北師版八年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)綜合題含答案

北師版八年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)綜合題含答案第一章三、解答題(共66分)19．(6分)如圖，點(diǎn)D，A，E在直線l上，AB＝AC，BD⊥l于點(diǎn)D，CE⊥l于點(diǎn)E，且BD＝AE.求證：DE＝BD＋EC.證明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.∴在Rt△ABD和Rt△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,BD＝AE，))∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，∴AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋EC.20．(8分)如圖，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，點(diǎn)P是OE上一點(diǎn)，PM⊥CE于點(diǎn)M，PN⊥DE于點(diǎn)N.問線段PM與PN有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．解：PM＝PN.證明如下：易證△COE≌△DOE(SAS)，∴∠OEC＝∠OED，又∵PM⊥CE于點(diǎn)M，PN⊥DE于點(diǎn)N，∴PM＝PN.21．(8分)如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度數(shù)．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.∵CD平分∠ACB.∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.22．(8分)如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF.證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴D點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上．在Rt△ADE和Rt△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,DE＝DF，))∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∴A點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上．∵兩點(diǎn)確定一條直線，∴AD垂直平分EF.23.(10分)臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣流，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動，已知點(diǎn)C處有一海港，且點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)的距離分別為300km和400km，AB為500km，以臺風(fēng)中心為圓心，周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺風(fēng)中心的移動速度為20km/h，臺風(fēng)影響該海港的持續(xù)時(shí)間有多長？解：(1)海港C受臺風(fēng)影響．理由：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝240km.∵240<250，∴海港C受臺風(fēng)影響．(2)當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km，正好影響海港C，∵ED＝FD＝eq\r(EC2－CD2)＝70(km)，∴EF＝140km.∵臺風(fēng)中心的移動速度為20km/h，∴140÷20＝7(小時(shí)).∴臺風(fēng)影響該海港的持續(xù)時(shí)間為7小時(shí)．24.(12分)如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.(1)求證：△PMN是等邊三角形；(2)若AB＝9cm，求CM的長度．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵PN⊥AC，∴∠APN＝30°.又∵M(jìn)P⊥AB，∴∠MPN＝60°，同理可得∠PMN＝∠MNP＝∠MPN＝60°，∴△PMN是等邊三角形．(2)解：由(1)知PN＝PM＝MN.∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠MPB＝∠PNA＝∠NMC，∴△APN≌△BMP≌△CNM，∴AN＝BP＝CM，∵在Rt△APN中，∠APN＝30°，∴AN＝eq\f(1,2)AP，則BP＝AN＝eq\f(1,3)AB，∵AB＝9cm，∴CM＝BP＝3cm.25．(14分)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A－C－B－A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒(t＞0).(1)若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA＝PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；(2)若點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上，求t的值；(3)在運(yùn)動過程中，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．①②③解：(1)由題意得PA＝PB＝2t，PC＝4－2t，在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2，即(4－2t)2＋32＝(2t)2，解得t＝eq\f(25,16)，∴當(dāng)t＝eq\f(25,16)時(shí)，PA＝PB.(2)當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上時(shí)，如圖①，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，此時(shí)有BP＝7－2t，PE＝PC＝2t－4，BE＝5－4＝1，在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，即(2t－4)2＋12＝(7－2t)2，解得t＝eq\f(8,3)，當(dāng)t＝6時(shí)，點(diǎn)P與A重合，也符合條件，∴當(dāng)t＝eq\f(8,3)或6時(shí)，點(diǎn)P恰好在∠BAC的平分線上.