半導(dǎo)體物理-第二章

第二章固體理論概要

本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.了解半導(dǎo)體物理中用到的基本量子力學(xué)原理，主要

結(jié)論，包括能量量子化和幾率波的概念，以便更好

地理解晶體中的電子特性；

2.建立半導(dǎo)體的能帶理論；

3.掌握k空間能帶圖，電子的有效質(zhì)量，空穴的概念；

4.掌握量子態(tài)密度與電子能量之間的函數(shù)關(guān)系；

5.掌握費(fèi)米－狄拉克分布函數(shù)，由此確定電子占據(jù)一

個量子態(tài)的幾率與電子能量之間的函數(shù)關(guān)系,費(fèi)米

能級。§2.1量子力學(xué)原理

三個基本的量子力學(xué)原理

1.能量量子化

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：光電效應(yīng)，采用單一頻率的入射光照射到

金屬材料的表面上，則會有光電子激發(fā)出來。

光強(qiáng)一定時，激發(fā)出的光電子的最大動能與入射光的頻率成線性關(guān)系，且當(dāng)入射光的頻率低于某個臨界頻率時，則無論光強(qiáng)多大，都不會有光電子激發(fā)出來。光電效應(yīng)采用經(jīng)典理論無法解釋。愛因斯坦引入“光子”的概念，成功解釋了光電效應(yīng)，臨界頻率則對應(yīng)于金屬材料的功函數(shù)。(金屬中的價電子逸出體外，需要外界對它做的功)2.波粒二象性原理

光電效應(yīng)表明光波具有粒子（光子）的特性，電磁波的康普頓效應(yīng)實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了光子在與電子之間的相互作用滿足能量和動量守恒。那么粒子是否也具有波動的特性呢？

1924年德布羅意提出物質(zhì)波的假說，即各種微觀粒子也同時具有波動特性，此即波粒二象性原理。

實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)表明，電子（粒子）也具有波動的特性。（1927年，戴維遜和革末）3.不確定原理

不確定原理的首要觀點(diǎn)是對同一粒子不可能同時確定其坐標(biāo)和動量。如果動量的不確定度為，而坐標(biāo)的不確定度為，則不確定關(guān)系為：

對于具有特定動量的電子，在任意時刻，其位置是不能確定的，只能由幾率函數(shù)給出?！?.2能量量子化與幾率波的概念

能量量子化和波粒二象性原理都無法應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)的理論來解釋，1926年薛定諤提出了微觀粒子的波動力學(xué)理論。穩(wěn)態(tài)情況下，不含時間的薛定諤方程可以表示為：其中E是微觀粒子總的能量，假設(shè)其為常數(shù)，V(x)為微觀粒子的勢能，m是微觀粒子的質(zhì)量。自由電子的波函數(shù)為：氫原子模型示意圖對于氫原子模型這樣的三維波函數(shù)問題，除了主量子數(shù)n之外，還必須引入另外量子數(shù)，即：軌道角量

子數(shù)L和磁量子數(shù)m，這些量子數(shù)之間的關(guān)系為：

n=1,2,3,......,

L=n-1,n-2,n-3,......,3,2,1,0

|m|=L,L-1,L-2,......,2,1,0

每一組量子數(shù)對應(yīng)于電子可以占據(jù)的一個量子態(tài)。

在氫原子模型中，薛定諤波動方程的解可表示為：其中n、L、m為一組量子數(shù)。當(dāng)n=1、l=0、m=0時，波函數(shù)為：該波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，其中的a0為：a0稱為玻爾半徑（起源于經(jīng)典理論中的玻爾原子理論）。電子的徑向幾率密度函數(shù)，即

在距離原子核一定間距范圍內(nèi)

找到電子的幾率，既正比于乘

積，同時也正比于環(huán)繞原子核的一個球殼的微分體積。左圖給出了氫原子模型中最低能態(tài)上電子的幾率密度分布函數(shù)。從圖中可見，當(dāng)r=a0時，電子的分布幾率最大。當(dāng)n=2、l=0、m=0時，對應(yīng)的高能態(tài)球?qū)ΨQ波函數(shù)的

徑向幾率密度函數(shù)如下圖所示：§2.3固體的量子理論

在上一節(jié)關(guān)于氫原子模型的討論中，看到束縛電子的能級是量子化的，只能取一系列分立的數(shù)值，而電子的空間位置則是由徑向幾率分布密度函數(shù)決定。在這一節(jié)中我們將把上述有關(guān)單個原子的結(jié)論推廣到整個晶體材料中，從而形成晶體材料中的允許帶和禁帶的概念。1.能帶的形成左圖為單個原子的電子云徑向密度分布，右圖則是當(dāng)兩個原子靠近之后，二者的電子云發(fā)生重疊，此時兩個不同原子的電子之間產(chǎn)生相互作用，導(dǎo)致原來相同的兩個能級發(fā)生分裂。下圖所示為兩個氫原子靠得很近之后，原來相同的兩個1s能級就會發(fā)生分裂，變成兩個離散的能級。如圖所示為大量相同的原子靠得很近形成晶體材料之后，原來相同的電子能級就會發(fā)生分裂，變成一系列離散的能級，這些離散的能級形成能帶，其中的r0代表平衡狀態(tài)下晶體中的原子間距。圖示為大量包含多個電子的原子靠得很近形成晶體材料之后，原來相同的電子能級發(fā)生分裂的情況。

