參數(shù)估計課件

第5章參數(shù)估計第一節(jié)參數(shù)估計概述第二節(jié)一個總體參數(shù)的區(qū)間估計第三節(jié)樣本容量的確定2第一節(jié)參數(shù)估計概述一、參數(shù)估計的概念二、參數(shù)估計的分類三、評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)31.定義：以樣本統(tǒng)計量作為未知總體參數(shù)的估計量，并通過對樣本各單位的實際觀察取得樣本數(shù)據(jù)，計算樣本統(tǒng)計量的取值作為總體未知參數(shù)的估計值。估計量：用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量的名稱。估計值：用來估計總體參數(shù)時計算出來的估計量的具體數(shù)值。一、參數(shù)估計的概念4二、參數(shù)估計的分類點估計區(qū)間估計5點估計（pointestimator）點估計又稱定值估計，它是直接以樣本統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計量，以樣本統(tǒng)計量的取值作為總體參數(shù)的估計值。常用的總體參數(shù)的點估計重點注意6三、評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)7無偏性（unbiasedness）無偏性：估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)。P(X)XCA無偏有偏若，則稱為的無偏估計量。都是無偏估計量8有效性（efficiency）AB中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布XP(X)有效性：一個方差較小的無偏估計量稱為一個更有效的估計量。若，則稱為比更有效的估計量9一致性（consistency）一致性：隨著樣本容量（n）的增大，點估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)。AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X

若對于任意ε>0，有10例5.1

對某企業(yè)的產(chǎn)品進行抽樣檢驗，設(shè)抽出100件產(chǎn)品，其中不合格產(chǎn)品5件，試估計該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是多少？解：通過樣本的合格率來估計企業(yè)產(chǎn)品的合格率。樣本合格率p=95/100=95%，我們估計該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是95%。

P=p=95%11例5.2

男性成人的身高X服從正態(tài)分布

，其中，是未知參數(shù)，現(xiàn)隨機測量12名成人男性的身高（單位：米）如下：1.801.681.851.601.671.751.781.621.761.701.791.69，試求的點估計值12第二節(jié)一個總體參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計概述二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計三、總體成數(shù)的區(qū)間估計13一、區(qū)間估計概述1.基本概念（1）區(qū)間估計：在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個范圍，稱為參數(shù)的區(qū)間估計。（2）置信區(qū)間：由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間，稱為置信區(qū)間，其中區(qū)間的最小值稱為置信下限，最大值稱為置信上限。置信區(qū)間置信下限置信上限樣本統(tǒng)計量

(點估計)14（3）置信水平：如果我們將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率，稱為置信水平。在構(gòu)造置信區(qū)間時，我們可以用所希望的值作為置信水平。比較常用的置信水平是：90％，95％和99％，通常用1－表示置信水平，其中稱為顯著性水平。即區(qū)間包含總體參數(shù)真實值的可信度。15兩個需要注意的問題如果用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中有95％的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，5％的區(qū)間不包含總體參數(shù)的真值，那么，用該方法構(gòu)造的區(qū)間稱為置信水平為95％的置信區(qū)間。置信區(qū)間是一個隨機區(qū)間，它會因樣本的不同而不同，而且不是所有的區(qū)間都包含參數(shù)真值。162.抽樣誤差匯總（1）參數(shù)估計是以樣本的指標(biāo)估計總體指標(biāo)，這兩者之間必然存在著誤差，假設(shè)只考慮由于隨機因素引起的誤差，則稱這種誤差為抽樣誤差。（2）允許（或可以容忍）的最大抽樣誤差，稱為抽樣極限誤差。（3）所有可能的樣本估計值跟總體參數(shù)的平均差異稱為，抽樣平均誤差。173.區(qū)間估計的基本原理（1）區(qū)間估計的三個要素——點估計值、允許的抽樣誤差范圍、置信水平（概率保證程度）。點估計值：一般為樣本平均數(shù)或樣本成數(shù)p允許誤差范圍（抽樣極限誤差）：Δ(x±Δ)就是置信區(qū)間置信水平：F（z）＝1－思考：后兩者的關(guān)系18（2）區(qū)間估計的基本原理4.F（z）、z、Δ、μ之間的關(guān)系F（z）與z具有一一對應(yīng)的關(guān)系，所以已知概率保證程度F（z）就可以求出概率度z；若已知z也就可以知道F（z）。19樣本μ和總體參數(shù)的點估計值給定F（z）zΔ=z×μΔ/μ=z給定Δ

