(x,y)dx0,

y0

----------（8分）（3）因f(x,y)f

(y)，所以X，Y是獨(dú)立的。---------（10分）28、將一枚硬幣連擲三次，X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)（本題10分）解：由題意知，X的可能取值為：0，1，2，3；Y的可能取值為：1，3.-----------（232 ————————（4分）22 ——————（5分）22 3P2 于是，（1）（X，Y）的聯(lián)合分布為Y EE(X2)Xx(xy)dxdy --------------（2分） 1 7 1 5 (xy)dxdy,（（4）E(Y)y(xy)dxdy 1

————————（7

-----------10分）29、（10分）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為1(xy),0x2,0y2f(x,y)8

解：（1）E

28 0（ D(x)E(X2)(E(X))2 ()2

---------（4分） xy(xy)dxdy -------------（7分） 00

-------------（10分）30、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)0

x0x0

求：（1）A，B的值；（2）X的概率密度f(x)；（3）P{X10X3}。（本題10解：（1）A1, AB0，B1--------（2分）F(x)ex（2）f(x)F(x)0

x0x0x0x0

，------------（6分）（3）P{X10X3}P{X7}1F(7)e7------------（10分）31部件組裝而成，假設(shè)各部件質(zhì)量互不影響且它們的優(yōu)質(zhì)品率分別部件都是優(yōu)質(zhì)品，則組裝后的儀器一定合格；如果有一個(gè)部的儀器不合格率為；如果有兩個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品，則儀器的格率為；如果三件都不是優(yōu)質(zhì)品，則儀器的不合格率為。（1求儀器的不合格率；（2）如果已發(fā)現(xiàn)一臺儀器不合格，問它有幾個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大。（10分）且P(B|A0)0,P(B|A1)0.2,P(B|A2)0.6,P(B|A3)0.9,-------------（2分）P(A0)0.80.70.90.504,P(A1)0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398---（3分）P(A3)0.20.30.10.006,P(A2)1P(A0)P(A1)P(A3)0.092-------（4分）(1)由全概率公式有:P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.1402i0(2)由貝葉斯公式有P(A0|B)0,-------（6分）

-----------（5分）P(B)

796,-------（7分）

|B)P(A2)P(B|A2)P(B)

,-------（8分）的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x)1EE(X)xe dx0----------(2分) 1x2ee dx02x2 exdx2—————（5分） 1②②Cov(X,X)E(XX)E(X)E(X)xxP(A3|B)P(A3)P(B|A3)P(B)

541402

,-------（9分）從計(jì)算結(jié)果可知,一臺不合格儀器中有一個(gè)部件不是優(yōu)質(zhì)品的概率最大.---（10分）（1）U3X22XYY23的數(shù)學(xué)期望；（2）V3XY5的方差。（本題滿分10分）解：(1)E(U)E(3X22XYY23)3E(X2)2E(XY)E(Y2)3------（2分） D(X)D(Y)=27.---------（10分）（33—40小題為提高題，每小題10分） 2ex,x(,)②求X與X的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，并討論X與X是否相關(guān)解：① x D(X)E(X2)[E(X)]2

——————（分）

exdx00——————（8分）所以X與X不相關(guān).————————（10分）34、設(shè)隨機(jī)變量X~N0,1，YX21，試求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)．

x2

x——————（1分） yPX2y1Py1X y1ex2f(x)dxk(1x)2dx k 8F

yPYyPX21yPy1

——————（2分）

y0；—————（3分）（2）、如果y1，則有F

y1

ex22dx————————（5分）即F

e2dx y1————————（6分）

2

2y1

————————（分）

e2

．————————（分）35、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)f(x).

其它（1）試確定常數(shù)k;（3分）(2)求X的分布函數(shù);（4分） 求P{0X2}。（3分）（本題10分）

,k --------（3分）（2）當(dāng)x1,F(x)0,當(dāng)1x1,F(x)當(dāng)x1,F(x)1,

(1t)2dt1(1x)3

0 x1 F(x)1(1x)3 1x1--------（7分）1 （3）P{0X2}

1308

(1x)2dx

18

。--------（10分）ff(x)dxAxdxAxdx(2x)dx1，當(dāng)當(dāng)0x1時(shí),F(x)ff(x)dxxdx（（3）E(X3X2)=(x3x2)xdx(x23x2)(2x)dx（（4）P{0.5X1.5}xdx(2x)dx=（10分）36、已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為Ax, 0x1f(x)2x,1x20, P{0.5X1.5}。(2)當(dāng)x0時(shí),F(x)=0;---------（2分）

x2,---------（3分）當(dāng)1x2時(shí), F(x) (2x)dx2x 當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)=1,---------（5分）

x0 2x2, 0x1F(x)2xx2 1,1x2 1 2x

；---------（6分）1 0

1；---（8分） 0 (2,0x1,xy1f(x,y)0, 求：（1）關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)f(x)和f(y)； （3）X與Y是否獨(dú)立為什么ff(x,y)dx0 2dx