原子靠近→電子云發(fā)生重疊→電子之間存在相互作用→分立的能級發(fā)生分裂形成能帶。從另外一方面來說，這也是泡利不相容原理所要求的。大量硅原子形成硅晶體材料的情況：

（1）單獨(dú)硅原子的電子能級示意圖；(2)大量硅原子（N）形成硅晶體的電子能級分裂示意圖硅晶體形成過程中發(fā)生的sp3軌道雜化，最終形成填

滿電子的價帶和完全沒有電子的導(dǎo)帶，二者之間為禁帶寬度Eg。溫度升高時，共價鍵中的個別電子可能會獲得足夠大的能量，從而克服共價鍵的束縛，進(jìn)入導(dǎo)帶。能帶圖：縱坐標(biāo)為能量，橫坐標(biāo)為空間位置。各個分裂出來的能級都位于導(dǎo)帶和價帶之中，導(dǎo)帶底EC和價帶頂EV之間的能量差為禁帶寬度Eg。隨著溫度的升高，導(dǎo)帶中的電子和價帶中的空位數(shù)都會增加。3.晶體材料中電子與空穴的有效質(zhì)量

電子在晶體材料中的運(yùn)動與電子在自由空間的運(yùn)動有很大的差別，晶體中的電子除了受到外力之外，還會受到來自晶體內(nèi)部各種帶電粒子以及周期性勢場的作用。,根據(jù)定義，是狀態(tài)的函數(shù)，其值取決于該狀態(tài)下的帶頂，帶底附近有效質(zhì)量才近似為常數(shù)。帶底：>0<0關(guān)系。帶頂：以后方便期間，*一般省略。晶體中的電子，除了受外力作用外，還受到復(fù)雜的周期場的作用力，采用就可以得出外力F和加速度a的簡單關(guān)系，而把復(fù)雜的周期場力包括到中去了，從而可以將晶體中的電子視為經(jīng)典粒子，將其規(guī)律等效為自由電子的運(yùn)動規(guī)律，使問題大大簡化的意義：4.帶電載流子——電子與空穴半導(dǎo)體材料中可以用來傳導(dǎo)電流的微觀粒子稱為載流子，包含電子和空穴兩大類。

（1）電子

我們關(guān)心的主要是位于導(dǎo)帶底部的這些可以在電場作用下做定向運(yùn)動并能夠傳導(dǎo)電流的電子。電子電流密度可以表示為：是E引起的電子速度的改變量。對于每個電子，由于受到散射，不同，但大量電子的平均值在一定外場下是確定的。假定平均自由時間為,則：從而

價帶中大量電子的電流，原則上也可用上面的方法求，但計算相當(dāng)復(fù)雜且不為常數(shù)，所以實(shí)際上不可能。所以引入了“空穴”的概念。（2）空穴假設(shè)半導(dǎo)體材料中價帶頂部的空位濃度為P0,價帶中全部電子在E作用下產(chǎn)生的電流密度為Jp,若將空態(tài)全部填滿電子，這些電子（mn<0）在E作用下產(chǎn)生的電流為J’p,又因?yàn)槿珴M帶中的電子不導(dǎo)電：Jp+J’p=0得：Jp=-J’p=令則價帶全部電子在外場作用下產(chǎn)生的電流密度為：對比：上述結(jié)果表明：價帶頂有P0個空態(tài)（空位）時，價帶中全部電子在外場作用下所產(chǎn)生的電流可等效為P0個具有正電荷e,正有效質(zhì)量mp,速度為V(k)的經(jīng)典粒子所產(chǎn)生的電流，這種粒子稱為空穴。引入空穴概念的意義：

用少量空穴的運(yùn)動等效價帶中大量電子的集體運(yùn)動，從而使問題變得和處理導(dǎo)帶電子的問題一樣簡單。

空穴的特征：

(1)荷電量與電子相等，但符號相反，及荷+e.