F（z）抽樣平均誤差205.區(qū)間估計的特點（1）指出總體被估計參數(shù)的上限和下限，即指出總體參數(shù)的可能范圍，而不是直接給出總體參數(shù)的估計值。（2）指出置信區(qū)間包含總體參數(shù)的可信度有多大。（3）而前兩者是相互矛盾的。21(二)總體平均數(shù)的區(qū)間估計

總體方差(２

)已知由抽樣分布定理知道，如果總體服從正態(tài)分布，則樣本平均數(shù)：如果總體正態(tài)性不成立，但是當(dāng)樣本容量n充分大時，近似地也有：因此，22區(qū)間估計的步驟區(qū)間估計根據(jù)給定的條件不同，有兩種估計方法：⑴給出允許誤差（Δ），求概率保證程度F（z）⑵給出概率保證程度F（z），求估計區(qū)間。23⑴給出Δ，求F（z）①抽取樣本，計算樣本指標(biāo)（樣本平均數(shù)、樣本方差、抽樣平均誤差）；②根據(jù)給定的抽樣誤差——允許誤差Δ，計算估計區(qū)間的上、下限；③求出概率度z，查表得到F（z），對總體參數(shù)作區(qū)間估計。24⑵給出概率保證程度，求估計區(qū)間①抽取樣本，計算樣本指標(biāo)（樣本平均數(shù)、樣本方差、抽樣平均誤差）；②根據(jù)給定的

，查表求出z；③求出抽樣極限誤差Δ（）和估計區(qū)間的上、下限，對總體參數(shù)作區(qū)間估計。25區(qū)間估計注意首先確定被估計總體指標(biāo)的種類，是平均數(shù)還是成數(shù)；其次確定抽樣方法，是重置抽樣還是不重置抽樣；然后再根據(jù)給定的樣本資料和抽樣條件（給定概率保證程度還是給定抽樣極限誤差），確定計算步驟，進行計算。26例5.3

某學(xué)校進行一次英語測驗，為了解學(xué)生的考試情況，隨機抽選部分學(xué)生進行調(diào)查，所得資料如下：試以95.45%的可靠性估計該校學(xué)生英語考試的平均成績的范圍及該校學(xué)生成績在80分以上的學(xué)生所占的比重的范圍。27解：（1）估計該校學(xué)生英語考試的平均成績的范圍：分析：考試成績是平均數(shù)，應(yīng)選用關(guān)于的抽樣計算公式；資料沒有給出總體單位數(shù)N，抽樣方法應(yīng)選用重置抽樣。當(dāng)資料中沒有指出抽樣方法，同時也沒有給出總體單位數(shù)N時，默認為重置抽樣。28①計算樣本指標(biāo)樣本平均成績樣本標(biāo)準(zhǔn)差抽樣平均誤差29②根據(jù)給定的F（z），查表求zF（z）=95.45%查表z=2③求出抽樣極限誤差Δ和估計區(qū)間的上、下限

估計區(qū)間下限：76.6－2.2754=74.32估計區(qū)間上限：76.6＋2.2754=78.8930以95.45%的概率保證程度估計該校學(xué)生考試平均成績的區(qū)間范圍是：74.32≤≤78.89(2)已知

，由31例5.4

某地區(qū)的電視臺委托調(diào)查公司估計地區(qū)內(nèi)居民平均每日的看電視時間。調(diào)查公司隨機抽取了100名居民進行調(diào)查，樣本數(shù)據(jù)顯示平均每人每天看電視時間是4個小時。如果已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.5小時。試求：(1)該地區(qū)內(nèi)居民每天看電視的平均時間的置信區(qū)間(置信度是95%)；(2)如果要求估計的誤差不超過27分鐘，這時置信度是多少？32解：(1)已知=4小時，n=100，σ=1.5小時，F(xiàn)(z)=95%。這時查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得z=1.96，由抽樣平均誤差因此，以95%置信度，估計該地區(qū)內(nèi)居民每天看電視的平均時間在3.706到4.294個小時之間。33（2）要求極限誤差等于27分鐘，即Δ=0.45小時。這時概率度：查概率表知這時的概率是99.73%34三、總體成數(shù)的區(qū)間估計表達式其中，為抽樣極限誤差35步驟⒈計算樣本成數(shù)：