(3)在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根據(jù)題意得AP＝2t，當(dāng)P在AC上時(shí)，△BCP為等腰三角形，∴PC＝BC，即4－2t＝3，∴t＝eq\f(1,2)，當(dāng)P在AB上時(shí)，△BCP為等腰三角形，連接CP，①CP＝PB，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，如圖②，過P作PE⊥BC于E，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，∴PB＝eq\f(1,2)AB，即2t－3－4＝eq\f(5,2)，解得t＝eq\f(19,4)，②PB＝BC，即2t－3－4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如圖③，過C作CF⊥AB于F，∴BF＝eq\f(1,2)BP，∵∠ACB＝90°，∴CF＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5)，∴BF＝eq\r(BC2－CF2)＝eq\f(9,5).∴eq\f(2t－3－4,2)＝eq\f(9,5)，∴t＝eq\f(53,10).∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)，5，eq\f(53,10)或eq\f(19,4)時(shí)，△BCP為等腰三角形．第二章三、解答題(共66分)19．(6分)(1)不等式eq\f(2x－1,3)－x<eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，并將解集表示在數(shù)軸上；解：去分母，得2(2x－1)－6x＜3x＋3，去括號，得4x－2－6x＜3x＋3，移項(xiàng)，得4x－6x－3x＜3＋2，合并同類項(xiàng)，得－5x＜5，系數(shù)化為1，得x＞－1.故此不等式的解集為x＞－1.在數(shù)軸上表示略．(2)解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（x＋1）≤6x＋10，,x－3<\f(x－8,4)，))并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（x＋1）≤6x＋10，①,x－3<\f(x－8,4)，②))解不等式①，得x≥－3，解不等式②，得x＜eq\f(4,3).所以不等式組的解集為－3≤x<eq\f(4,3)，所以不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為0，1.20．(8分)(樂山中考)如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為－2，eq\f(x,x＋1)，且點(diǎn)A，B到原點(diǎn)的距離相等．求x的值．解：根據(jù)題意得eq\f(x,x＋1)＝2，去分母，得x＝2(x＋1).去括號，得x＝2x＋2，解得x＝－2.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－2是原方程的解．21．(8分)已知關(guān)于x的不等式eq\f(2m－mx,2)>eq\f(1,2)x－1.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求該不等式的解集；(2)m取何值時(shí)，該不等式有解？解：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，不等式為eq\f(2－x,2)>eq\f(1,2)x－1，解得x<2.(2)解不等式得(m＋1)x<2(m＋1).∴當(dāng)m≠－1時(shí)，不等式有解．22.(8分)若關(guān)于x的不等式eq\f(x－a＋2,3)－eq\f(a＋4,6)＜1的解集和不等式eq\f(x－1,3)－eq\f(x＋2,6)＞eq\f(4＋3x,2)的解集相同，求a的值．解：由eq\f(x－a＋2,3)－eq\f(a＋4,6)＜1得x＜eq\f(3a＋6,2)，由eq\f(x－1,3)－eq\f(x＋2,6)＞eq\f(4＋3x,2)得x＜－2，依題意，得eq\f(3a＋6,2)＝－2，解得a＝－eq\f(10,3).23．(10分)若a，b，c是△ABC的三邊，且a，b滿足|a－3|＋(b－4)2＝0，c是不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＞x－4，,2x＋3＜\f(6x＋1,2)))的最大整數(shù)解，求△ABC的面積．解：解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＞x－4，,2x＋3＜\f(6x＋1,2)，))得2．5＜x＜5.5，∴該不等式組的最大整數(shù)解是x＝5，∴c＝5.∵|a－3|＋(b－4)2＝0，∴a－3＝0，b－4＝0，∴a＝3，b＝4，在△ABC中，∵a2＋b2＝32＋42＝25＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×3×4＝6.24.(12分)請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式：x2－3x＞0.解：x(x－3)＞0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－3>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,x－3<0))解得x＞3或x＜0.∴一元二次不等式x2－3x＞0的解集為x＜0或x＞3.結(jié)合上述解題過程回答下列問題：(1)上述解題過程滲透的數(shù)學(xué)思想為分類討論思想；(2)一元二次不等式x2－3x＜0的解集為0＜x＜3；(3)請用類似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＜0.解：(1)上述解題過程滲透的數(shù)學(xué)思想為分類討論思想．(2)0＜x＜3；由解題過程可知x2－3x＜0.即x(x－3)＜0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,x－3>0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－3<0.))解得0＜x＜3.∴一元二次不等式x2－3x＜0的解集為0＜x＜3.(3)x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3<0,x＋1>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3>0,x＋1<0))，解得－1＜x＜3.