(2)有效質(zhì)量符號為正，數(shù)值上等于價帶頂空態(tài)對應(yīng)

的電子有效質(zhì)量，即mp=-mn

(3)濃度等于空態(tài)濃度P0

(4)波矢為－K,準(zhǔn)動量為－h(huán)K5.金屬、絕緣體與半導(dǎo)體

（1）絕緣體：價帶滿、導(dǎo)帶空，禁帶寬度比較寬

（3.5－6eV以上）的固體材料；絕緣體的能帶情況（2）半導(dǎo)體：導(dǎo)帶底有少量電子或價帶頂有少量空穴，禁帶寬度在1eV左右的晶體材料，其電阻率可在很大范圍內(nèi)改變；（3）金屬導(dǎo)體：金屬材料最大的特點(diǎn)就是其電阻率極低，其能帶結(jié)構(gòu)主要分為以下兩大類，半滿型和交疊型。6.動量空間（k空間）的概念和E~k關(guān)系圖對于自由粒子來說，其能量E和動量p之間滿足下述關(guān)系：對于實(shí)際的半導(dǎo)體晶體材料來說，由于周期性晶格勢場的影響，其中的電子能量E與其動量p之間的E~k關(guān)系要更為復(fù)雜。

左圖為金剛石結(jié)構(gòu)晶格中沿著[100]和[110]方向的原子排列示意圖?？梢妼τ趯?shí)際晶體材料來說，其E~k關(guān)系與晶格方向有著密切關(guān)系。右圖為砷化鎵晶體材料沿著[100]和[111]方向的E~k關(guān)系示意圖。砷化鎵材料導(dǎo)帶的最低點(diǎn)與價帶的最高點(diǎn)都位于k=0點(diǎn)，具有這種能帶結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體材料稱為直接帶隙半導(dǎo)體材料，電子在不同能帶之間的躍遷沒有動量的改變，這對于半導(dǎo)體的光電特性具有重要意義右圖可知，硅材料導(dǎo)帶的最低點(diǎn)位于[100]方向，其價帶的最高點(diǎn)仍然位于k=0點(diǎn)，具有這種能帶結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體材料稱為間接帶隙半導(dǎo)體材料，此時電子在不同能帶之間的躍遷涉及到動量的改變，除了必須滿足能量守恒之外，還必須要滿足動量守恒§2.4態(tài)密度函數(shù)的概念

能帶（導(dǎo)帶和價帶）是由大量密集的分立能級所組成的，單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)的量子態(tài)數(shù)量稱為態(tài)密度。以三維無限深勢阱來近似描述晶體材料，應(yīng)用薛定諤方程，我們可以求得單位體積晶體材料（cm-3）中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)（eV-1）的量子態(tài)密度分布函數(shù)為：其單位通常為：cm-3eV-1對于導(dǎo)帶中的電子來說，其態(tài)密度分布為：其中，E>EC，mn*為導(dǎo)帶中電子的態(tài)密度有效質(zhì)量。而對于價帶中的空穴來說，則其態(tài)密度分布為：其中，E<EV，mp*為價帶中空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量。當(dāng)EV<E<EC時，則為禁帶,在此能量區(qū)間g(E)=0導(dǎo)帶中電子的態(tài)密度分布函數(shù)gC(E)和價帶中空穴的態(tài)密度分布函數(shù)gV(E)隨著能量E的變化關(guān)系.當(dāng)電子的態(tài)密度有效質(zhì)量與空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量相等時，二者則關(guān)于禁帶中心線相對稱?！?.5統(tǒng)計力學(xué)簡介

在處理有關(guān)大量微觀粒子的系統(tǒng)時，我們關(guān)心的主要是大量微觀粒子所表現(xiàn)出的規(guī)律，而不是具體某個微觀粒子的特性。關(guān)心的是微觀粒子在不同能級上的分布情況統(tǒng)計規(guī)律：（1）麥克斯韋－玻爾茲曼統(tǒng)計分布函數(shù)；

不同微觀粒子之間相互可以區(qū)分，每個能態(tài)上所允許存在的粒子數(shù)量不受限制。主要適用于經(jīng)典粒子的能量分布，例如在一個低壓密閉容器中的氣體分子就遵循麥克斯韋－玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律。（2）費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)；

不同微觀粒子之間相互無法區(qū)分，并且每個量子態(tài)上只允許存在的一個微觀粒子。費(fèi)米子，服從泡利不相容原理，例如，晶體中的電子就遵循費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布規(guī)律。2.費(fèi)米－狄拉克分布函數(shù)與費(fèi)米能級：

晶體中的電子遵循費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布規(guī)律。費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)為：上式中，N(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)存在的微觀粒子數(shù)量，g(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)所具有的量子態(tài)數(shù)量。fF(E)就稱作費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)，它反映的是能量為E的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率。而EF則稱為費(fèi)米能級。費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)為：T=0K時的費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)：

如下圖所示。在T=0K條件下，當(dāng)E<EF時，fF(E)=1；而當(dāng)E>EF時，fF(E)=0；

注意：費(fèi)米能級EF反映的是電子在不同能態(tài)上的填充水平，但并不一定對應(yīng)于某個具體的能級。當(dāng)溫度高于絕對零度時，電子分布情況的改變可以通過費(fèi)米－狄拉克分布函數(shù)的改變來反映。

T>0K時，E>EFfn(E)<1/2;

E=EF,fn(E)=1/2;

E<EFfn(E)>1/2。T=0K時，13個電子在不同能級、不同量子態(tài)上的分布示意圖。當(dāng)溫度高于絕對零度時，部分電子將獲得一定的熱運(yùn)動