；計算抽樣平均誤差：重復(fù)抽樣條件下不重復(fù)抽樣條件下362.計算抽樣極限誤差：3.確定總體成數(shù)的置信區(qū)間：37接平均數(shù)區(qū)間估計的例子

（2）估計該校學(xué)生成績在80分以上的學(xué)生所占的比重的范圍分析：學(xué)生所占比重是成數(shù)，應(yīng)選用關(guān)于P的抽樣計算公式；抽樣方法仍為重置抽樣。38①計算樣本指標(biāo)樣本成數(shù)：抽樣平均誤差：39②根據(jù)給定的F（z），查表求zF（z）=95.45%查表z=2③求出抽樣極限誤差Δ和估計區(qū)間的上、下限

估計區(qū)間下限：估計區(qū)間上限：40

以95.45％概率保證程度估計，該校學(xué)生成績在80分以上的學(xué)生所占的比重的范圍在：38.01%－57.99%之間。41【例5.5】某工廠有工人1000名，若規(guī)定工人日產(chǎn)量在118件以上者為完成生產(chǎn)定額任務(wù)，下表是抽樣數(shù)據(jù)。要求在95﹪的概率保證程度下，估計該廠全部工人中完成定額的工人比重及完成定額的工人總數(shù)。42按日產(chǎn)量分組（件）組中值（件）工人數(shù)（人）110～114114～118118～122122～126126～130130～134134～138138～142112116120124128132136140371823211864合計—100100名工人的日產(chǎn)量分組資料完成定額的人數(shù)43解：44則該企業(yè)全部工人中完成定額的工人比重及完成定額的工人總數(shù)的置信區(qū)間為：即該企業(yè)工人中完成定額的工人比重在0.8432至0.9568之間，完成定額的工人總數(shù)在843.2至956.8人之間，估計的可靠程度為95﹪。45總結(jié)

在簡單抽樣條件下進行區(qū)間估計的例題。從上面的解法中，我們可以總結(jié)出這一類計算題的基本做法：先計算出樣本指標(biāo)，然后根據(jù)所給條件（重置抽樣或不重置抽樣）進行抽樣平均誤差的計算，抽樣極限誤差的計算，最后根據(jù)樣本指標(biāo)和極限誤差進行區(qū)間估計。46例5.6

從某年級學(xué)生中按簡單隨機抽樣方式抽取40名學(xué)生，對公共理論課的考試成績進行檢查，得知其平均分數(shù)為78.56分，總體標(biāo)準(zhǔn)差為12.13分，試以95.45%的概率保證程度推斷全年級學(xué)生考試成績的區(qū)間范圍。47解：ｎ＝40，＝78.56，σ＝12.13，z=248第三節(jié)樣本容量的確定在前面討論中我們都是假定樣本容量n是已知的，但是在實際問題中，需要自己動手設(shè)計調(diào)查方案，這是如何決定樣本容量就是很大的學(xué)問。如果n選的過大，會增加費用；如果n選的過小，會使估計誤差增大。這個問題的關(guān)鍵是:第一，要求什么樣的精度？即我們想構(gòu)造多寬的區(qū)間。第二，對于我們的置信區(qū)間來說，想要多大的置信度？即我們想要多大的可靠稱度？49（1）估計總體均值時，樣本容量的確定在總體均值的區(qū)間估計時，置信區(qū)間是由下式確定的：

極限誤差（允許誤差），該式反映了之間的相互制約關(guān)系，其中三個確定后，另一個也就隨之確定了。重置抽樣50它們之間的關(guān)系如下：①總體方差越大，必要的樣本容量n越大。②必要樣本容量反比例于允許誤差。③必要樣本容量n與概率度z成正比。51不重置抽樣抽