∴一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集為－1＜x＜3.25．(14分)為了加強(qiáng)對校內(nèi)外安全監(jiān)控，創(chuàng)建平安校園，某學(xué)校計(jì)劃增加15臺監(jiān)控?cái)z像設(shè)備，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備，其中每臺價(jià)格、有效監(jiān)控半徑如表所示．經(jīng)調(diào)查：購買1臺甲型設(shè)備比購買1臺乙型設(shè)備多花150元，購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花400元．甲型乙型價(jià)格(元/臺)ab有效半徑(米/臺)150100(1)求a，b的值；(2)若購買該批設(shè)備的資金不超過11000元，且兩種型號的設(shè)備均要至少買一臺，則學(xué)校有哪幾種購買方案？(3)在(2)問的條件下，若要求監(jiān)控半徑覆蓋范圍不低于1600米，為了節(jié)約資金，請你設(shè)計(jì)一種最省錢的購買方案．解：(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝150，,3b－2a＝400，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝850，,b＝700.))(2)設(shè)購買甲型設(shè)備x臺．則購買乙型設(shè)備(15－x)臺，依題意得850x＋700(15－x)≤11000，解得x≤3eq\f(1,3).∵兩種型號的設(shè)備均要至少買一臺，∴x＝1，2，3.∴有3種購買方案：①甲型設(shè)備1臺，乙型設(shè)備14臺；②甲型設(shè)備2臺，乙型設(shè)備13臺；③甲型設(shè)備3臺，乙型設(shè)備12臺．(3)依題意得150x＋100(15－x)≥1600，解得x≥2.由(2)知x≤3eq\f(1,3)，∴x取值為2或3.當(dāng)x＝2時(shí)，購買所需資金為850×2＋700×13＝10800(元)；當(dāng)x＝3時(shí)，購買所需資金為850×3＋700×12＝10950(元).∵10800<10950，∴最省錢的購買方案為：購甲型設(shè)備2臺，乙型設(shè)備13臺．第三章三、解答題(共66分)19．(6分)已知△ABC的頂點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，按下列要求在網(wǎng)格中畫圖．(1)將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C；(2)畫△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形△A2B2C2.解：(1)如圖，△A1B1C即為所求．(2)如圖，△A2B2C2即為所求．20．(8分)(南城縣期中)如圖，在△ABC中，∠BAC＝15°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，到△ADE的位置，然后將△ADE以AD為軸翻折到△ADF的位置，連接CF，判斷△ACF的形狀，并說明理由．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BAC＝∠DAE＝15°，AC＝AE，∠CAE＝90°，由翻折的性質(zhì)可知：∠FAD＝∠EAD＝15°，AF＝AE.∴AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF為等邊三角形．21.(8分)如圖，等邊△ABC與等邊△A1B1C1關(guān)于某點(diǎn)成中心對稱，已知A，A1，B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，3)，(0，2).(1)求對稱中心的坐標(biāo)；(2)寫出頂點(diǎn)C，C1的坐標(biāo)．解：(1)點(diǎn)A1和點(diǎn)B為對應(yīng)點(diǎn)，∴對稱中心為A1B的中點(diǎn)，∴對稱中心的坐標(biāo)為(0，2.5).(2)在△ABC中，AB＝2，C到AB的距離為eq\r(3).即點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為eq\r(3)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，3)，點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(eq\r(3)，2).22．(8分)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，－2a).(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，點(diǎn)M在坐標(biāo)系的第象限；(直接填寫答案)(2)將點(diǎn)M向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得到點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)N在第三象限時(shí)，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，2),所以M在第二象限，所以應(yīng)填“二”．(2)將點(diǎn)M向左平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度后得到點(diǎn)N，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，－2a)，所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為(a－2，－2a＋1).因?yàn)镹點(diǎn)在第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,－2a＋1<0，))解得eq\f(1,2)<a<2，所以a的取值范圍為eq\f(1,2)<a<2.23．(10分)如圖，三角形DEF是三角形ABC經(jīng)過某種變換得到的圖形，點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F分別是對應(yīng)點(diǎn)，觀察點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問題：(1)分別寫出點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F的坐標(biāo)，并說說對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)有哪些特征；(2)若點(diǎn)P(a＋3b，4a－b)與點(diǎn)Q(2a－9，2b－9)也是通過上述變換得到的對應(yīng)點(diǎn)，求a，b的值．解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2，－3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－1，－2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，1)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－3，－1)，對應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)．(2)由(1)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3b＋2a－9＝0，,4a－b＋2b－9＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))答：a的值為2，b的值為1.24.(12分)(鼓樓區(qū)期末)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝35°，BC＝7.線段AD由線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)125°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直線EF過點(diǎn)D.(1)求∠DAE的大??；(2)求DE的長．解：(1)∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，∴∠EAC＋∠C＝180°.∵∠C＝90°，∴∠EAC＝90°.又線段AD是由線段AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)125°得到，即∠DAC＝125°，∴∠DAE＝35°.(2)∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，EF∥AB，∴∠AED＝∠F＝∠ABC.又∵∠DAE＝∠BAC＝35°，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB(AAS)，∴DE＝BC＝7.25.(14分)如圖，O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD.(1)求證：△COD是等邊三角形；(2)當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？(1)證明：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等邊三角形．(2)解：當(dāng)α＝150°時(shí)，△AOD是直角三角形．理由：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∵△COD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，則△AOD是直角三角形．(3)解：①要使OA＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD.需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝eq\f(180°－（α－60°）,2)＝120°－eq\f(α,2)，∴190°－α＝120°－eq\f(α,2)，解得α＝140°.綜上所述，當(dāng)α的度數(shù)為125°，110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．第四章三、解答題(共66分)19．(6分)把下列各式分解因式：(1)－3ma3＋6ma2－3ma；解：原式＝－3ma(a2－2a＋1)＝－3ma(a－1)2.解：原式＝a2(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(a2－b2)＝(x－1)(a＋b)(a－b).20.(8分)利用分解因式計(jì)算：(1)1.38×29－17×1.38＋88×1.38；解：原式＝1.38×(29－17＋88)＝1.38×100＝138.解：原式＝30×(5652－4352)＝30×(565＋435)×(565－435)＝30×1000×130＝3900000.21．(8分)先因式分解，再計(jì)算求值：(1)4x(m－2)－3x(m－2)2，其中x＝1.5，m＝6；解：4x(m－2)－3x(m－2)2＝x(m－2)[4－3(m－2)]＝x(m－2)(10－3m).將x＝1.5，m＝6代入，得原式＝1.5×(6－2)×(10－3×6)＝－48.解：(a－2)2－6(2－a)＝(a－2)(a－2＋6)＝(a－2)(a＋4)，將a＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋4)＝－8.22.(8分)某種圓柱形鋼管的長為L＝1米，外徑D＝25厘米，內(nèi)徑d＝15厘米，每立方米鋼的重量為7.8噸，求100根這樣的鋼管的總重量(π取3.14，結(jié)果精確到0.01噸).解：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3.14×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.25,2)))\s\up12(2)－3.14×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.15,2)))\s\up12(2)))×1×7.8×100＝eq\f(1,4)×3.14×(0.252－0.152)×1×100×7.8＝eq\f(1,4)×3.14×[(0.25＋0.15)(0.25－0.15)]×1×100×7.8≈24.49(噸).故100根這樣的鋼管的總重量約為24.49噸．23.(10分)觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？15＝42－1，而3×5＝15；35＝62－1，而5×7＝35；……；143＝122－1，而11×13＝143；……將你猜想到的規(guī)律用只含有一個(gè)字母的式子表示出來，并說明理由．解：(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)，理由：因?yàn)?5＝(2×2)2－1，3×5＝(2×2－1)(2×2＋1)＝15，則有(2×2)2－1＝(2×2－1)(2×2＋1)；35＝(2×3)2－1，而(2×3－1)(2×3＋1)＝35，則有(2×3)2－1＝(2×3－1)(2×3＋1)；……；143＝(2×6)2－1，而(2×6－1)(2×6＋1)＝143，則有(2×6)2－1＝(2×6－1)(2×6＋1)；…….設(shè)n是正整數(shù)，則(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1).24.(12分)如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且a＞b.(1)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解為(a＋2b)(2a＋b)；(2)若圖中陰影部分的面積為242平方厘米，大長方形紙板的周長為78厘米，求圖中空白部分的面積．解：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（a2＋b2）＝242，,6a＋6b＝78，))化簡得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝121，,a＋b＝13，))∴(a＋b)2－2ab＝121，∴ab＝24，5ab＝120.∴空白部分的面積為120平方厘米．25．(14分)(墾利區(qū)期末)閱讀材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多項(xiàng)式只有上述方法就無法分解，如x2－4y2＋2x－4y，細(xì)心觀察這個(gè)式子會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式，過程為：x2－4y2＋2x－4y＝(x2－4y2)＋(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y＋2)這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y；(2)△ABC的三邊a，b，c滿足a2－b2－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀．解：(1)x2－6xy＋9y2－3x＋9y＝(x2－6xy＋9y2)－(3x－9y)＝(x－3y)2－3(x－3y)＝(x－3y)(x－3y－3)；(2)∵a2－b2－ac＋bc＝0，∴(a2－b2)－(ac－bc)＝0，∴(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝0，∴(a－b)[(a＋b)－c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三邊，∴(a＋b)－c＞0，∴a－b＝0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．第五章三、解答題(共66分)19．(6分)計(jì)算：(1)eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a2＋a)÷eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)；解：原式＝eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a（a＋1）)·eq\f(（a＋1）2,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a（a－1）)＝eq\f(a－1,a（a－1）)＝eq\f(1,a).（2）eq\f(x2－8x＋16,x2＋2x＋1)eq\s\up12(3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,x＋1)))eq\s\up12(4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－4)))eq\s\up12(2)；解：原式＝eq\f(（x－4）6,（x＋1）6)·eq\f(（x＋1）4,（x－4）4)·eq\f(（x＋1）2,（x－4）2)＝1.20．(8分)解方程：(1)eq\f(x,x＋2)＝eq\f(2,x－1)＋1；解：方程兩邊都乘(x＋2)(x－1)，得x(x－1)＝2(x＋2)＋(x＋2)(x－1).解這個(gè)方程，得x＝－eq\f(1,2).經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－eq\f(1,2)是原方程的根．解：原方程可化為eq\f(2（x＋1）,x)－eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(x2－2,x（x－2）)方程兩邊同乘以x(x－2).得2(x＋1)(x－2)－x(x＋2)＝x2－2，化簡得－4x＝2，解得x＝－eq\f(1,2)，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝－eq\f(1,2)是原方程的解．21.(8分)已知方程eq\f(1,x－1)＝eq\f(a,x＋1)的解為x＝2，求eq\f(a,a－1)－eq\f(1,a2－a)的值．解：把x＝2代入eq\f(1,x－1)＝eq\f(a,x＋1)得，a＝3，∴原式＝eq\f(a2,a2－a)－eq\f(1,a2－a)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,a（a－1）)＝eq\f(a＋1,a)，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝eq\f(4,3).22.(8分)(岳陽中考)某學(xué)校開展“運(yùn)足君山，磨礪意志，保護(hù)江豚，愛鳥護(hù)鳥”為主題的遠(yuǎn)足活動．已知學(xué)校與君山島相距24千米，遠(yuǎn)足服務(wù)人員騎自行車，學(xué)生步行，服務(wù)人員騎自行車的平均速度是學(xué)生步行平均速度的2.5倍．服務(wù)人員與學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，到達(dá)君山島時(shí)，服務(wù)人員所花時(shí)間比學(xué)生少用3.6小時(shí)，求學(xué)生步行的平均速度是多少千米/小時(shí)．解：設(shè)學(xué)生步行的平均速度為x千米/小時(shí)，則eq\f(24,x)－eq\f(24,2.5x)＝3.6，解得x＝4.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的根且符合題意．答：學(xué)生步行的平均速度是4千米/小時(shí)．23．(10分)如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，它們所對應(yīng)的數(shù)分別是eq\f(2,x－2)和eq\f(1－x,2－x).(1)當(dāng)x＝1.5時(shí)，求AB的長；(2)當(dāng)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離比點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離多3時(shí)，求x的值．解：(1)當(dāng)x＝1.5時(shí)，eq\f(2,x－2)＝eq\f(2,1.5－2)＝eq\f(2,－0.5)＝－4，eq\f(1－x,2－x)＝eq\f(1－1.5,2－1.5)＝eq\f(－0.5,0.5)＝－1，∴AB＝－1－(－4)＝－1＋4＝3，即AB的長為3.(2)由題意可得eq\f(1－x,2－x)－eq\f(2,x－2)＝3，解得x＝1.5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1.5是分式方程的解，即x的值是1.5.24.(12分)先化簡，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋x)－1))÷eq\f(x2－1,x2＋2x＋1)，其中x的值從不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1<4))的整數(shù)解中選?。猓涸剑絜q\f(x－x2－x,x（x＋1）)·eq\f(x＋1,x－1)＝－eq\f(x,x＋1)·eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(x,1－x).解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1<4，))得－1≤x<eq\f(5,2).∴不等式組的整數(shù)解為－1，0，1，2.∵當(dāng)x＝0，－1或1時(shí)，原式無意義，∴x只能取2.當(dāng)x＝2時(shí)，原式＝－2.25．(14分)(長沙中考)自從湖南與歐洲的“湘歐快線”開通后，我省與歐洲各國經(jīng)貿(mào)往來日益頻繁，某歐洲客商準(zhǔn)備在湖南采購一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用16000元采購A型商品的件數(shù)是用7500元采購B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多10元．(1)求一件A，B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元；(2)若該歐洲客商購進(jìn)A，B型商品共250件進(jìn)行試銷，其中A型商品的件數(shù)不大于B型的件數(shù)，且不小于80件．已知A型商品的售價(jià)為240元/件，B型商品的售價(jià)為220元/件，且全部售出，設(shè)購進(jìn)A型商品m件，求該客商銷售這批商品的利潤w與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，歐洲客商決定在試銷活動中每售出一件A型商品，就從一件A型商品的利潤中捐獻(xiàn)慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻(xiàn)慈善資金后獲得的最大收益．解：(1)設(shè)一件B型商品的進(jìn)價(jià)為x元，則一件A型商品的進(jìn)價(jià)為(x＋10)元．由題意，得eq\f(16000,x＋10)＝eq\f(7500,x)×2，解得x＝150，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝150是分式方程的解，∴一件B型商品的進(jìn)價(jià)為150元，一件A型商品的進(jìn)價(jià)為160元．(2)∵客商購進(jìn)A型商品m件，∴客商購進(jìn)B型商品(250－m)件．由題意得w＝80m＋70(250－m)＝10m＋17500，∵80≤m≤250－m，∴80≤m≤125.(3)設(shè)利潤為W元，則W＝(80－a)m＋70(250－m)＝(10－a)m＋17500，①當(dāng)10－a>0時(shí)，W隨m的增大而增大，∴m＝125時(shí)，最大利潤為(18750－125a)元．②當(dāng)10－a＝0時(shí)，最大利潤為17500元．③當(dāng)10－a<0時(shí)，W隨m的增大而減小，∴m＝80時(shí)，最大利潤為(18300－80a)元．第六章三、解答題(共66分)19．(6分)如圖，?ABCD中，BE⊥CD于E，CE＝DE.求證：∠A＝∠ABD.證明：∵BE⊥CD，CE＝DE，∴BE是線段DC的垂直平分線．∴BC＝BD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD.20．(8分)(日照期末)已知：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有4條對角線；從m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對角線把m邊形分成6個(gè)三角形；正t邊形的邊長為7，周長為63.求(n－m)t的值．解：依題意有n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，t＝63÷7＝9，則(n－m)t＝(7－8)9＝－1.21．(8分)如圖，已知AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于點(diǎn)B，AF，DG分別是△ABC，△BDE的中線．求證：四邊形AGDF是平行四邊形．證明：∵AC∥DE，∴∠C＝∠E，在△ABC和△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠DBE，,∠C＝∠E，,AC＝ED，))∴△ABC≌△DBE(AAS)，∴CB＝EB，AB＝DB，∵AF，DG分別是△ABC，△BDE的中線，∴BF＝eq\f(1,2)BC，GB＝eq\f(1,2)BE，∴GB＝FB，∴四邊形AGDF是平行四邊形．22．(8分)如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊CD上的點(diǎn)F處，若△DEF的周長為8，△CBF的周長為18，求FC的長．解：根據(jù)題意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝DC.∵△DEF的周長為8，即DF＋DE＋EF＝8，∴DF＋DE＋AE＝8，即DF＋AD＝8.∵△CBF的周長為18，即FC＋BC＋BF＝18，∴FC＋AD＋DC＝18，即2FC＋AD＋DF＝18.又∵DF＋AD＝8，即2FC＋8＝18，∴FC＝5.23．(10分)已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝AC，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點(diǎn)，EF，CA的延長線相交于點(diǎn)H.求證：(1)∠CGE＝∠ACD＋∠CAD；(2)AH＝AF.證明：(1)∵E，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EG是△BDC的中位線，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